Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В первом~Аbh2мприводит к повороту элементарнои площадки на уголуглыполосы,PL 2=- 2Еlз'гдекасательныенапряженияравныв112нулю,точке=ЗР2J.Lbh,аостаютсяпрямыми. Во втором случае на тот же угол, но по ходу часовой стрелки,поворачивается ось полосы.баРис.6.13Аналогичные формы принимает след поперечного сечения полосыпри любом значении х 1 Е(6.50)(0, L).Нелинейпая зависимость ut от х2 возначает, что плоское до деформирования поперечное сечениеполосы после деформирования уже не остается плоским. Если край полосы при х =О жестко закреплен во всех своих точках, то и после еенагружения он останется плоским.
Тогда в силу принципа Сен-Венанаполученные результаты будут применямы лишь к поперечным сечениям полосы нанекотором удалении от этого края.Из(6.50)выполнениис учетом найденных выражений для(6.51)Cmпрогиб осевой линии полосы w 1 (x 1 )получим, что при= и2(х 1 ,О) полно-стью совпадает с (6.45), а прогиб w2(x 1) = w1(x 1)- ~::~ отличается на6.4.Математические модели оболочкивеличину, пропорциональную "У12· При х1 ="Y12L и по сравнению сw1 ( L)имеет порядок227Lэто отличие составляет2h / L 2, что в большинствепрактически важных случаев несущественно.Из приведеиных выше соотношений ясно, что для нахождения напряжений в балке и ее прогиба необходимо располагать зависимостьюМз(хl) изгибающего момента от продольной координаты х 1 .
Получение этой зависимости обычно (кроме некоторых элементарных случаев)требует предварительного определения реакций в местах закреплениябалки. При шарнирном закреплении конца балки в идеальном случаепринимают, что на этом конце изгибающий момент равен нулю и может возникнуть лишь реакция в виде поперечно направленной силы.При жестком закреплении (защемлении) конца балки в общем случаевозникают изгибающий момент и поперечная сила.Рассмотренные ММ кручения и изгиба стержня лежат в основе построения ММ плоских и пространствеиных стержневых систе.м, представляющих собой совокупность соединенных между собойстержней, нагруженных сосредоточенными и распределенными силами и моментами. Если для определения реакций в местах закреплениястержневой системы достаточно уравнений ее статического равновесия, то систему называют статичеспи оnреде.л.и.мой, в противномслучае, когда для определения реакций требуется привлечение дополнительных условий, накладываемых на перемещения и углы поворотапоперечных сечений стержней[145],систему называют статичеспинеоnреде.л.и.мой.6.4.Математические модели оболочкиОбодоч-ку можно представить как тело, образованное множествомотрезков длинойh,перпендикулярных пекоторой поверхности.
Еслиточки пересечения отрезков с этой поверхностью делят их пополам, тоона будет срединной поверхностью оболочки. Приh = constговорят обобо.л.очпе nастоннной толщины.В неподвижной прямоуго.л,ьной системе -координат Ох 1 х2 х3 с репером {е%}при помощи радиус-ве-ктора X 0(k = 1, 2, 3)г.л,ад-кую срединную поверхностья.м.и /Зi,i = 1, 2,S(f3 1 , /32 )зададимоболочки с -координатными .л,иниявляющимися .л,иниями -кривизны этой поверхности.Тог да положение любой точки М ЕSна этой поверхности будет однозначно определено ортогона.л,ьными -криво.л,инейными -координатами/Зi, а векторыxi = дх0/д/Зi будут параллельны касательным к соответствующим координатным линиям (см.
П1.5).6. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАдНОЙ МЕХАНИКИ228С каждой точкой М ЕS свяжем репер {ej} (j = 1, 2, 3) с правойтрой'tСой единичных ве'tСторов- ортов е1 = ж1/ HJ., е2 = ж2/ Н2 и ез == е1 х е2, где=Обозначим через к,1(М) и к,2(М) главныеHilxfl.кривизны поверхностиS в точке М Е S и примем характерные дляоболочек допущения [101]: азз =О и Езз = €13 = €23 =О, где O'jk и Ejk'tСо.мпоненты симметричных тензоров соответственно напряжений и.малой дефор.мации в произвольной точке оболочки в системе криволинейных координат{Jj, определяемой репером {ej}· Последняя цепочкаравенств характеризует гиnотезу Кирхгофа-Л.ява и означает,что прямолинейный элемент оболочки, нормальный к поверхностиS,в процессе дефор.мирования оболочки сохраняет свою длину и остаетсяпрямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности.
