Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 25
Текст из файла (страница 25)
. . . -т-F·T·FJ*'(3.54)где F- .м.атериа.ttъный градиент деформации. Обратное по отношениюк (3.54) соотношение имеет видТл =где НJ* дат даJ-д -д aji,XiилиXj~~~тТ= J*н.и.н,(3.55)nространственный градиент деформации.-Если в окрестности произвольной точки сплошной среды пространственный и материальный градиенты деформации удовлетворяютусловиям ддхi = &il, где &il а1следует, что ajiПиолы-= Тл,cu.м.вo.tt Кроне-кера, то из (3.54) и (3.55)~или и= Т, т. е. тензоры напряжений Коши иКирхгофа совпадают. Эти условия обычно используют прималой деформации твердого тела.Ясно, что в случае симметрии тензора и его можно привести к г.ttавны.м.
о·сл.м. ОХа. При этом гдавные значенил аа (а=1, 2, 3)этого тензора называют главпьши паnрлжепи.в.ии. Площадку, равнонаклоненную к главным осям и имеющую внешнюю нормаль с направляющимикосинусами Na = 1/JЗ, называют о~mаэдричес~ой, а составляющиеaN и TN вектора напряжения u(N) в ней по нормали и в ее плоскостисоответственно пор.иальпы.и и ~асаmельпы.и о~mаэдричес~и.иипаnр.вжепи.в.ии. С учетом(3.46)запишем3. ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ128где Iнr- первый инвариант тензора (j. При помощи(3.45)получим(3.56)где I2 и- второй инвариант тензора а.Для площадки, произвольно ориентированной относительно главных осей,3(3т~= ~ст~п;- ~стап;)2 ,(3.57)гдепа-направляющие косинусы внешней нормали к этой площадке.В случае не равных между собой всех главных напряжений, когда ст1> ст3 ,наибольшее касательное напряжение Tmax>= (ст1- ст3)/2 возникаетв площадке, параллельной оси ох2 и равнонаклоненной к двум другимглавным осям, т.
е. при п2 =О и п~ = п5 = 1/2. Действительно, прип2 = О, обозначая п~ = z и учитывая, что в этом случае п5 = 1 - z, из2(3.57) получаем т~= cтiz+cт~(l- z)- (стtz+ст3(1- z)) и в соответствиис необходимым условием экстремума т~ поz приходим к указанномурезультату.3.6.Законы сохранения количества движенияимомента количества движения средыОбобщая за~он сохранени.н ~оличества движени.н .материальнойсисте.м.ы на случай сплошной среды, можно с учетом первого равенства(3.19)записатьd~v =:t!pvdV=vЛевая часть(3.58)pdS+s(3.58)bdV.vсоответствует скорости изменения во временивектора ~оличества движения~онфигурации область объемомvJ JtQv среды, занимающей в а~туальнойV, ограниченньrм поверхностью S (р и-плотность среды и вектор скорости ее частиц соответственно).Правая часть(3.58)равна главно.м.у ве~тору систе.м.ы сил, характеризуемых в данном случае векторами р и Ь плотности поверхностных иобъе.м.ных сил соответственно. Необходимо отметить, что(3.58)является основным постулируемым динамическим соотношением механикисплошной среды, аналогичным закону Ньютона в механике материальной точки.Законы сохранения количества движения и момента количества движения3.
