Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 34
Текст из файла (страница 34)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫгде индексы(·)vи(·)Rобозначают верхнюю и нижнюю оценки, полученные в предположениях однородности деформированного состоянияВ. Фойгтом в1928 г. и1929 г. [20, 154].однородности напряженного состояния А. Рейссом вВ случае зерен с гексагональной плотноупакованной кристаллической решеткойсоответствии с2Сн~=~ х ~xvXRиJ.tv~J.t~J.tn,где в(36]+ Сзз + 2С12 + 4С1з9J.tv =1+ Sзз + 2812 + 4S1з '7Сн + 2Сзз - 5С12 - 4Сtз + 12С44~=2Sн30151-tR = 2(7Sн + 2Sзз- 5812- 4S1з + 3844).Для многофазного сплава-смеси, состоящего изNфаз с хаотической ориентацией разнородных кристаллических зерен, при усреднениисвойств зерен необходимо учитывать объемное содержание 1]11= 1, N)(v =каждой фазы.
В этом случаеNN(11) ,xv = "LJ' 1J11Xv11=1J.tv =L 1J11J.tt>'11=1N1" ' 1J111-tR = LJ М'11=1 J.t RNпричем Е 1]11 =11=11, что соответствует правилу смешивания [67]. От-сюда можно получить двусторонние оценки для ~одудл nрододьнойуnругости Е= 9x~-t/(3xv =E/(2~-t)-1.+ J.t)и оценки для коэффициента ПуассонаТакой подход примен:И:м и для двусторонней оценкихарактеристик композита. Для материалов с сильно различающимисясвойствами фаз (или компонентов композита) эти оценки обычно оказываются довольно грубыми, а в случае пористых материалов нижниеоценки становятся некорректными. Это обусловлено тем, что при такомподходе не учитывается взаимодействие между зернами или компонентами композита.Для оценки характеристик поликристаллического материала можноиспользовать решение задачи Эшелби[156]о в3аимодействии с изотроnной динейно-уnругой сn.л.ошной средой изотропного линейно-упругого сферического или эллипсоидального включения.
Заменив включение анизотропным кристаллическимзерном,удается учестьвзаимодействие отдельно взятого зерна таttой формы с окружающим егоматериалом[20, 36],причем не только при хаотической ориентациикристаллографических осей зерен. Таким же образом удается учестьвзаимодействие включений с матрицей композита[67].Для оценки5.4.упругихДвусторонние оценки характеристик неоднородных материаловхарактеристиклеоднородныхматериаловс181произвольнымиформой и ориентацией их комnонентов, в том числе материалов, структура которых содержит ячейки периодичноститакже использовать статистический подход[10, 31, 33, 110],[20, 154].можноДвусторонние оценки удается сблизить, если функцианалы в(5.57)рассматривать на допустимых распределениях перемещений и напряжений, соответствующих однородному напряженно-деформированномусостояниюотдельновзятогозерна,этого состояния в объеме материаланоотражающихнеоднородность[67].
На рис. 5.1 штрихпунктирныелинии соответствуют таким улучшенным оценкам для сплава карбида вольфрама и кобальта в зависимости от объемного содержания Т/ 1карбида вольфрама[36].Каждая фаза припята изотропной, причемдля карбида вольфрама х< 1 ) ::::: 419 ГПа, р.( 1 ) = 288 ГПа и для кобальтах< 2 ) = 172 ГПа, р.( 2 ) = 79,3 ГПа. Штриховые линии построены с использованием решения задачи Эшелби, а сплошные-согласно nравилусмешивания по формуламEv = 9xvp.v ,Зxv+p.v1Т/11- Т/1=+"Rх(1)х(2) 'ER =9XRIJ.RЗхR+ JLRКрестиками отмечены экспериментальные значения модуля Е.Для двусторонней оценки эффективного значения те.м.nературногох:оэффиv,иента .~&uнейного расширени.а аСТ) поликристаллического материала с хаотической ориентацией кристаллографических осей составляющих его однородных зерен рассмотрим представительный объемVo,заключенный в абсолютно жесткую оболочку.
