Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Тогда, пренебрегая в левой части (5.82) третьим слагаемым,характеризующим эффект тер.м.о.м.ехани-ч.ес-х;ой св.нзанности, получимрс10т..pm10 X =-а(Тс- T)SVt Е [t 8 , t 1],,(5.87)где а- -х;оэффициент теп.л.ооб.м.ена тела с окружающей средой, имеющей температуру Те;S-поверхность тела.Численное решение с использованиемявить влияниевремени-• t;o:sпараметра tx = --у-t = -v~sре.,позволяет вы(5.83)-(5.87)на зависимость от безразмерного~т-т.безразмерной температуры(}= т. т.о (рис. 5.2) ихс-о(рис. 5.3). Расчеты проведены при c.,(T:n~To) = 1 и значениях (}А.= 0,45,(} л 1 = 0,55. Сплошная кривая на рис. 5.2 соответствует случаю, когдався поступающая от окружающей среды теплота идет на повышениетемпературы тела, т. е.
в(5.87) опущено второе слагаемое в левой части, а значение сЕ увеличено на л/':..." л •. Штриховые линии на рис. 5.2еjl/~t(;1r/0,53J./;L/~1\0,51iJ1 1"110,490,47/i 11!};,.//j/у_",.,."-tP' ~--/;Y;/i ;,/у; '//7/~2./"'/2,0Рис.5.21'~/ 1'1'0,45 ............0,6 0,7 0,8 0,9 1,01'1''1/~"./v:'"'-//0'".?'/?~.d-~ ~\111' '1'1925.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕдЫх.............о.F====~0,8r\== 1"\~~2 "'1~Q...........................'<""' '-о', ',0,6',_l)"\..0,4'\.' ~-\0,20,6 0,7 0,8 0,9 1,02,0Рис.5.3.zJ ~-.......... q 'ои рис.'":-~\5.3построены с использованием(5.83),штрихпунктирные- сиспользованием(5.85), помеченные крестиком - (5.84), кружком (5.86), кривые 1 построены при t~ = 10, а кривые 2 - при t~ = 0,1.
Дополнительный анализ показывает, что при Cg(Tc -То)/те > 1 уменьшается влияние изменения х на изменение (}. Это связано с относительнымснижением затрат энергии на фазовый переход.5. 7.Термоупругая среда скоростного типаОдним из возможных вариантов линейной тер.моупру2ой сплош-н,ойсреды является среда, при построении .мате.мати'Чес-к:ой .модели (ММ)которой наряду с такими реа-к:тив-н,ы.м,и пере.меюtы.ми, как -к:о.мпо-н,е-н,тыIЩ ( i,j= 1, 2, 3)те-н,зора .малой деформации, абсолют-н,а.н температура Т, проекции {)i ее градиента на осиOxiпрн.моу2олъ-н,ой системы-к:оорди-н,ат (аргументы а-к:тив-н,ых пере.ме-н,-н,ых), используют скоростьТ= дТ / дt изменения температуры во времени t. При построении ММтакой среды введем в рассмотрение тер.моди-н,а.ми'Чес-к:ую температуруФ, совпадающую с абсоЛютной температурой, если Ф--4О. Предположим, что в -н,ераве-н,стве Клаузиуса- Дюи.м,а можно заменить Т на Ф.ТогданеравенстводhрФ дtгде р-плотность среды;д (qi)+ Ф дхiФ -h-qv ;;;:: О,.массовая плот-н,остъ энтропии;проекции вектора плотности теплово2о пото-к:а на осипространстве-н,-н,ых -к:оорди-н,ат;qv-Oxiqi -системыобъе.м,-н,а.н плот-н,остъ мощности5.
