Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 22
Текст из файла (страница 22)
То, что между комnонентами е должны существовать зависимости, следует и из физических соображений:еслитело разделить на отдельные элементы и каждый элемент деформировать nроизвольно, то из этих деформированных элементов не удастсявновь составить сnлошное тело.При установлении указанных условий примем, что сплошная средазанимает односвязную областьV,в которой компоненты C:ij являютсядважды непрерывно дифференцируемыми функциями координат. Соединим фиксированную точку МоЕVс nроизвольной точкой М Екривой, целиком лежащей в областиV.Тогдащ(М) = ui(Mo) +j dщ = Ui(Mo) + j ;;;МоМVdxj,МоМnричем для однозначного определения щ (М) криволинейный интегралне должен зависеть от пути интегрирования.
Так какгде t..Vij = ~ (~~; - ~~:) -комnоненты mен.эора .л.ин.ейн.ого nоворота, характеризующего поворот окрестности 'Частицы сп.п.ошиой средыкак единого жесткого целого, то криволинейный интеграл nредставимв виде(3.13)З. ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ112Второй интеграл в правой части1<A.lij d(xj(M)- Xj) = -ищ (xj(M)- Xj)IXj(M)Xj(Mo)+Л1оЛJ1+вычислим по частям:1v.щ dxj =-Л1оЛ1(3.13)(xj(M)-xj)d<AJij=<AJij(Mo)(xj(M)-xj(Mo))+Л1оЛ1k = 1, 2, 3.Используя тождестводw· ·2 ---.!2..=дхkд 2 и·д2 и ·дхjдХkдхiдХk~J_ _!__ ( дщ + дuk) _ ~ (дщ + дuk) = 2 (&ik _ &jk)- дхj дхkв итоге с учетом(3.13)дхiдхiдхkдхjдхjдхi'можно записатьгде uik = Eik + (xj(M) - Xj) ( ~~; - ~~:).
Интеграл в правой частипоследнего равенства не будет зависеть от пути интегрирования, если подынтегральное выражение буяет полным дифференциалом, т. е.дU·k-д'=дU·дXm•m,т=Xk1, 2, 3.~Тогда с учетом симметрии тензора е получимравенства(3.14)называемые ус.л.овUJСми совместности деформаций, из которыхд2 слишь шесть являются независимыми: три условия вида д ;= 2д2 С12 и три -дх1дх2вида ~ ( дс2здхздх1+ дс31 + дс12 )дх2дхз=д2 сзз~ дх1дх1х21д с22+ -д2 =2х1(остальныеполучаем циклической перестановкой индексов).Если(3.12)подставить вждества, поэтомупапа.(3.14)(3.14),то последние обращаются в тоиногда называют тождествами Сеп-ВеПри помощи си.мвола Леви- Чивитывить в виде условия равенства нулюeikm их можно предстад2скомпонент Sij = eikmejrs д дms =XkXr=О (r, s = 1, 2, 3) тен.зора § песовместпости деформаций или3.2.113Тензор малой деформациив инвариантной по отношению к выбору системы координат формеУ' ж х (У' ж х€) = О, где нижний индекс х у диффере-н,циаль-н,ого оператора Га.мильто-н,а У' означает, что дифференцирование проведено попространствеиным координатамXk.Многосвязную область, мысленно проводя необходимые разрезы,можно свести к односвязной.
Но для полученной таким образом односвязной области наряду с выполнением(3.14)необходимо потребоватьравенство векторов перемещения в противолежащих точках на краяхразрезов. Для тензоров конечной деформации условием совместностиявляется обращение в нуль компонент уже не тензора § второго ранга,а те-н,зора 'Четвертого ра-н,га[59].Выясним геометрический смысл компонент тензора€.
В предположении малой деформации допустимо в (3.10) заменить Lij на fij изаписатьjdxj 2 - jdaj 2jdaj2= (2 + е)егде е=(jdxj- jdaj)/jdaj -dai daj= 2fij jdaj jdaj'оmн.осumе.л.ьн.ое уд.л.uн.ен.uе линейногоматериального элемента начальной длиныni = dai/idaiщие косинусыиn2= nз = О,2,то енаходим е== fll·имевшего направляюотносительно осей прн.моуголь-н,ой систе.мы-х:оорди-н,ат Ох1х2хз. Отсюда, полагаяпо сравнению сjdaj,fijninj.jej « 1 и пренебрегаязначением еЕсли принять, например,n1 = 1Следовательно, диагональная компонента тензора е соответствует относительному удлинению вдоль оси координатбесконечно малого линейного элемента, первоначально параллельногоэтой оси.В случае линейного элемента начальной длины jda(l)l прииn2 = n3 =Ох2 составит ддиа1ди11 ~ tg11 =-д2а1daida(11)= 1а угол его поворота в плоскости х1 Ох2 будетди2( )(1+e 11 )da11~~-д .
Аналогично угол поворота в этоиа1плоскости линейного элемента начальной длины jda( 2) 1 при n 2n1n1О разность перемещений его концов в направлении оси12),= nз =О составит 12 ~ tg/'2 =дщ2=1da~ )ди1 у-д(2 ) ~ -д . гол т= 1'1а2 (1 + 1022) da2а2и+ /2представляет собой изменение первоначально прямого угла между рас-сматриваемыми линейными элементами. Его называют уг.л.о.м сдвигав указанной плоскости.Отождествляя при малой деформации материальные и пространствеиные координаты, получаем т = 8щ / 8х2+ 8и2/ 8х1 = 2f12 = f21·Таким образом, компонента+fij тензора € приi =1= j соответствует половине изменения угла в плоскости Xi0Xj между двумя бесконечно малыми линейными элементами, первоначально3. ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ114параллельными осямOxiиКомпоненты C:ij приOxj.if= jназываютдефор.маци.ll.ми сдвига.Тензор е в силу его симметрии можно привести к г.аавны.ч ос.н.чoxi.При этом г.аавные зна-чени.н Ci этого тензора называют главными дефор.маци.ll.ми.
