Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 45
Текст из файла (страница 45)
При выполнении этого условия на истинном распределении иj(М)(М ЕS)J[иj] =перемещений фун-кциона.л.11(Q(n)иCn) + sС )иС ) +sг(W- рзи3) dS-88(8 )+ ( Q~n) + д~s )иЗ- мCn)19(n)) ds(6.94)2456.5. Модели пластинки и мембраныдостигает минимума,соответствующего минимумуэнергии оболочки в положении равновесия.потенциа.л,ь-нойЭтот функционал допустимо рассматривать на непрерывных и кусочно дифференцируемыхраспределениях иj(М) перемещений, удовлетворяющих на контуре Гкинематическим граничным условиям.
При вычислении интегралов поГ на тех участках контура пластинки, где заданы какие-либо кинематические граничные условия, должны быть опущены соответствующиеслагаемые.Путем преобразования функцианала J[иj] можно получить функционал (см. П2.3), достигающий в положении равновесия максимума,значение которого совпадает с минимальным значением J[иj].Этиа.л,ьтернативные фующиона.л,ы составят двойственную вариационнуюфор.м.у ММ пластинки.С уменьшениемуменьшается.менееhцилиндрическая жесткость Dц пластинки резкоПри уменьшении жестх:ости при изгибе становитсясущественнымивлияниеперепадапластинки, которое отражает слагаемое(6.90)положить Dц =О и82температуры8 2.потолщинеЕсли в первом уравнении=О, то оно перейдет в ДУ с частнымипроизводными второго порядка(6.95)для которого достаточно задать на контуре Г одно граничное условие,т.
е. вместо(6.93)для(6.95)и второго ДУ(6.90)получим(6.96)В итоге придем к ММ гибпой мембраны, прогибы которой могут существенно превышать ее толщинуh.В этом случае для потенциальнойэнергии деформации, приходящейся на единицу площади мембраны, получим(6.97)где Ei и 112 определены вJ[иj] =(6.87),.а функционалj (Wм- рзи3) dS- j (Q(n)1/~) +ss<s)u(s)примет вид+ Q~n)11,3) ds.(6.98)гВ случае малых по сравнению счасти второго ДУ(6.94)(6.90)hпрогибах пластинки в левойможно пренебречь нелинейными слагаемыми.6. ОСНОВНЫЕ МОЛЕЛИ ПРИКЛАЛНОЙ МЕХАНИКИ246Тогда оно совпадет с линейным ДУдля n.аос~ого наnрлженного(5.37)состолнШl и может быть решенонезависимо от первого ДУграничныхусловиях,определяемыхпопервымдвум(6.90)парампривеличинПосле его решения станут известными зависящие от Fкоэффициенты первого ДУ (6.90), которое теперь будет линейным св (6.93).граничными условиями, устанавливаемыми по двум последним парамвеличин в(6.93) ..
Такимобразом, допущение о малости прогибовравносильно линеаризации ММ пластинки.(6.94)При этом функционалне изменится и для таких аргументов функцииW, как дкi идк12, по-прежнему останутся справедливыми три последних равенства(6.87),но деформации срединной поверхности пластинки, от которыхтоже зависитпримут видW,ди}ди}Е"1ди2(6.99)112 =-д+-д 'Х2Х1= --,дх1соответствующий соотношенШl.м Коши.При малых прогибах мембраны в ее ММ также можно ограничиться линейными зависимостямисогласно(6.98).(6.97),(6.99)для деформаций, являющихся,аргументами функции Wм, входящей в функционалКак и при малых прогибах пластинки, второе ДУ(6.90)послеиренебрежения нелинейными слагаемыми может быть решено независимого от ДУ(6.95) при граничных условиях, следующих из первых(6.96).