7.193Термаупругая среда скоростного типавнутренних источников теnлоты, nри nомощи видоизмененного оnределения массовой nлотности свободной энергии А= и- Фh (и- массоваяnлотность внутренней энергии) с учетом(4.11)nредставим в виде(5.88)где дD = O'ijЁij-р( А+ hФ) -диссипативна.н функция;O'ij -комnоненты тензора напряжений.Положим, что активные nеременвые А,реактивных nеременных(5.88)h,Т, Т и '19k, k, ltk!,=qi и Ф зависят от1, 2, 3. В этом случаеO'ij,с учетом равенстваnримет видТак как неравенство(5.89)в рассматриваемом nроцессе сnраведливо для nроизвольных скоростей изменения аргументов E:ij, Т и 19i, то изнего следуют соотношенияh дФ)т + .!!!:_ ( дФ дсk1 + дФ '19· + дФ дrJk) ~О( дА+дТдТрФ дckl дхiдТ ~ д19k дхi'дАO'ijqi= р-д E:ijдФрh-д ,дАE:ijдАдФдТдТ- .
+ h-. =о,дФ) (дФ)-1= -рФ ( дrJi + h дrJiдТ(5.90).Отметим, что в левой части (5.89) множитель nри Т не равен нулю,nоскольку Т - задаваемый аргумент. Из равенств1945. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕдЫв силу произвольности дc:kt! дхi и дiJk/ дхi с учетом неравенства(5.90)получимдФдФUC:klUC:kiqi~+qt~=O,Поскольку в общем случаеqiqi=/:О,то отсюда следует дФ/дс:kl ==О и дФjдiJk =О, т. е. термодинамическая температура не должназависеть от градиента абсолютной температуры и тензора деформации.Тогда (после проделанных выкладок) бvупрощаются выражения (5.90):qi дФ~ _,.,.iJi Ф дТ- риv::::::: О,дАдФat + h дт = 0'С учетом второго равенства(4.11)=-р(дАjдТ + hдФ/дТ)Т идАдА(5.91)(дФ)-1qi = - дiJi рФ дт(5.90)}aij = Р дeij'·и первого равенства(5.91) уравнение(4.22) вид:зах:она сохранения энергии примет аналогичный(5.92)Дальнейшая конкретизация ММ рассматриваемого варианта термаупругой среды связана с выбором вида функций свободной энергиии термодинамической температуры.
Зададим их в следующей форме:Ф(Т,Т) =Т+ Ф(Т,Т),где Cijkl и e~J> - компоненты тензора х:оэффициентов упругости итензора те.мпературной дефор.мации соответственно; тiГкомпо-ненты тензора, определяемого скоростью измененИя абсолютной температуры. Отметим, что Ф(Т, Т) = О при Т= То и Т= О. Отсюда сучетом первых двух равенств из (5.91) получаем(5.93)5. 7.Термаупругая среда скоростного типа195а при Eij =О имеем рА(О, Т, Т, {)k) = Dij{)j{)i/2 + рВ(Т, Т)+ Ei(T, T){)i·Последнее равенство может быть использовано для описания прочесса теплопроводности в абсолютно твердо.м теле.
От аналогичныхпо смыслу равенств, следующих приEij=О из(5.14)и(5.69)соответственно для ММ х:ласси'Чесх:ой тер.моупругости и ММ, описывающейрелаксационные эффекты при распространении и аккумуляции теплоты, оно отличается учетом скорости Т изменения абсолютной температуры.Так как O'ij = О при Ekl =ck;) = 'Yki) = О, то Fijk = О. Если считатьТ~ То, то можно принять Ei(T, Т)= Ei(T) = EfT. Кроме того, прилинеаризации положим(5.93)IIJ!(T;, T)l << 1получимидiJ!-.дТ= 1/Jo = const.Тогда вместо(5.94)где )/~) = DijTo ZJ1/Joкомпоненты тензора теплопроводности, а Ei =_ EfTo-То.Используя(5.94)и принятые при получении этих соотношенийдопущения вместе с третьим равенством(5. 91),запишем(5.95)ОбозначивТо д2 Вс-----~-и подставив(5.95)в1/Jo дТдТ'(5.92),получим уравнение теплопроводности196 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫНачадьные усдовия сохраняют вида граничные усдовия имеют(5.76),вид (5.21) с добавлением в левую часть слагаемого E{fni, где ni проекции на осиностиS,Oxiединичного вектора внешней нормали к поверхограничивающей областьОтметим, что(5.96)занятую термаупругой средой.V,описывает процесс теплопроводности с конечнойскоростью,(Т)-Dq="':ijnjnipcet~распространения теплоты в направлении вектораnс проекциямиni.Если этот вектор определяет нормаль к nоверхности разрыва, т.