При однородном поЕ; х; р., ГПа600500400300200о0,2Рис.0,45.10,60,87115. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ182этому объему изменении Ь.Т температуры примем, что перемещенияui(M)=О, М ЕVo.В этом случае€ij(M)=О и функционал(5.50) натаком допустимом для него распределении перемещений будет равенпоскольку подынтегральное выражение инвариантно относительно поворота кристаллографических осей. Значение аСТ) определим из равенстваjc..2ЗVо2 ха<Т>а<vТ)(дТ) = ~2~Jmn(€*mn - а<Т)mn Ь.Т) (€'!'.IJ а~~)IJ t::.T) dV,Voгде aV> = а~'{) -температурный -х:оэффициент объе.мно2о расширения кристаллических зерен.Правая часть этого равенства совпадает с минимальным значениемраспределении перемещенийJ[ui] функцианала (5.50) на истинномui(M) (М Е Vo) и компонент €ij тензорадеформации, соответствующих этому распределению.налаДля функцио(5.55) допустимым будет однородное распределениеO'fj(M) = -Зха<Т) Dij, на котором он примет видВ итоге с учетом(5.57)напряженийзапишемcklmna[Jai~> ~ 3xa<T>aV) ~ Зха(Т) (2aV)- 3xSkkmma(T)).Отсюда следуют верхняя оценка Cktmna[Jai~> /(ЗхаV>) ~ а<т> и нижняя оценка aV) / (3xSkkmm) ~аС Т).
Если кристаллические зерна обладают изотропией упругих характеристик, но сохраняют анизотропию поотношению к температурной деформации, то верхняя и нижняя оценкисападают и а(Т) = aV> /3.5.5.сТермаупругая средавнутренними параметрами состоянияПри· достаточно быстром изменении температуры тер.моуnру2ойсплошной среды возможно запаздывание во времени t изменения еесвойств. В этом случае .мате.матичес-х:ая .модель (ММ) такой среды,5.5..Термаупругая среда с внутренними параметрами состоннИJJ183характерная для х:J&ассичесх:ой тер.м.оуnругости, требует уточнения.Воспользуемся термодинамическим подходом к построению уточненноймодели, связанным с введением внутренних nара.м.етровсосто.ннWI.Для термаупругой среды, находящейся в состоянии тер.м.одина.м.ичесх:огоравновеси.н,однимизосновныхреактивныхnере.м.енных,определяющих ее свободную энергию, является абсоJ&ютна.н те.м.nература Т.
Если же в среде протекает неравновесный тер.м.одина.м.ичесх:ий nроцесс (или лопа.~~ьно неравновесный, т. е. неравновесный вокрестности пекоторой частицы сnJ&ошной среды), то можно в качествевнутреннего параметра состояния ввести еще и тер.м.одина.м.ичесх:уюте.м.nературу Ф, которая совпадает с абсолютной в том случае, когдаскорость изменения Ф равна нулю. Если Т служит мерой средней кинетической энергии в равновесном процессе, то Ф-в неравновесном.Для описания процесса переноса теплоты в среде введем векторныйвнутренний параметр состояниях, который, например, для кристаллических материалов можно ассоциировать с вектором плотности потокафононов.Кинетические уравнения, описывающие изменения во времени Ф их, примем в линейном приближении в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)(5.67)-где tт и t~вре.м.ена реJ&ах:сации внутренних параметров состояния,обратно пропорциональные частотам собственных колебаний молекулв перавновесном процессе и частотам взаимодействия фононов соответственно; Ф иXi -nроцессе; Xi -значения Ф и Xi в равновесно.м.