6.Для средней части~jpvdV~j=vс учетом(3.58)j(=и(3.29)получим=pvJ*dVoVo(3.27)vd(pJ*)dt+р=J*dv) dVrdtо129VoJdv dV (3.59)р dt.VОтметим, что проведеиное преобразование с учетом(3.32) и выражеd<p1dt = д<р1дt + v · "\1 ж <р полной производной (нижний индекс х удифферен:циадъиого оператора Га.м.идътоиа "\1 ж означает дифференциниярование по простраиствеииы.м. .,..оордииата.м.) для любой непрерывнодифференцируемой в областиV функции <p(x,t) (скалярной, векторнойили тензорной) позволяет записать:tJv р<р = Jv р ~~ = Jv (д~:) +dVdVЕсли векторы в(3.58)и(3.59)"\1ж• (p<pv))(3.60)dV.представить в проекциях на осипря.м.оугодъиой систе.м.ы .,..оордииат Ох1х2хз, заменив, согласно(3.45),проекции Pi вектора р = u(n) на ajinj, i, j = 1, 2, 3, где aji - .,..о.м.поиеитъz теизора (i иапряжеиий Коши, а nj - направляющие косинусыединичного вектора внешней нормали к поверхности(3.58)и(3.59),d1Ji/ (р dtс учетом теоре.мы Остроградс.,..ого-Ь·1 )dV-.vгде щи1a--n·dS=Jl•Jsbi- проекции/(•vвекторовvS,-dviдaji -Ь·1 )р--dtдх.Jто, объединивГаусса получим(3.61)dV=O'и Ь соответственно.
Отсюда следуютуравненив движенил средыилир~dvdt = "\1 ж • и + Ь.(3.62)Эти уравнения выражают локальную формулировку запона сохраненив поди-чесmва движенил сплошной среды. Дивергеитиую фор.м.уэтих уравненийд(рщ) _ д(aji-PViVj)дtможно получить изdv;dt=(3.62)дv;дtи+(3.62)-дх·J+Ь·(3.63)1с учетом выражения для полной производнойдv; ) . В частном случае неподвижнои средыVj ( дх(3.63)1следуют ее уравненив равновесия.u(v= О)из3. ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ130Для представления уравнений движения в .м.атериадьных -х:оординатах преобразуем левую часть(3.61)с учетом(3.27), (3.29)и(3.50):k, I, J = 1, 2, 3,гдеРои Ьi- плотность среды и проекции вектора Ьсти объемных сил на оси08.i0~т= J*b ·Нпло2'но-системы материальных координат; Нпространственный градиент дефор.м.ации;проекции на осиNJ -08.iN внешней нормали к поверхности So, ограничиVo, занятую средой в начадьной -х:онфигурации; T j k компоненты тензора напрлжений Пиоды - Кирхгофа Т.
Отсюда слеединичного векторавающей областьдует локальная формулировка закона сохранения количества движенияв этих координатах:Обобщение за-х:она сохраненuл .мо.м.ента -х:одичества движенил .материадьной систе.м.ы на случай сплошной среды с учетом второгоравенства(3.19)дает~jxxpvdV= j(mv+xxb)dV+ jmsdS+ jxxpdS,vvssгде х- радиус-ве-х:тор частицы спдошной среды;ты, распредеденные по объе.м.уV(3.64)mv и ms- .м.о.м.енS. Эти моментыи по поверхностиучитывают при построении .мате.матичес-х:их .модедей сплошной среды, называемых микрополярными.
Используячасти(3. 64)(3.60),интеграл в левойможно преобразова ть к виду!!_ j х х pv dV = j р d( х х v) dV =dtvdtv=J(dxр dt х vvпоскольку(3.64)(dxjdt)хv=vс использованиемхv+х хdv)dt dV=jdvрх х dt dV,v=О. Последний интеграл в правой части(3.47),теоремы Остроградского-Гаусса и3.6. Законы сохранения количества движения и момента количества движения 131симвода Леви- Чивитыгдеei -eijk(т=1, 2, 3)примет видорты репера системы координат Ох1х2хз.
Подставив иреобразованные интегралы в(3.64),с учетом(3.62)получим интегральную форму запона сожраненu.в момента полu'Чества двuженu.всплошной средыj(mv+eijkO"jkei)dV+ jmsdS= jxxvs(Р~~ -'Vжu-Ь)dV=O.vОтсюда при mv =О и ms =О следует eijkUjk =О, т. е. Uij- Uji =О, чтосоответствует симметрии тензораа с учетом (3.55)- и симметрииu,тензора Т. При наличии моментов, распределенных по объему и/илипо поверхности тела эта симметрия в общем случае отсутствует.4.ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИНЕОБР АТИМЫХ ПРОЦЕССОВВ современном представлении термодинамика-феноменологическая теория общих закономерностей процессов, протекающих в макроскопических телах и связанных с взаимными иревращениями различных видов энергии и других форм движения.В термодинамике необратимых пропессов к настоящему временинаибольшее распространение получили два основных направления.