е.n = п*, то Dq совпадает с D; (см. 5.5).Для рассматриваемой ММ уравнения движения дuнейной анизотроnной тер.м.оуnругой среды в nере.м.ещениях следуют из.д (Т)(5.8)придобавлении в правую часть слагаемого -Cijkl{}j~, причем сохранядТют силу начальные и граничные условия(5.10)-(5.12).6.ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИПри решении многих прикладных задач, возникающих в инженерной практике,возможно рациональное упрощение .мате.м.ати-чесх:их.м.оде.ttей (ММ) механики сn.ttошной среды, которое не приводит к потере достоверности результатов количественного анализа, но делает этирезультаты более обозримыми и поддающимися более ясной в практическом отношении интерпретации. Такие упрощенные ММ принятоотносить к разделу механики, обычно называемому прикладной механикой.
В частности, к ним относятся ММ, используемые в курсахсопротивления материалов и строительной механики различных типов конструкций и сооружений. При этом один из основных приемовупрощения ММ связан с принятием и обоснованием так называемыхпине.матичеспиzгиnотез,устанавливающих определенныеограничения на перемещения, что в сочетании с использованием npuнцunaвоз.м.ожных nере.мещений и с анализом воз.можной работы приложенной внешней нагрузки позволяет выявить в рас-четной схе.ме (РС) рассматриваемого техни-чесх:ого объех:та и его ММ наиболее существенные факторы и иренебречь влиянием менее существенных. Результатом такого упрощения являются широко используемые в прикладноймеханике РС стержн.11 (тела, одно измерение которого существенно больше двух других) и РС обо.л.очпu (тела, толщина которогозначительно меньше двух других измерений).
Если множество равноотстоящих от поверхностей оболочки точек, называемое срединнойnоверхностью, лежит в плоскости, то говорятоРС nластины (илиn.л.астинпи, подчеркивая этим ее малую толщину по сравнению с двумя другими размерами). В этой главе кратко рассмотрим РС и ММстержня, оболочки, пластинки и мембраны.6.1.Математические модели стержняЕсли вдоль произвольной линии перемещать плоскую фигуру так,чтобы ее плоскость была пеi:шендикулярна кривой, то контур этой фигуры опишет боковую поверхность приво.л.инейного стержн.11. Этуфигуру называют nоnеречным еечение.м стержня, которое можетбыть переменным, если фигура при движении изменяет свою формуи/или размеры. В частном случае перемещения фигуры вдоль прямой6.
ОСНОВНЫЕ МОдЕЛИ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ198получим nрн.молинейкый стержень, а когда перемещение фигуры-сопровождается ее вращением около прямойестественно запручеккый стержень (примером такого стержня является спиральноесверло).В плоскости фигуры площадьюх:оординат066.Fвыберем nря.м.оуго.л.ьную систе.м.уТочку С с координатамиS66с=р-=F1111SF..26с=р-=F6dF,F. где 8~;3и06и6dF,F86- статические моменты площади Fотносительно осей06соответственно, принято называть центром тяжести этой площади, а применительно к поперечному сечению стержнятнжестu сечемин[145].При этом St;.з иSt;2-центро.мназывают статичеспи.ми .мо.мента.ми сечекин. Если начало координат совместить сточкой С, то St;з =цектралькы.ми.SF..2 =О.
В этом случае оси координат называютЕсли при движении фигуры ее плоскость перпендикулярна кривой и точка С остается на этой кривой, то кривуюназывают осевой линией стержкн.Пусть осищадьюF.06и06,являются центральными осями сечения плоЦентробежный .мо.мент инерции сечеминlt;2t;.з =166dFFповоротом этих осей на угол ао = ~ arctg2lt; 2 =1~5dF,F121(2~(з- (2,где1lt;з = ~~dFFосевые .мо.менты инерции этого сечеки.Jl относительно осейи06соотl!_етств~но, обращается в нульнии осей06и06,[145].06При новом положекоторые называют главными, осевые момеlfrыинерции достигают экстремальных значений/2и Iз, называемых главны.ми .мо.мента.ми инерции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
