Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Это допущение не является обязательным при построении ММ чистого изгиба стержня в рамках гипотезы Берну.л..л.и, равносильной представлению изгибаемого стержня в виде пучка волокон,каждое из которых может растягиваться или сжиматься напряжениемин. При построении такой модифицированной ММ обычно говорят обб.
ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАдНОЙ МЕХАНИКИ220изгибе бруса большой кривизны[145].Пусть осевая линия -к:риво.!}__ииеjиого стерЖ'НЛ является плоской кривой, лежащей в плоскости606,и в некотором его поперечном сечении до изгиба имеет кривизну ~з.Пока еще неизвестные значения кривизны нейтрального волокна, неиспытывающего при изгибе стержня относительного удлинения, до изгиба стержня обозначим ~о, а после изгиба момеН_!ОМ М3- ~ 3 . Тогдаотносительное удлинение волокна с координатой6будет равно(6.36)Где д{2 = 1/~з -1/~о И Д~= ~3- ~О·Строго говоря, при изгибе форма и размеры поперечного сеченияизменяются,однакоэтиизменениясущественныдлятонкостенногопрофиля сечения, аЕля сплошного сечения ими можно пренебречьПоэтому значение6[145].координаты волокна при изгибе допустимо считать неизменным.
Для этого волокна напряжение стн= Е€11,.модуль продольиой упругости материала стержня.Тогда с учетом(6.36)Q1где Е-запишем=1стнdF =Е д~F1+F16+д~2dF = О,(6 + д~2)~опоскольку в предпоследней части второго равенства первый интегралопределяет стати-чес-к:ий .мо.меит се-чеиин относительно его нейтральной линии. Тогда с использованием(6.36)получим(6.37)а условиеQ1 =О представим в виде1стн 1 ~3- +~~+ {2dF =F1/F1/11 ~з 6dF = F- _!_~о1FdF11 ~з + 6=О.6.3.Отсюда петрудно найтиИзгиб стержней и балокI"I:Q,221зате~- ~(2 и в итоге из (6.37) установитьнелинейную зависимость а11 от6.Пусть при чистом изгибе моментом_М3_ криволинейного стержняс осевой линией, лежащ~й в плоскости6 06,и симметричным относительно главной оси06стержня площадьюизменение кривизны составило ~1"1:3.
Если приFпоперечным сечением в пекотором сеченииn.ласти-чес?Со.м. дефор.м.ироваиии материала стержня связь между напряжением а и деформацией Е определяет зависИмость а= f (Е),то вслучае справедливости гипотезы Бернулли и малости I!_азмеров сеченияпо сравнению с радиусом кривизны имеем Ев= Е} 1 + 6~,.,;3,где Е]' 1 -относительное удлинение осевой линии, и1aнdF= 1j(E11 )dF=O,FМ3 =FПервое равенство(6.38)11~j(Ен)FFcf2a11 dF =dF.
(6.38)позволяет выразить Е]' 1 через ~,.,;3, а второеустановить связь ~1"1:3 с М3 и затем найти распределение напряженийан в поперечном сечении.Если при пластическом деформировании материала стержня напряжение по абсолютному значению не превышает а* (например, а*= атв случае, когда материал стержня соответствует идеальной уnругоn.ласти-чес?Сой среде с nреде.ло.м. me?Cy-ч.ecmu ат), то несложно найтипредельное значение МЗ изгибающего момента в сечении.
При этомпредельное состояние, которое реально не достигается, соответствуетналичию в сечении двух областей с напряжениями разных знаков, но поабсолютному значению равных а*. Эти области разделяет нейтральнаялиния, причем площади этих областей в силу первого равенстваодинаковы и равныМ* =а* Sl/2, гдеF/2.l -Тогда из второго равенства(6.38)(6.38) следуетрасстояние между центрами тяжести площадейупомянутых областей.Если поперечное сечение стержня симметрично и относительно оси0(3, а функция /(Е) нечетная, т. е.
материал одинаково деформируетсяпри растяжении и сжатии, то с:]' 1 =О иМ3 =1(2f(с:н)Fh/2dF=2j сf2!(~~,.,;3)Ь((2) d(2,(6.39)Оh - высота сечения в направлении оси 06, а переменпая ширинаЬ((2) сечения является четной функцией координаты (2. Например,гдедлястержняизидеальногоупругопластичногоматериалавслучае6. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАдНОЙ МЕХАНИКИ222прямоугольного поперечного сечения (Ь ==~ат W~3 (3- e~je~ax), где W~3 =const) из (6.39) следует Мз =/6- момент сопротивл~ния изгибусечением; ет = ат/ Е, а emax = дкз. При2стержня с прямоугольнымbh2неограниченном возрастании дкз изгибающий момент стремится кпредельному значению Миред = атЬh 2 /4, что в 1,5 раза больше значенияМт = атЬh 2 /6 момента Мз при условии ет = emax, соответствующемначалу пластического деформирования.При чистом изгибе моментом М цилиндрического nрямолинейного стержня, осевая линия которого в недеформированном состояниисовпадает с координатной осью Ох 1 , а материал подчиняется законуТука, из(6.7)следует, что кривизнам(6.40)кз = Еlзизогнутой осевой линии постоянна, т.
