Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Тогда с учетом (6.18) получимr, cosep ~ 1и-и2 = rcos(a +ер)- rcosa ~ -хзер = -x1xзfJ,}из= rsin(a +ер)- rsina ~ х2ер = x1x2fJ.(6.19)Полагая, что все поперечные сечения стержня искажаются одинаково, можно принять(6.20)6.2.209Кручение прямолинейных стержнейРис.6.5где П(х 2 ,х3) -пока еще неизвестная фун.пция деnлан.ациu. Теперьследует проверить, удовлетворяют ли перемещения в виде(6.20)трем уравнениям.(6.19)иравновесия в пере.м.ещениях, в данном(5.22)случае при отсутствии объемных сил и температурных деформацийпринимающим види11- -+ ('л + J.t ) дхiдХj82щ = О ,82uiJ.t дхjдХjх:онстанты Ла.м.е..
. = 1, 2, 3,z, Jгде'лНесложно проверить, что эти уравненияудовлетворяются тождественно приi= 2, 3, а при i = 1 -при условии(6.21)В соответствии с(3.12)(6.19), (6.20),законом Гука и соотношениями Кошидля х:о.м.понент тензора напряжений находиман= а22 = а33 = а23 = а32 = О,0"12= 0"21 = J.~,19(;~- Х3)'(6.22)а13 = а31 = 11-1?(;~ + х2).От функции депланации П(х2,х3) удобнее перейти к фуипции пасательных н.аnряжеиий, определяемой соотношениямиawа12=-а ,хзИсключая из(6.21)-(6.23)aw0"13 =- ах2.а12, а1з и П, получаем уравнение Пуассонаa2 wа2 Ф-а2 +-а2 =х2Можно показать[139],(6.23)хз-2J.t1?.что для .л.инейно-упругой сп.л.ошной средыследует из ус.л.овий совместности дефор.м.аи,ий.(6.24)(6.24)6. ОСНОВНЫЕ МОЛЕЛИ ПРИКЛАЛНОЙ МЕХАНИКИ210Так как боковая поверхность 86 стержня свободна от нагрузки,то напряжения(6.22) в любой точке РЕ 86 должны удовлетворятьсuJ&овы.м граничным усJ&овш.м (3.47) при Pi =О в виде O'ji(P)nj(P) =О.Здесь nj -направляющие косинусы внешней нормали к 86, причемn1 = dx1jds=О,n2 =dxзfds и nз =-dx2jds, где s -длина дугиконтура Г поперечного сечения, отсчитываемая против хода часовойстрелки (см.
рис.6.5). При i = 2, 3 этипри i = 1 с учетом (6.23)условия удовлетворяютсятождественно, аих можно представить ввидедФ dхздФ dx2dii!--+--=-=0дхз dsдх2 dsds'т. е. на контуре Г должно быть Ф= const.(6.25)Для стержней со сплошным(односвязным) поперечным сечением можно принять Ф(Р) =ОVPЕ 86,а в случае многосвязных сечений на каждом замкнутом контуре функция касательных напряжений должна быть постоянной.Касательные напряжения в поперечном сечении создают относительно оси Ох1 моментДля односвязного поперечного сечения интегрированием по частям сучетом нулевого значения функции Ф на контуре и следующего изусловия равновесия отсеченной части стержня равенства М1=МкполучимМк = 2JJФdxdy,(6.26)Fчто позволяет выразитьfJ,от которого зависит Ф, через заданное значение Мк.
В силу принцила Сен-Венана нанекотором расстоянии отторцов стержня касательные напряжения будут определяться лишьзначением момента Мк и практически не будут зависеть от способазадания этого момента на торце при х1вешивающих его на торце при х 1=Lи создания усилий, уравно= О.Математической модели, включающей(6.25)и граничное условиеФ =О на контуре поперечного сечения стержня, соответствует вариацио·н:н.ая фор.ма ММ, содержащая фующионаJ&6.2.Кручение прямоЛИllейных стержней211который допустимо рассматривать на непрерывных в областиFциях Ф, удовлетворяющих граничному условию и имеющих вкусочноFфункнепрерывные производные.
На истинном распределении Ф*(х2,х 3 ) функции Ф вF этот функционал достигает минимума. А.~tътернативны.мпо отношению к нему функционалом, достигающим на истинном распределении максимума, будетЕго допустимо рассматривать также на непрерывных в областифункциях Ф, имеющих ввлетворяющих(6.26),FFкусочно непрерывные производные и удоно не обязательно удовлетворяющих граничномуусловию. Функционалы J[Ф] и J[Ф] составляют двойственную вариационную фор.му ММ цилиндрического стержня при кручении.Сопоставим ММ кручения цилиндрического стержня с ММ установившегася плоскопараллельного вращательного движения идеальнойнесжимаемой жидкости в цилиндрическом сосуде, поперечное сечениекоторого совпадает с поперечным сечением стержня.
