Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Тогдапятое равенство (6.71) примет вид М22 = Eh 3 дк2fl2, а первые триостанутся без изменений. Изнаходимдио- - -1,€1-дz(6.58) с учетом (6.56) при к 1 =О и к2 = 1/ro6.4.а из(6.59)-(6.61)3дД~2ro дz22Математические модели оболочки239nосле исключения д~1 и д~12-д2 ( д 2 Et+ д<р2 д<р22дЕ28 2112)+ ro дz2 - ro дzд<р22д 2 Е18 "/12+ д<р2 - ro дzд<р =О.Приведеиных соотношений достаточно для нахождения всех неизвестных nри условии их непрерывности и однозначности по <р и заданиисоответствующих граничных условий на торцах оболочки.Если у оболочки так называемая стрела подъемаf(рис.6.16)мала по сравнению с наименьшим линейным размеромпроекции оболочки на плоскость, проходящую через ее оnорные точки,рят о noJJoгoй оболочпето говоРис.В этом[112).«случае справедливо неравенство ~1~2Н} Н2вию Гаусса удовлетворяют коэффициентысистемы координат fЗ11,6.16а при ~1~2 =О услоHf = 1и Н0=rnолярной= r, fЗ2 = <р.Для пологой оболочки можно пренебречь величинами ~1Q1з, ~2Q2зи ~ 1 m 1 , ~2m2.
Тогда уравнения(6.66), (6.66)приPi=О примутвидИм удовлетворяет функци.н напрлжений F(/31,/32), вводимая соотношениямиS12Hf Н2 _дFrз1- h - - - д/32дН2 Frз2дНf Frз1+ д/31 Н2 + д/32 Н!'Здесь FfЗi = дF/д/Зi, причем(6.81)где использованы обозначения дифференциальных операторов(6.82)б. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАдНОЙ МЕХАНИКИ240В соотношенияхи ";2и2,(6.56)доnустимо nренебречь слагаемыми tчи'!в выражении для д";12- слагаемыми ";1w2 и ";2w1, а в(6.59), (6.60) - слагаемыми с множителями ";1 и ";2,упрощает в (6.58) выражения для Д";i· Тогда эти упрощенныеуравненияхчтоуравнения тождественно удовлетворяются упрощенными выражениямидля д";i и Ll";12, причем Д";l +д";2= -\l~u3.Учитывая это равенство иподставляя с использованием упрощенных выражений для Д";i и Д";12приmi=О в уравнениеможно с учетом(6.68)получить(6.81)соотношения для моментов из(6.71),[112]Eh2 2 о2 212(1- v2) \7 f3 \7 f3u3 + h \7 fЗ,.F = Рз- \7 f382·3(6.83)Это уравнение отражает условия равновесия элемента пологой оболочки.В нем можно учесть инерционные силы при движении этогоэлемента в направлении нормали к срединной поверхности, если в левую часть добавить слагаемое рhд 2 и2fдt 2 • В результате nодстановкив уравнениесоотношений для(6.61)изEiженных через усилия с использованием(6.58) и 'У12 = WI + w2, выра(6.71), получим с учетом (6.81)уравнение(6.84)которое вместе с(6.83)входит в ММ пологой оболочки.Если для пологой оболочки принятьfЗiHi =1, что равносильно выбору= Xi в координатной плоскости x10xz, совnадающей с плоскостью,проходящей через опорные точки оболочки (см.
рис.(6.83)и(6.84)будем иметь соответственно6.16),то вместо[101](6.85)д2д2где \7~ =-д2 +-д2хlх2-диффереи:циальиый оператор Лапласа, действу-ющий в плоскости х1 Ох2, а функция напряжений определена соотношеПИЯМИ512=h(6.86)Выше при построении ММ оболочки предполагалось, что ее прогибы малы по сравнению с толщинойсопоставимы сh,h.Оболочпу, прогибы которойобычно называют гибпой. В этом случае необходи-6.4.Математические модели оболочки241мо учесть нелинейную зависимость деформации срединной поверхностиоболочки от перемещенияu.3,записав вместо(6. 58)для пологой оболочки(6.87)Тогда(6.85)следует заменить уравнениямиЕ~12(1 - v 2 ) \7~\i'~иЗ + h(( 2к.