е. эта линия будет дугой окружности радиусомr = 1/ кз.Если перемещениеw( х1)точек этой линии относительно ее исходного положения, называемое nрогибо-м cmepЖH.Il,отсчитывать в направлении координатной оси Ох2, то торец стержняпри х 1= L,к которому приложен момент М, будет иметь прогибWLгдеL-1- соsкзL= ---,.----(6.41)длина стержня.При малых прогибах осевой линии по сравнению с длиной стержняугол19 3 поворота поперечного сечения стержня также мал и dw / dx1 == tg19 3 ~ 19 3 . Тогда, пренебрегая величиной 195, малой по сравнению сединицей, получаем2_ d w(( dwкз- d х 2 1 + d х11и с учетом(6.40))2) -З/2 ~ dd w22(6.42)х1после интегрирования находимW ( Xl )Мх~= 2ЕJз +соIXlпо+vo·Если торец стержня при х =О закреплен жестко, т.
е. помимо условияw(O) =О имеемddw /Xl х1=О=О, то со= С} =О и при х1 = LML 2w(L) = 2Еlз ·(6.43)6.3.Ограничиваясь в разложениивместо(6.41)с учетом223Изгиб стержней и балок{6.40)иcos кзL в ряд первыми{6.43) получаемтремя членами,_!WL~ MLL2Еlз(ML) 3 =w(L)_!(w(O))З3 (2EJ3 ) 3L3 L'причем в данном случае WL < w(L). Поскольку при разложении косинуса ряд знакопеременный, относительная погрешность lwL- w(L)Ifw(L)не превышает w 2 (L)/(3L 2 ). Если ограничиться погрешностью в 3%,то (6.43) обеспечивает такую погрешность при w(L)/ L ~ 0,3. Стользначительные прогибы возможны лишь у сравнительно тонких (посравнению с длиной) стержней.При чистом изгибе стержня гипотеза Бернулли справедлива длялюбого поперечного сечения при условии,наторцахстержняний в видераспределениемнормальныхнапряжеПри нарушении этого условия, согласно npuuцuny{6.34).Ceu-Beuaua,создаетсячто изгибающий моментона справедлива при некотором удалении от торцов.
Изгиб стержня под действием сил, перпендикулярных его осевой линии,называют nоnеречиьс.м. При таком изгибе гипотеза Бернулли является лишь некоторым приближением. Рассмотрим степеь приближенияэтой гипотезы на примере nоперечного изгиба nр.н.молииейиого стержи.н, обычно называемого в таком случае балпой.Пусть торец балки при х 1 =О закрепленжестко, а к торцу при х1на поперечная сила Р (рис.=Lприложе6.11).Такуюбалку принято называть поисольиой. Вее поперечном сечении с координатой х 1возникнет изгибающий момент Мз(хi)= P(L- х1).Рис.=Тогда в рамках гипотезы Бернулли из6.11(6.34)при М2 =ОследуетО'н(х1,х2) =а с учетом(6.40)и(6.42)P(L-x1)x2,13{6.44)уравнение, описывающее перемещение w(ч)точек осевой линии балки и называемое в данном случае nрогибо.м.балпи,2приметвидd wdx~=P(L-x1)Еlз.Иучитывая условия закрепления w(O) =О иPLx 2нтегрируяddwХ11Х1=Оэтоуравнениеи=О, находимРх 3w(xl) = 2Еlз - 6Еlз ·{6 .45)Проведем сравнение полученных результатов с точным решениемзадачи об изгибе балки в виде полосы толщиной Ь, длинойтойh(рис.6.12).Lи высоПолоса закреплена одним своим краем (при х 1= 0),6.
ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ224ьРис.а на другом (при х 1= L)6.12нагружена распределенными касательнымиусилиями, которые дают результирующую силу Р, изгибающую полосу в плоскости х 1 Ох2. При достаточно малой толщине полосы (приbj h « 1 иЬ/ L« 1) ее иаnрлже'н:н.ое состолиие можно считать n.ttocx:u.м,данда12описываемым уравиеиuл.ми равиовесuл -д +-дгдеamn,т,= 1, 2,nХ1Х2=Ода21и -дХ1да22+ -д=Х2О,х:о.мnоиеиты си.м.метричиого т!изора иаnрл--жеиий. Представление этих компонент через фуих:циюFиаnрлжеиийсоотношениями(6.46)позволяет удовлетворить уравнения равновесия тождественно.-Прид4Fэтом F удовлетворяет бигармоническому уравнению вида (5.38): дд4F+ -д4 + 2 дд2Fх22 дх22 =х14х1+О.
Этому уравнению и граиичиьш ус.ttовuл.м для поло-сы удовлетворяет решение в виде многочлена F = (L- х1)х2(с2 + с4х~).(6.46) имеем ан = 6c4(L- х1)х2, а22 =О,а12 = с2 + Зс4х~. Края полосы при х2 = ±h/2 свободны от напряжений,т. е. а22 = О, а12 = О. Отсюда следует с2 = -Зс4h 2 /4. При х1 = L резульДействительно, согласнотирующая касательных усилий, положительное направление которыхпротивоположно направлению оси Ох2, равна-Ьh/21a12dx2= Зс4Ь-h/2Отсюда находим с4h/21(~- х~)3dx1=c4 ~h ~ Р.-h/22Р= bh 3 и напряжения12P(L- Xl)X2ан =bh3'ЗР (х )2bh 1 - 4 h; .2а22 = О,al2= -(6.47)6.3. Изгиб стержней и балок225В сечении с координатой х 1 сила Р создает изгибающий моментМз(хt)= P(L- х1).. формула {6.47)Если учесть, что для полосы bh3/12полностью согласуется с= / 3 , то первая{6.44).Наибольшее по абсолютному значению -х:асате.п.ьное наnряжениевозникает при х2 =О и равноTmax = O't2(Xt,O) = 3P/(2bh), а нормальноех2 = h/2 и равно O'max = Р L/Wз.
Отношениенапряжение- при Xt =О иTmax/O'max = h/(4L) уменьшается по мере увеличения L по сравнениюс h. Отметим, что это справедливо для любой балки с большимотношением ее длины к высоте ее сечения. Поэтому для таких балоккасательные напряжения обычно не учитывают.Перейдем непосредственно к оценке степени приближения гипотезыБернулли. Для этого найдем зависимости от координат х 1 и х2 проекций и1 и1L2 ве-х:тора пер.м.ещенил на оси Ох1 и Ох2 соответственно.(6.47), соотношений Коши (3.12) и обобщенного за-х:она Гу-х:а в виде(5.35) при ~т= О следуетИз(}щ2PL-xtои2 _PL-xtощ + ои2 --Ph -4x~ (6 .48 )ох 1 Еlз х 2 , ох2- -v Еlз х 2 , ох2 ох1 8р1з 'где_v-х:оэффициент Пуассона, аf.L -.м.оду.п.ь сдвига материалаполосы.После интегрирования первых двух соотношений(6.48) находим(6.49)и, подставляя в последнее равенство(6.48),получаемОтсюда следует, чтоP(L- Xt) 22 Е/зd92+ dxt= С2 = const,v Рх~Рх~2Е/з - 2f.J,/зd91+ dx2 = Ct = const.Из этих равенств путем интегрирования выражаем функции 92 ( х1),91 (х2) и после подстановки в (6.49) получаем(6.50)б.
ОСНОВНЫЕ МОдЕЛИ ПРИКЛАдНОЙ МЕХАНИКИ226Для нахождения постоянных Cl (l = 1, 4) в (6.50) используем очевидное равенство СС = -Ph 2 /(8J11з) и три условия закрепления края1+ 2полосы при х 1О, исключающие ее перемещение в плоскости х 1 Ох 2=как абсолютно твердого тела. В точке с координатами х1ложим и1=и2== х 2 = О поО и запретим в этой точке либо поворот элемента осиОх1, т.е.ди2 =Одх1(6.51)'либо поворот нормали к элементарной площадке, т. е.ди1 =О.{6.52)дх2PL 3Тогда Сз =о и с4 = бЕiз' но для {6.51) с1Ph 2- 8J.Llз и с2PL 2= 2Е/зPL 2PL 2Ph2Еlз и С2 = - Еlз - BJ.Llз. Искажение края полосыа для {6.52) С1 =22(при х 1 =О) после ее нагружения показано на рис.мслучаедеиствнекасательногонапряженият=6.13, аа12=и б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
