Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 18
Текст из файла (страница 18)
второго рангаJo =N'Lт.,(lx(c;)\ 2 I2- х(с;) ®х<">),(2.15)c;=lопределенным для точки О и называемым mен.зоро.м. uн.epцuu материальной си~темы в этой точке.ТензоруJоможно сопоставить симметрическую матрицуN~т х(с;)х(с;)J ~j. -- J··Jt - ~ с; ij 'c;=li, j= 1, 2, 3,диагональные элементы которойNJ1N= 'Lт.,((х~'))2+ (х~"))2),J2= 'Lт,((х~')) 2 + (xi')) 2),c;=lc;=lJз =NL т.,((хi"))2 + (х~"))2)c;=l2.3.87Основные динамические величины материальной системыявляются моментами инерцииJiотносительно координатных осейOxi,а взятые с обратным знаком внедиагональные элементы- центробежными моментами инерции.При движении системы материальных точек компоненты тензораинерции изменяютсявследствиеизменениярасположенияэтих точекпо отношению к припятой координатной системе и их взаимного расположения.
Тензор инерции абсолютно твердого тела, определенныйв системе координат, жестко связанной с этим телом, ·при движенииостается неизменным.Тензор инерции в силу его симметричности можно привести к главным ocJCM инерции. Диагональные компоненты тензораJ, приведеиного к таким осям, называют главными моментами инерции.Материальная точка массой m,, двигаясь со скоростью v<•), имеетпинеmичеспую энергию к;= (m,/2)v<•) · v<•), измеряемую в джоулях (Дж= кг· м 2 jc 2 ). Система из N материальных точек обладаеткинетической энергиейК*=1 N2L<;=1Если подставить(2.3)в1 Nm,v<•).
v<•) =1(2.16)2L:m,lv(')12.(2.16)<;=1и ввести обозначенияk,m=1,K,гдеК-число обобщенных сх:оростейtlk системы материальных точек,то получимК* = К0 +К{+ К2.(2.17)В случае стационарных связей выбирают обобщенные х:оординаты Qkтак, чтобы времяtявно не входило в(2.2).ТогдаBk=О и К0 =Ои кинетическая энергия системы, подчиненной стационарным связям,будет являться квадратичной формой обобrценных скоростей в виде..к * = 21кkmQkQm·Как следует из определения(2.16),кинетическая энергия всегда неотрицательна (К*= О лишь при условии v<•) =О,<;= 1, N). Поэтому вслучае стационарных связей матрица, образованная из элементов Kkm,k, т= 1, К, является положительно определенной.
Можно показать [78],что в случае нестационарных связей слагаемое К2 в(2.17)остается2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ88положительно определенной квадратичной формой обобщенных скоростей.Если материальная точка с радиус-вектором х(с;) в системе координат Ох 1 х2хз принадлежит абсолютно твердому телу, сохраняющемупри своем движении точку О неподвижной, то, используяv'т=О, с учетом равенства2~w · l2 · w = lwl ,где(2.7)привектор уг.л,о-w -вой скорости вращения тела, и свойств операций умножения векторов (см. Пl.l), запишем= (w х х(')) · (w х х(')) = w · (х(с;) х (w х х('))) == lwl 2 lx(c;) 2 - (w · х(')? = wт · (lx(')I 2I2- х(с;) ® х(')) · w. (2.18)v(c;) · v(c;)1Подставляя этот результат в(2.16)и учитываядля рассматри-(2.15),ваемого тела находим кинетическую энергию К*=1т~w · Jo · w.2В общем случае движения абсолютно твердого тела для принадлежащей ему материальной точки с радиус-вектором r(c;) в системекоординат О'х1х2хз (см.
рис.ростьюv',в соответствии с2.1), движущейся вместе с телом(2.7) и с учетом (2.18) запишемсо скоv(c;) ·v(c;) = (v' +w х r(')) · (v' +w х r(')) == lv'l 2 + (w х r(c;)) · (w х r(c;)) + 2r' · (w х r(c;)) == lv'l 2 + 2( v' х w) · r(c;) + wт · (lr(c;) I2I2- r(c;) ® r(c;)) · w.Подставляя это выражение вК*1=2(2.16) и учитывая (2.13) и (2.15), получаемт ~2(m*lv'l +2M(v' х w) ·rc+w ·Jo, ·w), где rc- радиус-векторцентра инерции тела в системе координат О'х1х2хз,Jo, -тензоринерции тела относительно точки О'.Если поместить начало системы координат О'х1х2хз (см.
рис.2.1)вцентр инерции материальной системы, имеющий в системе координатОх1х2хз радиус-вектор хс =r',т. е.rc =О,то положение материальнойточки массой m., будет определяться радиус-вектором х(с;) = хс + r(c;), авектор скорости этой точки, согласно (2.10), будет равен v~c;)где vc = хс- вектор скорости центра инерции системы.кинетической энергии запишемПоскольку= vc +.;.(с;),Тогда для2.3.Основные динамические величины материальной системы89в итоге получимВектор,вектораравный произведению массы т, материальной точки иv(c;)ее скорости относительно неподвижной системы координат Ох 1 х2хз, называют полu'Чесmво.м движенuJС этой точки Q~c;) == т,v(с;).Единица измерения модуля этого вектора- кг· мjс.
