Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 31
Текст из файла (страница 31)
в изоmер.мичеспо.мnроцессе деформирования. Действительно, в последнем случае поддействием давления р объемная деформация fV= -рjи, а для изоэнтропического процесса с учетом (5.26) g~ = -р/ х' = -р/ х +а~;> !:lT == -р/ и- T0 и'(aV)) 2 f\r/(pcg). Отсюда и' = x(l + 'Ут ), поэтому для5.1.Кпа.ссическая термаупругость163большинства металлов в силу малости параметра 'УТ при температуреТо=293 К (см. табл. 5.1) различие между значениями х' их мало. Эторазличие возрастает пропорционально увеличению температуры То.Дефор.маи,ии сдвига не вызывают изменения объема.
Поэтому связьмежду температурной деформацией и касательными напряжениямидля изотропной среды отсутствует, а значение модуля сдвигаG,если оно не зависит от Т, остается одинаковым для любого процессадеформирования (как и значение совпадающей сПоскольку Л= х-G константы Ламе р.).2J.L/3, имеем >.'=Л+ ттх >Л, т. е. значение другойконстанты Ламе в изоэнтропическом процессе больше, чем в изотермическом.Из приведеиных выше выражений, связывающих модульпродольной упругости Е и коэффициент Пуассонаvс х и р, получим1 <Е'= 3(1+/'т) < 1 + Т·Е3+/'тЕ/р,'УПри статических способах экспериментального определения упругих характеристик материалов процесс деформирования происходитсравнительно медленно и температура образцов вследствие теплообмена с окружающей средой остается практически неизменной, т. е.
процесс является изотермическим. При динамических способах теплообменс окружающей средой и передача теплоты в объеме образца обычно несущественны и процесс деформирования близок к изоэнтропическому.Поэтому значения упругих характеристик, определяемых в статических и динамических условиях, несколько различаются между собой,хотя это различие часто лежит в пределах точности проводимых измерений. В дальнейшем, если нет специальной оговорки, различия междуизоэнтропическимииизотермическимиупругимихарактеристикамине учитываются.В термаупругой среде могут возникнуть поверхн.ости разрыва значений параметров, определяющих ее состояние.
Из второго равенства(4.36) в случае малой деформации получаем связь скачков [iti] скорости[uji] напряжения на поверхности разрыва в видеперемещения и(5.27)где D~ -нормальная составляющая скорости поверхности разрыва;nj- направляющие косинусы нормали к этой поверхности,а из(3.12)следует, что(5.28)Если считать отклонения температуры Т от значения То малыми ипринять в(5.18)коэффициенты постоянными, то получим(5.29)164 5.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫНаконец, из(5.3)и(5.17)следует, чтол~J> [T]nj = о.Последнее равенство(5.30)(5.30)означает, что [Т]= О, т. е. температурноеполе непрерывно, а скорость распространения теплоты бесконечна.Из (5.27), (5.28) и (5.30) находим р[щ](D~) 2 - Cijktni[vk]nj =О, а таккак в общем случае [щ] =/:.О, то значение D~ должна удовлетворять условию det(p(D~) 2 8ik- Cijklninj) =О. Для частного случая изотропнойсреды отсюда получим скорости(5.31)распространения продо.л.ьных и попере'Чных во.л.н соответственно в термоупругой среде. Если при решении задачи термоупругости с заданными начальными и граничными условиями определен скачок какой-либоиз функций щ(ж,t), €i;(ж,t), ai;(ж,t), Т(ж,у), то скачки остальных функций могут быть найдены из5.2.(5.27)-(5.30).Температурные напряженияЕсли допустимо не учитывать влияние эффекта тер.м.о.м.еханu'Чесх:ой связанности полей температуры Т и деформации на процесстеп.л.опроводности, то задачу mepмoynpyгocmu можно рассматриватькакпесв.В'занпую,т.
