Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 20
Текст из файла (страница 20)
е. при достаточномалых начальных значенияхqkиQkони будут малыми и в процессе последующего движения. Ограничиваясь в(2.42)лишь квадратичнымислагаемыми и представляя в случае стационарных связей кинетическую энергию системы в виде положительно-определенной квадратичной формы К*= ~KkmQkQm (см. 2.3), из (2.41) получаем однородныеуравкеки.11 .мады:ж; по.л.ебан.ий(2.43)относительно устойчивого положения равновесия этой системы.2.
6.товОсновные вариационные принцилы аналитической механики99Производные дх(.;) jдqk, входящие в выражения для коэффициенKkm, зависят от qk, но если их вычислить при qk =О, то этикоэффициенты будут постоянными. Тогдастанет системой К(2.43)линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, описывающей гар.мони-чеспие по.л.ебани.н.материа.л.ьнойсисте.мы,= Am sin( wt +ер).и ее решение можно искать в виде[48]qm=Это приведет к системе К однородных алгебраическихуравнений Am(Ckm- Kkmw 2 ) =О относительно Am.
Такая система имеет нетривиальное решение при условии(2.44)где К и С- положительно определенные матрицы порядка К с элементамиKkmиCkmсоответственно, а Е- единичная матрица порядка К.Так как матрица к- 1 с также положительно-определенная [151], то всеее собственные значения w2 , определяемые из (2.44), положительны.Упорядоченная по мере возрастания последовательность w1 ~ w2 ~ ......~ wк образует спектр собственных -частот по.л.ебаний материальной системы. Каждому значению Wa (а=1, К)отвечают а.мn.л.итуда А~) и фаза ер~) по.л.ебаний обобщенной координаты qm, иобщее решение(2.43)примет видкqm = LA~)sin(wat+ep~)).a=lДля нахождения А~) и ср~) необходимо располагать начальными значениямиqmиclm.При наличии сопротивления движению материальных точек, используя(2.26) для нахождения обобщенной си.л.ы сопротив.л.енил, из(2.44) получаем систему К уравнений Kkmiim + Bkmclm + Ckmqm =О, решение которой следует искать в виде qm = Am exp>.t, причем 5.
в общемслучае будут комплексными числами [18].2.6.Основные вариационные принципыаналитической механикиПринципы ана.л.итичес-х:ой .механи-х:и могут быть не только вариационными. Невариационный принцип представляет собой некотороеобщее для всех движений свойство, которое имеет место или для данного момента времени (дифференциальный принцип), или для конечного1002.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИотрезка времени (интегральный принцип). Например, закон сохраненияэнергии в виде(2.35)является интегральным невариационным принципом, а второй закон Ньютона в виденевариационным принципом.(2.27)-дифференциальнымВариационный принцип аналитическоймеханики дает признак, по которому отличают действительное поведение (движение или равновесие) .м.атериадьной систе.м.ы от любогокинематически возможного при тех же условиях. При таком поведении определенная функция, зависящая от координат и их производных,имеет стационарную точ'I'Ьу, которая в некоторых случаях может бытьи экстремумом этой функции.
Ниже рассмотрим лишь вариационныепринципы, сначала дифференциальные, а затем интегральные.Исторически первым вариационным принципом а,налитической механики считают ее <<золотое правило»-npuкцunвозможных nере.мещекий, или nрикциn Лагракжа,NLp~) · бх(') =О,(2.45)<;=1где р~)-равнодействующие сил, действующих на .м.атериадьныеточ'I'Ьи с номерами с;= 1, N; бх(.;) точек.воз.м.ожные пере.м.ещения этихЭтот принцип равносилен условию равновесия материальнойсистемы с годоно.м.ны.м.и стаv,ионарны.м.и связя.м.и. Действительно, вположении равновесия для каждой ее материальной точки р~) =О,и после умножения этого равенства скалярно на бх(.;) получим, что(2.45) -необходимое условие равновесия. Ностаточным условием равновесия.воз.м.ожная работа(2.45)(2.45)В самом деле,является и допредположим,чтовсех действующих сил равна нулю, но система не находится в равновесии и хотя бы для одной материальнойточки р~) #О.