В случае движения жидкости параллельно координатной плоскости х 2 0хз, используясоотношения(6.27)введем скалярную фующию то'/'Са 1/II(X2,xз) (здесьv2и vз -проекции вектора скорости жидкости на оси Ох2 и Охз соответственно).Тогда для такого движения уравнение неразрывностидедv2-8 Х2дvз+ -8 = ОХз(3.33)в ви-удовлетворяется тождественно, а для вращательно-=относительно оси Ох1, используя (6.27), получаем урав22нение Пуассона 88 ~1 + 88 ~1 = -2w1, идентичное (6.24) для функции Ф.го движения частиц жидкости с постоянной угловой скоростьюw181= - (адvз- v 2 )2 х2 8 хзх2ХзНа непроницаемых стенках сосуда нормальная составляющая скоро-сти равна нулю, т. е.
dф 1 jds =О, что идентично граничному условию(6.25).Таким образом, ММ совпадают с точностью до обозначений, чтообосновывает гидромеханическую аналогию. Линии то'/'Са ф 1= const,в каждой точке которой вектор скорости жидкости направлен по касательной к этой линии, соответствует при кручениипасательных наnр.11жений Фвектор т= а12е2+ а1зез.mpaenmopu.11= const.
К этой траектории касателен6. ОСНОВНЫЕ МОдЕЛИ ПРИКЛАЛНОЙ МЕХАНИКИ212Из (П1.18) и (П1.25) для цирх:у.л.лции вех:торапроизвольному плоскому замкнутому контуру Г' приv = v2e 2 + vзез поw1 = const следуетгдеF ' - площадь области, охватываемая контуром Г'. Вместе с тем,интегрируя (6.24) по области F', ограниченной траекторией касательных напряжений Ф = const в виде контура Г', в соответствии с теоре.м.ой Остроградсх:ого- Гаусса и (6.23) получаем(6.28)т. е. циркуляция вектора т соответствует циркуляции вектораv.Помимо гидродинамической аналогии полезно иметь в виду такназываемую .мембранную (или nлено'Чную) аналогию[139, 145].Равновесие тонкой пластинки, не имеющей жестх:ости при изгибе иназываемой .мембраной, описывается уравнением=-р, гдеN -мембраны;R1иN(1/ R1+ 1/ R2) =равномерное натяжение на единицу длины контураR2-радиусы кривизны ее деформированной срединной поверхности под действием давления р.
Перемещение точек этойповерхности в направлении нормали к ней в ведеформированном состоянии называют nрогuбо.м .мембраны. Если при малых прогибахw(х2,хз) принять 1/ R1 ~ д2 wjдх~ и 1/ R2 ~ д2 wjдх~, то получим уравне ни ед2wд2wрдх~ + дх~ = - N'идентичное(6.24)(6.29)для функции Ф. При закреплении мембраны по плоскому контуру, подобному контуру односвязного поперечного сечениястержня, граничное условиеw=О на этом контуре будет идентичнограничному условию Ф =О.
Линии равных прогибов на поверхностимембраны будут соответствовать траекториям касательных напряжений, а объем, ограниченный срединной поверхностью мембраны и плоскостью ее контура, будет пропорционален крутящему моменту Мк.Гидромеханическая и мембранная аналогии позволяют получить накачественном уровне представление об особенностях распределения касательных напряжений в прямоугольном поперечном сечении стержня,нагруженного крутящим моментом.В отличие от стержня с круглым поперечным сечением, когда наибольшие касательные напряжениявозникают в наиболее удаленных от оси стержня точках на контуре6.2. Кручение прямолинейных стержней213сечения, в данном случае в наиболее удаленных угловых точках касательные напряжения равны нулю, а наибольших значений достиГаютв серединах длинных сторон контура.
Действительно, скорость вращательного движения жидкости вдоль длинной стороны контура будетбольше, чем вдоль короткой, а в углах равна нулю.аналогиизначениекасательноголю градиента функцииwнапряженияВ мембраннойпропорциональнопрогиба мембраны.модуВ углах этот модульравен нулю, а наибольшего значения достигает в серединах длинныхсторон контура. Строгое решение задачи о кручении стержня с прямоугольным поперечным сечениемподтверждает эти выводы. Такое[139]решение позволяет найти функцию депланации в виде8Ь~ ооП(х2,хз) = Х2ХЗ- -;з L8h( -1)n(2n-1)3chn=1(2n-[97]1)1ГхзЬ2(2n-1)7ГЬз2~. (2n- 1)1rx2sшь2,г де Ь2 и Ьз -длины сторон контура вдоль осей Ох2 и Охз соответственно.
На рис.6.6, аизолиниями перемещения щ='!?П изображено отклонение квадратного поперечного сечения (Ь2 = Ьз) от плоского (сплошныелинии соответствуют отклонениям от плоскости в одну сторону вдольпродольной оси Ох 1 , а штриховые- в противоположную). Вдоль осейсимметрии сечения щ =О. На рис.го перемещения при Ь2/Ьз6.6,< 1,4513 иб и в представлены изолинии этоЬ2/Ьз ~авРис.6.61,4513 соответственно [97].6. ОСНОВНЫЕ МОЛЕЛИ ПРИКЛАЛНОЙ МЕХАНИКИ214Пусть в отличие от рассмотренной вьпnе круглой тонкостеннойтрубки прямолинейный тонкостенный стержень имеет поперечное сечение,ограниченное двумя гладкими замкнутыми кривыми,которых вложена в другую (рис.6.7),причем толщинаобщем случае является функцией длиныsh(s)одна изстенки вдуги средней линии сечения,отсчитываемой от пекоторой выбранной точки.
Условия закрепленияи нагружения примем такими же, как и в случае тонкостенной трубки, но, полагая касательные напряжения т( s) неизменными по толщинестенки, теперь необходимо учитывать их зависимость отs.Следуя гидромеханической аналогии, можно предположить в силу постоянстварасхода несжимаемой жидкости в замкнутом канале, соответствующемстенке, что т(s )h(s)ABCD,= const.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