-[101}(&~)~~~~)&~)дх~ дх~ + к. 1 - дх~ дх~ +3д2иод2~+2hд аз д дXl3Х2Х1Х2=рз-\7~82,(6.88)(6.89)При жестком закреплении пологой оболочки по контуру Г, ограничивающему ее срединную поверхность, граничные условия для прогиба~3 могут быть заданы непосредственно, а для функции напряженийFих следует выразить через равные нулю перемещениямер, на участке контура при х18Ч?Q 2(6.71) и (6.86)8 х~ =~= const= -81.в силу(6.87)ui.НаприEi =О и с учетомПри шарнирном закреплении контурамогут встретиться несколько вариантов задания граничных условий.6.17, а, иЗ= О, М11 =О и Q 11 =согласно (6.86), равносильно равенствуТак, в случае, изображенном на рис.= S 12 =О. Последнее равенство,82 F82 F= =О, а из условия Мн8 х 228 xr 8 х2=О с учетом(6.71)и(6.87)следует,Еhз(82uo82uo)82uoчто - 12 ( 1 _ 112 )8х~з + v 8х~з -82 =О. Поскольку 8х; =О, nолучаем228 u~12(1 - 11 )82 В7 б ох~ =Еhз.случае, представленном на рис.
6.1 , , u 3 =О,88u 03=О и снова Qн8 Xr= S1 2 =О.На свободном участке контура прих1 = const из (6.77) следует, что Qн =О, Q12 + к.2М12 =О, Q1з + 8 м12 =Ои М11=0.8Х26. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАдНОЙ МЕХАНИКИ242~ггггuггг г1баРис.6.17Необходимо отметить, что при определенных условиях нагруженияи закрепления оболочки возможна потер.н устойчивости ее положенияравновесия, соответствующая исходной форме срединной поверхности.Н агрузпу, при которой происходит изменение положения равновесия,принято называть приmи-чеспой6.5.[3].Математические моделипластинки и мембраныСрединнан поверхностьSпдастиюi:и внедеформированном состоянии является частью плоскости. Поэтому положение точки М ЕSна ней удобно определять в '/Соординатной ыос'/Сости х1 Ох2 пр.н.моугодьной систе.мы '/Соординат Ох1х2хз, а для круглых и кольцевыхпластинок-в пoJtJlpнoй систе.ме координат.Перемещениеw = иЗ точек срединной поверхности в направленииоси Ох 3 при деформировании пластинки называют nрогибо.м.
nлacmuн.nu. Если прогибы пластинки сопоставимы с ее толщинойh,тоговорят о гибпой nластин.пе. В этом случае для построения .мате.матичес'IСой .модеди (ММ) пластинки в рамках гипотезы Кирхгофа-Лява можно воспользоваться ММ подогой ободоч'IСи при значенияхгдавных 1Сривизн Ki =О, i= 1, 2. Тогда уравнения (6.88), (6.89) примутвид(6.90)где Dц=Eh 3( _ v2)12 1-так называемая цидин.дри-чеспа.в жecmnocmьпластинки, связывающая изгибающий момент и кривизну срединнойповерхности прид2чистом изгибе длинной прямоугольной пластинд2ки [138]; V'~ =-д2 +-д2xlх2-дифференцимьный оператор Лапдаса впрямоугольной системе координат Ох1х2;-F-фун'JСция напр.нжений,6.5.определенная в243Математические модели пластинки и мембраны(6.86);Рз- распределенная нагрузка в направлении осиОхз, приходящаяся на единицу площади срединной поверхности;82определены в81и(6.70) с заменой /Зз на хз; Е и v- .модуль продолъиойупругости и поэффи-циеит Пуассоиа материала пластинки.В полярных координатах уравнения(6.90) имеют вид [138]гдеа L(w,w) можно получить заменой F на w в операторе L(w,F).Если при деформировании пластинки срединную поверхность можно считать цилиндрической с образующей, параллельной, например,оси Ох2, то 82 и прогиб w будут зависеть лишь от Xl, а д2 F 1дх~ ид 2 F1дх~ при 8 1 О примут постоянные значения [138].