Тогда за малый промежуток времени возникнет некоторое действительное перемещение dx(.;), для которого р~) · dx(') #О.В случае голономных стационарных связей действительное перемещение совпадает с одним из возможных (см.2.4),и поэтому, суммируяпо с;, получаем отличие возможной работы от нуля, что противоречитисходному предположению.Если связи, наложенные на материальную систему, к тому же еще иидеадьные, для которых возможная работа реа'I'Ьv,ий связей равна нулю,то вместо(2.45)получимNLp(.;) · дх(<>)<;=1=О,(2.46)2.6.где р(.;)-Основные вариационные принцилы аналитической механики101заданные активные си.11.ы.
В этом случае нет необходимости рассматривать реакции связей. Поскольку возможную работу,согласно(2.20),можно выразить через обобщенные си.11.ыции обобщенных координат бqk, то(2.46)Qkи вариапримет вид(2.47)Для голономных связей К в(2.47)совпадает с чис.11.о.м. степеней свободы материальной системы, бqk произвольны и поэтому в положенииравновесияQk=О. В случае стационарного си.11.ового по.11.я его потенциа.ll.ьная энергия П* явно не зависит от времени и, следовательно, вположении равновесия такой системы в соответствии сап·= - -8Qkбqk= бП* = О,(2.47)Qkбqk=т. е.
П* имеет стационарное значение. Согласнотеореме Лагран.жа[4],если это стационарное значение соответству-ет строгому локальному минимуму, то положение равновесия устойчиво.Обобщением дифференциальных вариационных принципов(2.46)является npuн.цun Да.л.а.мбера-(2.45)иЛагран.жа в видеNI)p(.;)- m,w<•)) · &r(•) =О(2.48)<;=1или с заменой р(.;) на Р~), где m, и w<•) материальной точки с номером <; = 1, N.масса и вектор ускоренияДействительное движениематериальной системы отличается от кинематически возможных тем,что для него возможная работа сил, включая си.л.ы ин.ерции m,w<•),равна нулю. Из этого принципа можно вывести уравнения движениясистемы, когда на нее наложены голономные связи или неголономные,но описываемые линейными соотношениями[78].Пусть при кинематически возможных движениях каждая материальная точка материальной системы в фиксированный момент времениимеет одинаковые с действительным движением радиус-вектор и вектор скорости, но отличающиеся на бw<•) векторы ускорения.
Это замалый промежуток времениtlt с точностью порядка (tlt) 3 приведетк возможному отличию на бх<•) = ~(tlt) 2 бw<•) ее радиус-вектора х<•).Подставив бх<•) в (2.48) и сократив на (tlt) 2 , получимNL(p(.;)- m,w<•)) · бw<•) =О.<;=12. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОЛЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ102Отсюда при m, = const и в силу независимости р(.;) от w<') следует(2.49)Неотрицательную величину, характеризующую меру отклонения действителыrого движениясистемы отсравниваемыхсним возможныхдвижений,(2.50)ввел К.
Гаусс и назвал ее nрuнужденuе.м..Для действительногодвижения она принимает наименьшее значение, равное нулю. При этом(2.49) выражает nринциn наименьшего nринужденил ( npuнцunГаусса).Пусть материальная система с идеальными связями переходит изначального положения, соответствующего моменту времениto,в конечное, соответствующее моменту времениt 1 . При этом материальнаяточка с номером~= 1, N в фиксированный момент времени t Е (to, t1) всвоем действительном движении находится в точке с радиус-векторомх<'> (t) в прл.м.оуг.о.л.ьной систе.м.е координат Ох1х2хз, а при пекотором кинематически возможном движенииx<'>(t) +-в точке с радиус-вектором8x<'>(t), причем для всех материальных точек этой системы(2.51)Отличие кинеmи'Чесrьой энергии этой точки при возможном и действительном движениях с точностью до величин второго порядка малости составит !m (Ж(')+ 8Ж<'>) 2 - !m (Ж<'>) 2 ~т ж<'> ·&Ж(') = 8К* а2'для материальной системы в целомNдК*=2'',,NL &к;= L т,ж<->.
&Ж(<;).<;=1В данном случае &Ж(') -(2.52)<;=1изохрониал вариацuл ж<'>, для которой операции варьирования и дифференцирования по времени перестановочны.Действительно ж<->+ &Ж(<;)=!!:_ (х<'> + 8х<'>) =ж<->+ !!:_Jx(<;) откуда еледует'~~'(2.53)2.6.Основные вариационные принципы аналитической механикиПреобразуем с учетомnoинтегрированиеминтеграл(2.53)времени от левой части(2.48)частям:j I: р(<;) бж(') = JI:t1 Nt1 N·no103dt~ <;=1m,w(')·б ж(') dt =~ <;=1=Отсюда, учитывая(2.51)иI: m,x(<;) .