тер.м.одина.м.ичесх:о.м.проекции вектора Х на осиOxiсистемы nространственных х:оординат. Этим ОДУ удовлетворяют функции- J ( t-t')дФtФ=Ф--ехр- - - --dt,оПо аналогии сt*тдt'(5.14)в предположении(5.68)'lxl ~ 1 для.массовой nJ&отности свободной энергии запишемpA(ekl, Т, Ф,хk)1= 2(CijklEklEij + Hijklf3k!/3ij + FijXjXi)-Cijklekle~Г + рВ(Т) + рВ 1 (Ф, Т)- Dijklf3klEij- KijkXkEij,j, k, l = 1, 2, 3,(5.69)184 5.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ QПЛОШНОЙ СРЕДЫгде рnдотность среды; Cijkl -компоненты тензора 'l"оэффиv,и-ентов уnругости С;~.(Ф).. _е, fЗtз - Eij(Т).ко.м.nоненты тензора .м.адой дефор.м.аv,ииEij -(Ф)- Eij , Eij(Т)и Eijкомпоненты тензоров те.м.nератур--ной дефор.м.аv,ии, определяемые температурамиФ и Т соответственно,причем IEijl«(Ф)1, IEij1«(Т)1 и IEij1«1.
Ясно, что fЗij-+ О при Ф-+ Т.= В 1 (Т0 ,То) =О,При температуре То естественного состолнил В(То)т. е. свободная энергия- функция только деформации, а при Eij =Освободная энергия зависит лишь от Т, Ф иXi.Поскольку при малой деформации можно отождествить тензорынаnрлжений Коши (; и Пиоды (4.39) и из (5.69) следует, чтоКиргофа Т, из первого равенства(5.70)а из второго равенства(4.39)и из(5.69)для массовой плотностиэнтроnии получим(Т)h=CijklдEijdBdTдВ1(5.71)--Ekt _ _ _ - - - -ратдт·Поскольку при температуре То естественного состоянияизh =О и Ekl =О,(5.71) следует, что в этом состоянии dB/dT + дВ 1 /дТ =О.Подставив (5.71) в (4.22), придем при условии малости деформациик закону сохранения энергии в виде уравненил теnдоnроводностигде аР')t)= &~~)/дТ=а/~)t). В дальнейшем положим также д€~~)/дФtJt) .Диссипативная функция для рассматриваемой сплошной среды, какследует из6v =(4.40)при условии малости деформации, имеет вид-р дА дФ- Р дА дХi =(к· ·kE·.- F.k3·х3·) дхk +дФ дtдХi дttJtJ+ ( Dijl.:lakl(Т) Eij -дt(Т)HijklaklдВ1) дФfЗij - Р дФдt ·Очевидно, что бD -+ О при Ф -+ О и Xi -+ О.Дальнейшая конкретизация (5.70) и (5.71) связана с выбором видафункций для равновесных значений внутренних параметров состояния5.5.Термаупругая срма с внутренними параметрами состояния185и вектора плотности теплового потока.
В данном случае nримем их вnростейшем виде(5.73)не nротиворечащем nринциnам рациональной термодинамики. Кроме2d Bтого, nоложим Се = -Т ( dТ2с учетом(5.68)атРСеРСет+ tГи2+ ддТВ21)2д В= -Т дТд~. Тогда уравнение (5. 72)nримет вид(5.73)1 ( t- t')tехр- tj,ат'(Т) Oeijot'dt =-TCijklakl т+qv+од(Т) OXjдТ Jtо ехр (-тt - t') &2Т') )дxj8t' dt(+ дv + дхi лij('(5.74)где л~J) = 'Pikzkj -комnоненты тензора теплопроводности.Задав выражение дляXiв виде второго равенства(5.73),третьего условияс учетом=(4.39) независимости А от оТ/ oxi nолучим Fkj О иKijk =О. Поэтому nосле nодстановки (5.70) с учетом равенств (5.68)в уравнения движения среды (3.62) nолучим систему трех интегродифференциальных уравнений с частными nроизводными(5.75)где D1,D2 -= Dtдijдklаналоги коэффициентов Ламе Л и J.L (тогда Dijkl =+ D2(дikдjl + дilдjk)),учитывающие влияние скорости изменения градиента абсолютной температуры на вектор nеремещения и сnроекциями иi на осиOxiсистемы nространствеиных координат.Для однозначного решения(5.74)и(5.75)используют начальныеуеловил= Т (М), Т(М,О) = Т 0 (М),}иi(М,О) = иi(М), iч(М,О) = vi(M),Т(М,О)MEV,0(5.76)186 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