Воснову первого направления, являющегося развитием классической термостатики, положен принцип локального тер.м.одина.м.ичес-х:ого равновесия. Второе направление, называемое рациональной термодинамикойнеобратимых процессов, характеризуется в первую очередь отказом отпринципа локального термодинамического равновесия и иной трактовкой второго закона тер.м.одина.м.и-х:и, рассматриваемого не как ограничение на протекающие процессы, а как ограничение на вид уравнений,описывающих поведение реальных тел и сред. Именно второе направление использовано далее при построении математических моделейразличных сред.4.1.Основные понятия термодинамикиПри исследовании поведения сплошной среды любое тело,мающее в а-х:туа.л.ъной r.онфигураv,ии объемVзаниили любую его часть(конечную или бесконечно малую) и ограниченное поверхностьюS,будем рассматривать как тер.иодика.ии-ч.еспую систе.иу.
Если онаобменивается с окружающей средой массой и энергией, то ее называют отпрытой. Если же происходит обмен с окружающей средой лишьэнергией, то систему называют запрытой. В том случае, когда отсутствует обмен и массой, и энергией, систему называют изо.л.ировакн.ой.Состояние термодинамической системы в окрестности произвольной точки в любой момент времени характерИзуют nара.иетра.иитер.иодика.ии-ч.еспогоcocmoJCKUJC,которые могут изменяться привзаимодействии системы с окружающей средой. Если при постоянныхвнешних воздействиях они не изменяются в течение рассматриваемогопромежутка времени, то система находится в состоянии тер.иодика.ии-ч.еспого равн.овесuJС. Это равновесие считают устой-ч.ивы.и,если при прекращении любых малых внешних воздействий система4.1.
Основные понятия термодинамики133возвращается к исходному состоянию. В противном случае термодинамическое равновесие считают неустой:чивы.м.При взаимодействии с окружающей средой термодинамическая система проходит ряд последовательных состояний, совокупность которых называют тер.модина.ми-чеспи.м nроцессо.м. Термодинамический процесс принято называть равновесны.м, если в любом промежуточном состоянии при фиксированных внешних воздействиях в течениеконечного промежутка времени параметры термодинамического состояния системы не изменяются.
В противном случае процесс называютнеравновесны.м. При заданных внешних воздействиях реальные процессы в термодинамической системе всегда происходят с пекоторойконечной скоростью изменения параметров термодинамического состояния и поэтому всегда будут неравновесными. Однако в ряде случаев,когда эти параметры изменяются довольно медленно, процесс приближенно можно считать равновесным.Равновесный процесс, который и в прямом, и в обратном направлениях проходит через одну и ту же последовательность состояний, носитназвание обрати.мого, а в противном случае-необрати.мого, длякоторого характерна диссиnаци.н (рассеяние) энергии.К параметрам термодинамического состояния в зависимости отнеобходимости учета различных · процессов,протекающих в термодинамической системе, относят, например, п.п,отность, абсо.п,ютнуюте.мпературу, тензор деформации, а также параметры, учитывающие структуру рассматриваемой среды, которые назвают внутренни.миnара.метра.ми термодинамического состояния.Так как всеэти параметры отражают различную физическую природу среды, товид уравнений, устанавливающих соотношения между ними, можетбыть разнообразным, но должен удовлетворять и некоторым основнымnринциnа.м рациональной тер.модина.мипи[108].Суть этих принципов состоит в следующем.В соответствии с nринциnо.м взаи.мной св.нзи сплошная средаимеет разные состояния, описываемые известным числом параметров,примимаемых в качестве базисных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