Тогда второеуравнение=(6.90)станет тождеством, а первое перейдет в обыкновенноеd4 wдифференциальное уравнение (ДУ) Dц-d4хВместо(6.56)1-д2 F d2 w-2х82-d2х12d 82= Рз- d2 •хдля углов поворота нормали к срединной поверхностипри деформировании пластинки получим.мшций пластинки вместо1'Ji =-дwlдxi, а для дефор(6.57) (6.91)где использованы обозначения(6.87), в которых Ki =О, а ui- проекцииOxi. При использованииве.",тора пере.мещеиил и на направления осейэтих обозначений для пластинки остаются справедливыми выражения(6.69) для потеициалъиой эиергии деформации W, приходящейся на(6.71) для усилий и моментов при 812 = Q12 = Q21 и Н12 = М12 = -М21·единицу площади срединной поверхности, иВоз.можиую работу усилий и моментов, приложеиных к произвольному кусочно гладкому плоскому замкнутому контуру Г, ограничивающему срединную поверхность пластинки, с учетом обозначений(6.73)6.
ОСНОВНЫЕ МОдЕЛИ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ244и(6.74),дА о=можно, согласно(6.75)при к,i =О, представить в видеf (Q~n) ди(n) + 8(8)ди(8)) +г+ f ((Q~n) + дМ( 8 ) jдs)дw- мСп)д19(n))dsds,(6.92)гг де и Сn) и и (8) -перемещения точек контура в его плоскости в направлениях n нормали и s касательной к нему; 19(n) = дw / дп. При нало0женных по контуру Г идеа.л.ьных свлзлх дА =О. Поэтому на свободныхучастках этого контура, не нагруженных усилиями и моментами, припроизвольных вариациях перемещений и угла 19Cn) из (6.92) следуют четыре си.л.овых граничных ус.л.овил: Q(n) =О, S( 8 ) =О, Q~n) + дМ( 8 ) / дs =Ои мСn) =О, а на участках с жестким закреплением- четыре -кине.м.атичес-ких граничных ус.л.овил: и(n) = иС 8 ) = w =О и 19(n) =О.
В общемслучае в окрестности любой точки М Е Г из каждой пары связанныхмежду собой обобщенных си.л. и обобщенных пере.м.ещений(Q~n), и(n)),(8( 8 ),и( 8 )),8(Q~n)+ д~~ ), w ), (мСn), 19(n))(6.93)может быть задана лишь одна из величин. При совпадении участкаконтура Г с координатной линией х 1Тогда вместо(6.93)(Qн, и]'),= const(812,и2),(Если ви2),(6.69)(6.73)и(6.74)()=О.Q1з + 8J/x:2, w ), (Мн, 19t),а при совпадении с координатной линией х2(Q22,вполучим(812,= const -и]'), (Q2з+ 8J/x:1 , w), (М22, 1Э2).подставить соотношения для деформаций и изменений кривизны срединной поверхности пластинки из(6.87),то потенциальная энергия W(иj) пластинки будет функцией перемещений иj(j = 1, 2, 3)точек этой поверхности. Тогда вариационную фор.м.у ММпластинки можно получить из условия дW- дАр= О, где дАр- возможная работа на допустимых обобщенных перемещениях внешнихсиловых факторов, в том числе заданных на контуре Г усилий и моментов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