Элементарный прямоугольный параллелепипедс ребрами, параллельными главным осям, имевший начальный объемdVo = dX1 dX2dXз, в результате деформирования будет иметь объемdV = (1 + с:1) dX 1(1 + с:2) dX2(1 + с:з) dХз, поэтому относительное изменение объема при малой деформации составит c:v = (dV- dV0 )/dV == (1 + с:1)(1 + с:2)(1 + с:з)- 1:::::: с:1 + с:2 + с:з = I 1e, где 11 -е = C:ii - nервыйинвариант тензора е. Отсюда следует, что деформации сдвига не вызывают изменения объема окрестности -частицы среды.3.3.Плотность и переносфизических субстанций сплошной средыКоличественной характеристикой любой физической субстанцииявляется ее объе.мнй.ll nлотность, т.
е. количество этой субстанции в единице объема тела, занимающего пространствеиную область!2. Рассмотрим окрестность точки М Е !2 С JR 3 , имеющую объем ~Vи диаметрd, равный точной верхней грани расстояний между двумя произвольными точками этой окрестности. Пусть в этом объеменаходится .масса ~т пекоторой сn.аошной среды. Предел (если он существует)lim~mv = р(М)(3.15)d-+0 .uназывают nлотностью среды в той точке М пространства, к которой стягивается рассматриваемая окрестность приd---+О. Основной(стандартной) единицей измерения плотности среды является кгjм 3 .Аналогично можно ввести понятие объемной плотности энергиикак предел€где Ь..Е*-*(М)=1·lill ~Е*лv,(3.16)d-+0 .uколичество энергии в объеме Ь..V.Основной единицейизмерения объемной плотности энергии являетсй Джjм3 . Если объемд V содержит э.л.ептричеспий зар.llд Ь..Qе, то пределРе(М) = lim ~Qed-+O.uV(3.17)называют объемной плотностью электрического заряда, основной единицей измерения которой является Клjм 3 (Кл- кулон является единицей измерения электрического заряда).3.3.Плотвость и перевое физических субстанций сплошной среды115В некоторых случаях вместо объемной плотности физической субстанции r.p удобнее рассматривать ее .массовую nлоmн.осmь r.p(m), т.
е.·количество субстанции, приходящееся на единицу массы среды. Ясно,ЧТО r.p(m) = r.p / р.Если функции р( М), с:* (М) и Ре (М) ограничены в ограниченнойзамкнутой области f1 С JR3 И непрерывны В f1 всюду, кроме, бытьможет, векоторого .м.н.ожесmва точеп объема нуль, которое можнозаключить внутри области сколь угодно малого объема, то эти функцииинтегрируемы в областиnn. вдальнейшем пространствеиную областьбудем обозначать так же, как и ее объемэнергии Е* и электрического зарядаm=1p(M)dV,1QeЕ*= с:*(М) dV,vV.Тогда для массы т,в этой области можно записатьQe =1Ре(М)dV.(3.18)vvПонятие объемной плотности применимо не только к физическимсубстанциям, выражаемым скалярными величинами (массе, энергии,заряду), но и к субстанциям, выражаемым векторными величинами.Пусть векторное поле скорости движения среды задано векторной функциейкоординат Xi,v = v(x, t), зависящей в общем случае от времени t иi = 1, 2, 3, радиус-вектора х = х1е1 + х2е2 + хзез, определяющего положение точки пространства относительно декартовойпрямоугольной системы nростраиствеииых ~оордииат Ох1х2хз с орта.м.иei(рис.3.3).Тогда произведениеpvбудет вектором объемнойплотности ~одu'Ч.ества движеии.я сплошной среды.торное произведение х х(pv)Аналогично векявляется вектором объемной плотности.м.о.м.еита ~оди'Ч.ества движеии.я среды относительно начала координат.Модули этих векторов измеряют в кг/(м 2 ·с)= Н· сjм 3 и кгj(м ·с)==Н· сjм 2 соответственно.Рис.Еслиpv --3.3непрерывная функция координат в пространствеинойобласти объемомVвсюду, кроме, быть может, векоторого множества точек объема нуль,то для находящейся в этой области среды3.
ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ116векторы количества движения и момента количества движения можнопредставить соответственно в видеQv=JLvpvdV,=Jх Х(3.19)pv dV.vvБольшинство процессов в технике и в технологии связано с переносом в пространстве конкретных физических субстанций:массы,энергии, электрического заряда, количества движения или его момента.Интенсивность переноса физической субстанции определяют п.t~отностью nотопа, равной количеству субстанции, переносимой в единицувремени через единичную площадку, перпендикулярную направлениюпереноса. Выделяют nеренос субстанции понвептивный (или молярный) и диффузионный (или молекулярный).Конвективный перенос физической субстанции связан с движениv== v(M,t), М Е JR 3 , в момент времени t.
Для физической субстанции,ем сплошной среды, определяемым векторным полем ее скоростивыражаемой скалярной величиной, плотность потока конвективного переноса является вектором, коллинеарным вектору скоростипроизведениюvvи равными объемной плотности этой субстанции. Так, направление и интенсивность конвективного переноса массы определяет векторnлотности nотопа .массыpv,совпадающий с вектором объемнойплотности количества движения среды и имеющий одинаковую с нимединицу измерения модуля.Направление и интенсивность конвективного переноса энергии и заряда определяют соответственно векторомe*vплотности потока энергии и вектором PeV п.t~отности злептри'Чеспого топа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