Это допущение аналогично гипотезе Бернулли, используемойпри построении .мате.мати'ЧеС'tСой .модели (ММ) стержня (см.Соотношения Коши(3.12)6.1).для иенулевых компонент Ejk в криволинейных координатах, согласно (П1.33), (П1.34) и условиям, Кодацци,примут вид[112]1€11=дщщ [jjj;1€22 = Н2ди28(321дН}1дН2+ и2 "'iifЩ 8jj;' + "'1 U31 + "'1fJз+ Щ Н} Н2 8(31 __+ "'2_u 31 + к,2fJЗ(6.53)--"'--'------:-~--"'::-.;__а для нулевых компонент-(6.54)...где щ({J1,fJ2,fJз)- проекции ве'tСтора пере.мещения и= щеj на напра-вления ортов ej; Н1= Н}(1 + к,1fJз)и Н2= Н2(1 + к,2fJз) -енты Ла.ме, выражаемые через производные пооболочки (см.
П1.5). Из(6.54)при Езз{Ji= €13 = €23'tСоэффицикоординат Xk точки=О интегрированиемпо fJз находим(6.55)229Математические модели оболочки6.4.где иj = иj(/31,!32) = щ(!З1,/З2,0)- проекции вектора перемещения U == иjej точки М Е S на направления ортов ej (проекцию иЗ принято0называть nрогибо.м. обо.л.очпи),(6.56)углы поворота (с точностью до малых более высокого порядка) элемента срединной поверхностилиниям;31 ивокруг касательных к координатнымS!З2 соответственно, обусловленные ее деформированием.Подставивв(6.55)получим(6.53),Ен = Е1 + д,ч!Зз,€1 + ""1/Зз€12 =22 = Е2 + дк,~fЗз :}1 + ""21-'З(6.57)+ 'WJ/33 W2 + 'W2/ЗЗ+ 1 + ""2/Зз '1 + ""1/ЗзW1где1 диJ.и2дН]_1 ди2ои}дН2о€1 =Н]_ д/31 +Н]_ Н2 д/32 +к,1 из, €2= Н2 д/32 +Н]_ Н2 д/31 +к,2из,1д'!?11 д'!?2дН]_'1?2дН2'1?1д,." 1 = -Н]_ д!З1 - Н]_ Н2 д/32 ' Дк, 2 =- Н2 дf32- Н]_ Н2 д/31 '1(.Vди2и}1 ди}дН]_1 = Н]_ дfЗt - Н]_ Н2 д/32 '1w 1 =-Н]_д'!?2дН]_'!?1wд/31 + Н]_Н2 д/32'Можно показать[112],2и2дН2= Н2 д/32 - Н]_ Н2 д/31 '1 д'!Э1ro2 = - Н2'!?2дН2д/32 + Н]_Н2 д/31.что при деформировании срединной поверхностиотносительное удлинение в направлении ортаE"i -(6.58)ei,нение значения соответствующей главной кривизны, WIДк,i -+ w2 =изме/'12 -угол сдвига в плоскости ортов е1 и е2, (w2- w1)/2 = '!9з- угол поворота элемента срединной поверхности вокруг нормали к ней.
Величинадк,12= (ro1 + к,1w2 + ro2 + к,2w1)/2 характеризует кручение этой поверхности.Уеловин Гаусса и Кодацци приводят к трем условиям, сов.местности дефор.маций срединной поверхности, связывающим шесть величинE"i, д,."i,/'12 и Ак,12 [112]:дН2к, 1 ( €1 д/31 -+д(Н2Е2)д/31+д(Н26.к,2)_ 6.д/31д(Н]_/'12)д/32дН2к,1 д/31+""2""1 /'12дН]_)д/32+_ д(Н]_Ак,12) _ 6.д/32дН]_""12_д/32 - 0, (6.59)б. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ230дН}1\;д(Н}€1)2 ( €2 д/32 --д(Н2'У12)+д/31д(Н}6~~:1) _лдН}д/32+~~:2д~~:1д/32Ul\;2 д/32+11:1д11:2-1( д1 (дН2Н} Н2 д/31 Н} €1 д/31 -_11:1дН2)+ 11:2 'У12 д/31 +д(Н26~~:12)д/3 1д(Н2€2)д/31_дН21 д(Н}'У12)+_6 11:12 д/3 - о,12 д/32(6.60)'У12 дН})+2 д/32+Эти условия записаны в предположении, что деформации срединнойповерхности малы, поэтому их влиянием на значения ll:i иHfможнопренебречь.Рассмотрим элемент оболочки постоянной тошдиныщий областьdV,занимаюh,ограниченную -к:оординатньши поверхн.остл.м.и fЗз== ±h/2 и нор.м.альны.м.и се-ченил.м.исрединной поверхн.остикасательS,ными к линиям кривизны,щим через точки М, М' Е.линейнымиРис.6.14).~~:1h/2)df31H2(1с криво+ d/31и/32, /32 + d/32Срединная поверхностьэтого элемента имеет площадь6.14+= h/2площадью dS+=11:2h/2)dfЗ2 приложена нагрузка, определяемая заданным вектором напряжения и+, а на поверхности fЗзплощадью dS-dS == HfdfЗi (см.