После его решения и вычисления зависящихот F коэффициентов в ДУ (6.95) решение последнего при граничныхусловиях, определяемых последней парой величин в (6.96), даст зависимость w(x1,x2) прогиба мембраны от координат точек ее срединнойдвух пар величин вповерхности. Если плоское напряженное состояние этой поверхностисоответствует равномерному натяжению во всех направлениях, опре222деляемых напряжениями ин(6.95)=и22N= -h ,д Fто -д2переходит в уравнение равновесияным натяжениемNх1=(6.29)д F-д2х2N= -h ,д F-дд=О их1х2мембраны с равномер-и малыми прогибами.Если условия закрепления пластинки по ее контуру и приложенвыек ней нагрузки позволяют определить во всех точках срединной поверхности усилия Qн,Q2 2и8 12 ,не решая второе ДУпластинки включает лишь первое ДУ(6.90),(6.90),то ММкоторое с учетом(6.86)можно представить в виде2 2д2wд2w .Dц '\12 '\l2w- Qн-д2 - Q22-д2 -2812 дХ1Х2д2wХ1дХ22= Рз- '\1282.(6.100)Граничные условия для этого ДУ следуют из последних двух парвеличин в (6.93), а в (6.94) Q(n) и 8(s) можно выразить при помощи6.5.
Модели пластинки и мембраны247(6.74) через известные значения Qн, Q22 и 81 2. Эти значения будут8 1 = const края пластинки могут свободносмещаться в ее плоскости [138]. В этом случае вместо (6.94) и (6.100)равны нулю, если приполучим соответственноJ[uj]=J(w -рзи3)dSs/((Q~n) + д~s(s) )иЗ-М(n)19(n)) ds,}(6.101)гDц V'~V'~w = Рз- V'~82.В рамках последней ММ пластинки изд2wд2w)+ М22 =-Dц(1+ v) ( дх~ + дх~(6.71)и(6.87)следует М11+-282. Тогда, используя обозначениеМ= Мн + М22 , из второго равенства (6.101) получаем уравнение Пуас1+v2-сона У' 2 М1 11 2= -р3 - _:::__У'8 ,1+v 2 2которое может быть решено независимов случае свободно опертой по многоугольному контуру Г пластинки (вчастности, прямоугольной пластинки), поскольку в этом случае на контуре определено граничное условие М= О.
Затем для такой пластинки1 (М+- --822)можно решить еще одно уравнения Пуассона Y'~w = --Dц1+vс граничным условиемw=Она контуре Г. Расщепление дУ с би-гар.монu'Ч.ес11:и.м аuффереUЦUа.lf.ЬНЫ.М оnераторОМ У'~ = Y'~V'~ на ДВ!). последоватеЛЬНО решаемых ДУ второго порядка существенно упрощаетколичественный анализ рассматриваемой ММ пластинки.
Следует отметить, что, как и в случаях нагружения стержней и оболоЧек, приопределенных условиях нагружения и закрепления пластинки возможна потеря устой'Чивости ее положения равновесия[3].7.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИВыше (см.5.2) показано, что при определенных условиях в задачетер.моупругости можно пренебречь влиянием эффекта тер.мо.механичесх:ой связанности и рассматривать такую задачу как несвязанную.Это позволяет при построении .мате.матичесх:их .моделей (ММ) процессов теплопроводности, протекающих в сплошной среде, не принимать во внимание параметры напряженно-дефор.мированного состояния среды.
Данная глава посвящена ММ таких процессов, протекающих в твердо.м теле, описывающим me.м.nepamypnoe cocmo.нnueэтого тела; процессы переноса тепловой энергии в жидкостях и газахрассмотрены в8и9.7 .1.иГраничные условияусловиясопряженияЕсли затраты энергии на деформирование твердого тела малы посравнению с изменением его внутренней энергии, то дифференциальная фор.ма .мате.матичесх:ой .модели (ММ) процесса теплопроводности (кондукции) будет включать уравнение теплопроводности(5.18)с отсутствующим первым слагаемым в правой части, а особенностиконкретного процесса будут отражать заданные на поверхностиSтелаграничные условия, описывающие условия его теплообмена с окружающей средой.неразрывноКогда нахождение распределения температуры в телесвязаносодновременнымопределениемтемпературногополя в окружающей среде, в теплоносителях или контактирующих сним твердых телах,на соответствующих участках поверхности контакта (контактной поверхности) задают ус.л.овu.н соnр.нжепи..н температурных полей.