бж(<;) 1:: - JI: m,x(<;) . бх(<;) dt.Ntl N<;=1to <;=1(2.52), nолучаем интегральный вариацион- Остроградского в виденый npuнцun Га.мtмьmонаNt1j (бК* + I:P(') ·бж('))'=toЕсли(2.54)dt=О.(2.54)1выnолнено для какого-либо кинематически возможногодвижения, то это движение является действительным, nоскольку из(2.54)следует(2.40).В самом деле, так какI:N р(') · бж(') = Qk бqkиб К*д~д~qkqk= д бqk +у бqk,<;=1где Qk и qk -k=1, К,обобщенные сиды и соответствующие им обобщенныех:оординаты, то вместо(2.54)заnишем(2.55)Аналогично(2.51) и (2.53) имеем бqk(to)=бqk(t1) =О и бqk =d(бqk)/dt.Учитывая эти равенства, интегрированиемПодставляя этот результат вtlJ(to(2.55),noчастям найдемnолучаемd дК*дК*)- ( - .) - --Qkdt дqkдqkбqkdt=O.2.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ104Отсюда в силу непрерывности подынтегральной функции вытекает(2.39),что равносильно(2.40).Если р(<;) являются потенциадьны.м.и сида.м.и, то их воз.м.ожнаяработа, входящая в(2.54),равна взятой с обратным знаком вариациибП* потенциадьной энергии. Тогда вместоtl(2.54)получимtlJ(дК*- бП*) JбLdt =О.dt =toЗдесьL=К*-П*-to-х:инетичес-х:ий потенциад,причем бL будетизохронной вариацией, для которой операции варьирования и интегрирования по времени перестановочны[72],что позволяет записатьдSн =О, гдеSн =tlJ(2.56)Ldt -toдействиеnoГамильтону.
Можно показать[84],что среди всех кинематически возможных движений действительному движению системы соответствует минимальное значениеS н,Гамильтона наименьшего действи.н.что выражает nринциnДВИЖЕНИЕ И Р АННОБЕСИЕ3.СПЛОШНОЙ СРЕДЫНаряду с .мате.мати'Чес-х:и.ми .модел.н.ми .материальных систе.м вмеханике рассматривают модели тел, объем которых заполнен непрерывной материальной средой (так называемой сnлошной средой).При изучении свойств сплошной среды слово <<точка>> часто используютприменительно как к точке пространства, так и к частице этой среды.В дальнейшем термин то'Ч-х:а будем использовать только для обозначения меставнеподвижном пространстве,ной среды-а термин -частицасnлошдля обозначения малого элемента сплошной среды.В любой момент времениный поверхностьюS,tобъемVсплошной среды, ограничензанимает некоторую область пространства.
Еслив выбранной систе.ме -х:оординат в этот момент времени установленосоответствие частиц некоторого объема сплошной среды и точек пространства, то это означает, что определена поифигурация сnлошнойсреды. Непрерывный переход от на'Чальной -х:онфигуршции в моментвремени t = to к пекоторой последующей( а-х:туальной)конфигурации,сопровождаемый изменением расстояний между частицами, называютnроцессо.м деформирования или просто деформированием.
Приизучении этого процесса учитывают только начальную и конечную конфигурации. Промежуточные состояния, или последовательность конфигураций, через которые происходит деформирование, при этом нерассматривают. Под деформацией понимают изменение формы илиразмеров области, занятой сплошной средой.Используемый в дальнейшем термин те-чение служит для обозначения непрерывного (илимгновенного) изменения состояния среды. Изучение истории измененияконфигурации среды является частью исследования течения, для которого задано переменмое во времени и в пространстве поле скоростейчастиц среды.3.1.Способы описания движения среды и деформацияПусть в начальный момент времени t= to'Части-ца сплошной среды находится в точке Ро пространства, определяемой радиус-ве-х:торо.ма с проекциями а1(I = 1, 2, 3)-х:оординат Оа1а2аз (рис.3.1).на оси Оа1 пр.н.моугольной систе.мыКоординаты щ, определяющиеположение частицы в на'Чальной -х:онфигура-ции, называют .материальными.З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