П1.5).Пусть к этому элементу на поверхности fЗз= Н}(1 +проходякоординатами соответственно fЗi, fЗi(рис.S= -h/2= H}(1-~~:1h/2)df31H2(1-~~:2h/2)df32- нагрузка,определяемая заданным вектором напряжения и-. Кроме того, на оболочкудействуют объе.м.ные силы с вектором плотности Ь. Тогда действующие на этот элемент оболочки векторы усилия и момента, отнесенные к единице площади срединной поверхности, будут соответственноравныр= (1+ ~~:~h)(1+ ~~:~h)и++ (1-~~:~h)(1-~~:~h)и-+h/2+j-h/2(1 +~~:1f3з)(1 + ~~:2fЗз)Ьdf3з,2316.4.
Математические модели оболочкиm=(l+ к~h)(l+ к~h)~eзxu++(l- к~h)(1- к~h)~езхи-+h/2j+(l +к1/1з)(l + к2/1з)/1зез х bd/13 •-h/2В любом сечении элемента оболочки, перпендикулярном координатной линии/1i,действуют напряжения l7ij, являющиеся проекциямивектора напряжения O"i= l7ijejна направления ортов ej. Тогда на единицу длины координатной линиит-# i)I1mh/2QiJ=(l + Km/1з)ui d/1з,Mi == -М22е1 +М21е2,Qij=j(l +кm/1з)/1зез х O"id/1з.= Qijej, М1 = -М12е1 + Мне2 игдеh/2h/2J(l+кm/1з)aijd.8з, Ма= j (1+кm.Вз)<7il.8зd.8з,-h/2линиипричем здесь и далее-h/2Их можно представить в виде QiВ1, 2,h/2-h/2М2(т=будут приходиться векторы усилия и момента(6.62)-h/2сечении элемента оболочки,Pi,l=1,2.перпендикулярном координатнойсо стороны остальной части оболочки действуют сила-QiH~d/1m и момент -MiH~d/1m, а в сечении, перпендикулярном ко-ординатной линии /1i + d/1i- сила QiH~ df1m + 8 ~~~;',.
d/1i df1m и моментМ iH~ d/1m +"'jl 8М·Н8~.0mt,md/1i df1m· Для равновесия элемента оболочки нe-'обходимо равенство нулевому вектору О главного ве~~ора систе.м.ывсех действующих на этот элемент сил и главного .м.о.м.ента этой системы относительно точки М ЕS,т. е., пренебрегая слагаемыми болеевысокого порядка малости, получим6. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАдНОЙ МЕХАНИКИ232Отсюда следуют два векторных уравненШI равновесил элемента оболочки:От(6.63)несложно перейти к уравненил.м. движенил оболочки путемдобавления в правую часть первого уравнения слагаемогоа в правую часть второго -слагаемогорhз (д21Эl2 к1е1 дt/phд2uодt 2+ к2е2 д21Эдt 22,),учитывающих влияние сил инерции (здесь р- пдотность материалаоболочки, аt-Подставовкавремя).(6.62) в уравнение Q12- к2М21 - Q21 + к1М12 =О,{6.63) на направление ортаявляющееся проекцией второго уравненияе 3 , приводит к тождеству, что позволяет ввести обозначение= Q12- К2М21 = Q21- KIM12 = s21·уравнения(6.63)S12 =Если разрешить проекции второгона направления ортов е1 и е2 относительно усилий,то получим(6.64)(6.65)где mi -учетомортовKlпроекции вектора(6.64), (6.65)ejmна направления этих ортов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