Задачу men.л.onpoвoдnocmu, в математическуюформулировку которой входят такие условия, ПРJ,!НЯТО называть соnр.нжеппой.Простейший вариант задания условий сопряжения температурныхполей соответствует идеальному тепловому контакту рассматриваемого твердого тела с окружающей средой или соседним твердымтелом.В этом случае в любой момент времениtв каждой точкеЕпри переходе через контактную поверхность88<;;;;NSsSся условия непрерывности распределения температуры ивыполняютплотности7.1.
Граничные условия и условия соrrряжениятепловогоT(N, t)NЕ88 ,где ni -249nomox:a:=Т~, t), >,(Т) дТ~~' t) n;(N) = );СТ) <ff~~' t) n;(N),}~-( . )711, 2, 3,проекции единичного вектора внешней нормали к поверхности8 8 на оси Oxi системы простраиствеи:н.ых -к:оордииат; Т и _х(Т) температура и теплопроводность рассматриваемого тела; Т и );(Т} температура и теплопроводиость среды или соседнего тела. В теориитеплопроводности условиячетвертого рода(7.1)соответствуют граничным условиям[80].На контактной поверхности могут действовать распределенные источники теплоты с поверхностной моiЦНостью q8 (N,t), NЕ Ss, измеряемой в Втjм 2 • Тогда в правую часть второго равенства (7.1) следуетдобавить величинуq8 (N,t).Теплота может выделяться вследствие работы сил трения при относительном движении рассматриваемого телаи среды или соседнего твердого тела и в результате физико-химическихпроцессов, протекающих на поверхности88 ,а также может соответствовать потоку результирующего излучения на этой поверхности.
Впоследнем случае плотиостьq nотопарезультирующего uзлучеиuн определяет количество теплоты, отдаваемое телом с поверхности единичной площади в единицу времени в процессе теплообменаизлучением, т. е.qs= -q.Применяемые в технике материалы твердыхтел в большинстве случаев непрозрачны для теплового излучения, однако в общем случае некоторая доля Drqп падающего на поверхностьпотока излучения плотностью qп (рис.жет проходить через нее( Dr -nроnуспаиuн uзлучеиuн).7.1)мопоэффuцuеитОставшаяся долячастично поглощается на поверхности (Arqп) иРис.7.1Ar + Dr + Rr = 1, где Arпоэффuцuеиты nогЛощеиuн и отражеиuн uзлучеиuнчастично отражается от нее (Rrqп), причеми Rr -поверхностью.Отраженное излучение вместе с собственнымпропускаемым изнутри1qC:rq 0иизлучениями дает плотиость nотопа эффептuв иого uэлучеиuнq* = Rтqп + C:rq 0гдеC:r -+ q',(7.2)поэффuцuеит uэлучеиuн поверхности (ее <<степень черноты>>); q0 = croT4 - плотность потока излучения абсолютно черноготела с температурой поверхности Т; cr0 ~ 5,67 ·10- 8 Вт/(м 2 ·К) - nостонииан Стефаиа-Больцмаиа.
Из баланса потоков излуче-2507.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИния (см. рис.7.1)следуетq = q*- Qп = erqnосле исключения Qп имеем0-ArQп- DrQп+ q', и в итоге[37]_ eruoT4 + q'- (1 - R,. )q*q = ----=-:--,;___----'-'о,_(7.3)R,.Для абсолютно черного тела (Ar= er = 1, q' =О,Dr = R,. =О) nлотности эффективного и собственного излучений равны.Такой же результат будет и для любого тела с неnрозрачной nоверхностьюDr= 0),(q' =О,если с другими излучающими телами оно находится в состоянии темnературного равновесия,закону Кирхгофа[46],nоскольку в этом случае,q= О и er = Ar.согласноКогда темnературное равновесиемежду телами или участками вогнутой nоверхности одного и того жетела отсутствет,q i= Ои возникает необходимость nривлечения ММ,оnисывающих теnлообмен излучением.На nрактике теnловой контакт между соnрикасающимися твердыми телами обычно нельзя считать идеальным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