е.температурноеполенаходитьпредварительно и независимо от напряженно-деформированного состояниясреды (см.7). Для(5.22)левую частьJ.Lд2дхjдХjоценки влияния зтого эффекта продифференцируемпо Xi,i= 1, 2, 3, положивbi = 0:(дui)+(Л+J.L) д2 (дUj)-(3Л+2J.L)a(T) д2Тдхiдхiдхiдхjдхiдхiдx~~xJ(Л+2J.L)~~~ -(3Л+2J.L)a(T)(T-To)) =0,==j= 1,2,3,а затем после двукратного интегрирования получим(5.32)где и;-проекции вех:тора пере.м.ещени.н на оси Ох; пр.н.м.оуго.л.ьнойсисте.м.ы х:оординат; €у -объе.м.на.н дефор.м.аци.н; Л, J.L и а(Т) -х:онстанты Ла.м.е и те.м.nературный х:оэффициент .л.инейного расширенил5.2.Температурные напряжениясреды соответственно; То165температура естественного состолних-среды; rp(x1,x2,x3) -гармоническая функция пространственных ?>:оординат.
Подставляя(5.32)в(5.19),получаем(5.33)((3Л+2 )а{Т)?где бт =То(Л1-L). + 2р.реЕпараметр термоупругой связанности, учи--тывающий влияние изменения объемной деформации на изменение тем-пературы в окрестности рассматриваемой точки;.и Се -t -время; а(Т), рте.м.пературопроводность среды, ее пдотность и удельнаямассовая тепдое.м.t>:ость при постолнной дефор.м.ации;nдотность мощности внутренних источников теплоты.лов бт«1объе.м.нанqv -Для метали имеет тот же порядок, что и 'УТ (см. табл.5.1),этимпараметром можно пренебречь по сравнению с единицей, однако длянекоторых полимерных материалов он существенно больше (например,для поливинилбутираля бт= 0,431).Пренебрежение влиянием эффекта термомехалической связанностихарактерно для .м.ате.м.атичесt>:их .м.одедей теории температурных напряженийЭти модели для пространствеиной задачи термоупру[15].гости следуют из соотношений, приведеиных впервым слагаемым в правой части(5.15)или5.1, если пренебречь(5.16).
Здесь рассмотримчасто встречающуюся в инженерных приложениях плоскую задачу дляизотропной однородной тер.м.оупругой среды. Этой задаче соответствует задание или в виде линейной функции одной из проекций веt>:тора= uЗ + Е:3 3 х3,пере.м.ещенин и, например в виде u3Е:3 3= const,причем uЗтрех компонент тензора напряжений, например 0'33общем случае <111(Х1,Х2)F 0,В первом варианте изсоотношенияЕ: н=(5.7)1F 0,=+ Е:т€33,Е'22=1=1<123==О и в€23 =О, а}+ -Е:т- =€33,(5.34)'+ v)Е:т; €33 =vE:3 3 ; v иt>:оэффициент Пуассона и .м.одудь прододьной уnругости; Е:т= а(Т)(Т- То) стваЕ=F 0.<113Е:3 3 и Е'13(1 + V1)a12где v1 = v/(1- v); Е1 = Е/(1- v2 ); lт = (1-=<122- V1<111ЕЕ'12=<1I2(XI,X2)следует, что €33принимаютвид0'11- VI0'22Е0'22(XI,X2)(3.12)оа33 = v(ан + <122) + (Е:зз- Е:т )Е,Е= const,и в общем случае щ(х1,х2) ф О, и2(х1,х2) ф О, или в виде(5.34)=те.м.пературнал дефор.м.ацил.
Отметим, что равенсоответствуют rмоспому деформированному сосmоJСнию, которое может быть реализовано в достаточно длинном цилин-166 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕдЫдрическом теле. Если же высота цилиндра стремится к нулю, то реализуется второй вариант, соответствующий nдоспо.му наnр.нженно.мусосmо.ннuю, при котором(5.35)Решение плоской задачи ищут в двумерной области.