С учетомглавный вenmop поли'Чесmва движенuJС материальной си(2.13)стемыNQvN= '2:.: т,v(с;) = '2:.: т,х(с;) = т*хс = т*vс.<;=1(2.19)<;=1Момент поли'Чесmва движенuJС материальной точки относительно точкиравен L~)О,называемый такжепинеmи'Чеспи.м.моментом,= :z:(c;) х т,v(с;). Единицей измерения модуля этого вектора является кг· м 2 jс. Определим главный .момент поли'Чесmвадв·иженuJС материальной системы в целом с учетомпреобразований, аналогичныхNи(2.10)(2.13)и(2.18):NLo = l:x(c;) х т,v<') = l:(r' +r(')) х т,(v' +"-' х r+v~')) =<;=1<;=1N= r' х т*(v' + "-' х rc) + rc х т*v' +'2:.: r(c;) х т,("-' х r<'))+<;=1N+'2:.: r(c;) х т,v~"-) = r' х Q~e) +тех т*v' + Jo, · "-' + Lg},<;=1где Q~e) =т* (v' + "-' х те)- главный вenmop nереносног о поли'ЧеNсmва движенuJС; Lg} = l::.:r(c;) х т,v~') -главный момент количеств<;=1относительного движения материальных точек относительно точки О';(с;)Vr-uuотиосите.льиая сх:орость материальнои точки маесои т,.Если материальная система является абсолютно твердым телом, аоси системы координат О'х~х~х~ (см.
рис.2.1) жестко связаны с ним,то Vr =О, Qv = т*(v' +"-' х х~) и Lo = r' х Qv +х~ х т*v' +Jo, ·"-',где х~- радиус-вектор центра инерции в этой системе координат.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОЛЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ902.4.Работа и потенциальная энергияматериальной системыВектор ди любого бесконечно малого перемещения .м.атериа.ttьнойточtси, допускаемого наложенными на нее в фиксированный моментвремениtсвлзл.м.и, называют возможным nеремещением. В nрл.м.оуго.ttьной систе.м.е tсоординат Ох1х2хз оно совпадает с вариациейдж радиус-веtстора этой точки.
Используядж=-д дqk,-k = 1, К,где qk -(2.2),можно записать дж=вариации обобщенных tсоординат qk,Qkтогда как для элементарного действительного перемещения точки срадиус-вектором ж получим dжстационарных свлзей времяtдждж= -д dqk + -д dt. В случае го.ttоно.м.ныхQktявно не входит в(2.1)и(2.2).Тогда dжбудет одним из возможных перемещений. Вариацию дж при фиксированномtназывают изохронной.Работу Р ·дж силы Р на возможном перемещении дж точки ее приложения называют возможной.
Единицей измерения модуля векторасилы является ньютон (Н= кг· мfс 2 ), а для измерения работы (как илюбого вида энергии) используют джоуль (Дж) (см.Если вNточках М, (~= 1, N)2.3)..м.атерuа.ttьной систе.м.ы приложенысилы p(r;), то возможная работа этих сил будетNбАр=Lp(r;) · бж(r;),<;=1где бж(r;) -возможное перемещение точки М,. Заменив возможныеnеремещения вариациями бqk(k= 1, К)обобщенных tсоординат, сучетом npaвu.tta су.м..м.ированил по одинаtсовы.м.
индеtсса.м. запишем(2.20)где(2.21)обобщенн.анc"UJ&a,отнесенная к обобщенной кординатеqk,называемой в этом случае обобщенным nеремещен.ием. Вместо использования (2.21) для нахожденияQkудобнее вычислить бАр= бА~) длятакого возможного nеремещения, при котором бqm =О для всех т== 1, К, кроме т= k, и тогда из (2.20) получим Qk =бА~) fбqk.2.4.Работа и потенциальная энергия материальной системы91Положение материальной точки М, при относительном движенииматериальной системы определяет радиус-вектор х'(<;) в подвижнойсистеме координат О'х~х~х~ (см. рис.
2.1), поэтому х<') = r'(t) + х'(<;),гдезаданная функция времениr'(t) -t,определяющая положениеточки О' относительно точки О. Тогда дх(') = дх'(<;) и в (2.21) х<')следует заменить на х'(').Для точки М, абсолютно твердо2о тела дх(') = дr' +д-дхх'('), гдедr'- возможное перемещение начала О' системы координат О'х~х~х~,жестко связанной с этим телом, а б'/9вектор возможного поворота-тела. ТогдаNNдАр= Lp(') · бr' + Lp(<;) · (д-дхх'(')) = Р* · дr' + М(у ·д-д,гдеNNР*= Lp(<;)иМ(у = .L:x'(') х р(<;)<;=1главный<;=1вenmop системы действующих на тело сил и главный.м.о.м.енm этой системы сил относительно точки О' соответственно.На действительном бесконечно малом перемещенииприложения силы Р элементарная работа этой силы(символd'dx точки Мd' Ар = Р · dxуказывает, что правая часть этого равенства не обязательноявляется полным дифференциалом).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