В этой областидля стационарной задачи тер.м.оуnругости при отсутствии объе.м.ныхси.n. можно тождественно удовлетворить уравненин.м. равновесU.JI ддиrs =Xr=О,r, s = 1, 2, если компоненты тензора напряжений выразить припомощи фунпцuu наnр.нженuй (фунпцuu Эрu) F = F(x1,x2) ипредставить в виде(5.36)Из шести ус.n.овий сов.м.естности дефор.м.ацийотлично от тождественного нуля лишь одно:(3.14)д2сд ~~х2для плоской задачи+д2сх1Подставив в него (5.34), с учетом (5.36) и равенств Е1lт= (1+v)a<T)(T-To) получим4-V 2Fд2где v~ = v~v~ и v~ = -д2хlЕа(Т)2х1д2х2х2=О.= Е/(1- v2 )2+ -1---l lV 2 T =О,+ -д2 -д2с 12д ~ - 2д ди(5.37)бuгар.монuоцеспuй дuфференцu-tJ.~&ьnый оnератор и дифференциа.n.ьный оnератор Лап.л.аса, определенные в плоскости х1Ох2.Так как стационарное температурное поле в двумерной областипри постоянном значении теn.n.оnроводности среды >,(Т) удовлетворяетуравнению V~T + Qv />,(Т)= О, то вместо (5.37) можно написать V~F ==Еа(Т) л<т>(~ -v).
При отсутствии внутренних источников теплоты(qv=О) получим бuгар.монu-цеспое уравнениеV~F=O.(5.38)В случае задания на замкнутом граничном контуре односвязнойдвумерной области сu.n.овых граничных ус.n.овuй в виде uqmnq= 1, 2,= p':n,т=где n q - направляющие косинусы вектора внешней нормали к5.2. Температурные напряженияконтуру, ар~- проекции на координатные осиnJtomнocmu поверхностных сш, с учетомa2i' dx2озаданного вектораOxmзапишем(5.36)a2F167аdx1(ai')Pt = стнn1 +ст21n2 =-а+а д-d =-а -а ,2 -dхSXt Х2SSХ22оР2 = ст12n1 +ст22n2 =-да2 i' dx2Х1дХ2а2 i' dx1а (-d --д2 -d =--д -д 'XlSai')SSXts - длина дуги граничного контура, отсчитываемая от некоторойего точки, в которой примем F = О. Отсюда на этом контурегде1p~ds,sPq(s) =оВ случае односвязной области значения постоянных не влияют нараспределение компонент тензора напряжений и можно положить=С2 =Сз=0.Сначала находим функциюCt =F, а затем при помощи (5.36) компоненты стн и ст22.
Далее определяем с:З 3 из условия1стзз dSз= Р,(5.39)Sзгде Sз- площадь торцевого сечения цилиндрического тела, на одномиз торцов которого (при хз =О) примем иЗ =О; Р-равнодействующаясил, приложеиных к телу в направлении оси Охз.В полярных координатах представление компонент тензора напряжений через функциюнапряжений F(r,!p) имеет видCТriPa'FПри д({) =О из(5.38)d4= CТIPr =1ai'r2 а!{)1a2 F--:;: ara!p.следует уравнениеi'i'2 d3i'1 d2dr 4 + -:;: dr3 + r 2 dr 2 +1 dFrЗ dr = О,(5.40)168 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫобщее решение которого F(r) = A 1 1nr + A2r 2 lnr + Азr 2 + А4. В этомслучаеCТrrи СТr<рА1= 2r += a<prА2(1+ 2lnr) + 2Аз,(5.41)=О. Непосредственной проверкой петрудно установить, чтоуравнения равновесия в полярных координатахдarrarr- а"'"'r--+дr1 даr"'0'+---=r д<р~ да'Р'Рr д<р+ OO"r<p + 2 ar<pдr=О(5.42)rудовлетворяются тождественно при произвольных значениях постоянных А 1 , А 2 и Аз.Рассмотрим задачу Ламе для длинной круглой трубы, нагруженной давлением Ра на внутренней поверхности радиусом а и давлениемРь на внешней поверхности радиусом Ь.В этом случае при плоскомдеформированном состоянии компоненты тензоров деформации и напряжений зависят лишь от радиальной координаты, причем из(5.34)следует(5.43)гдедеформация в осевом направлении.€zz -интегрируя первое соотношение(5.43)поr,Используя(5.41) инаходимА1E1ur = -{1 + v1)- + 2r(1- v1)(Аз + A2lnr)r- (1 + v1)rA2- E1V€zzT +С (5.44)и после подстановки во второе соотношение(5.43) приходим к равен4r А2/ Е1 = С= const, из которого следует А2 = О и С = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
