Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Их сумма дает "'nоАJiрный .мо.мектинерции сечеминlp,не зависящий от ориентации центральных осей.При построении .м.ате.м.атичесх:их .м.оде.л.ей (MMj стержней в качестве х:ине.м.атичесх;ой гипотезы обычно принимают, что множествоточек, расположенных в плоскости любого поперечного сечения стержня до его дефор.м.ированuя, после деформирования стержня по-прежнему образует плоскость, перепендикулярную деформированной осевой6.1.Математические модели стержВ1l199линии (гиnотеза Берн.уААu). Кроме того, считают размеры поперечного сечения малыми по сравнению с длиной осевой линии и еерадиусом кривизны, пренебрегают относительными удлинени.tl.ии, перепендикулярными этой линии, и используют npuн.цun Сен.-Вен.ан.а,утверждающий, что различные, но статически эквивалентные нагрузки вызывают в стержне одинаковые наnр.tlженные cocmo.tlни.tl (за исключением зон вблизи точек приложения нагрузки, размеры которыхпорядка размеров поперечного сечения)[127).В деформированном состоянии криволинейного стержня с его осевойлинией длинойLсвяжем репер { ei} подвижной системы координат сnравой тройкой базисных векторов (ортов) ei,i = 1, 2, 3, направиворт е 1 по касательной к осевой линии в сторону возрастания координатыs,отсчитываемой вдоль этой линии (рис,.:сечении стержня орт е 1 задает направлени.._? ос~направления главных осей этого сечения6и6В поперечном6.1).6,а орты е2 и ез-соответственно.
Настержень действуют распределенные вдоль осевой линии моментm 0 (s)и нагрузка, направление и интенсивность которой определяет векторная функцияq 0 ( s),причем линии действия этой нагрузки иерееекаютосевую линию. Кроме того, в сечениях с координатами st (10 = 1, Np)приложено N р сосредоточенных сил p(t), линии действия которыхтакже иерееекают осевую линию, а в сечениях с координатамиs, (<; == 1, Nм)- Nм моментов М('). На концах стержня при s =О и s = lмогут быть заданы силы р(О), р(!) и моменты М( О), М(!).[2------------~~~:-r?s---""""~~-...::=";;:·-·_.-·~L~,,,.--~------ .{1-- -Рис.6.1Рассмотрим поперечное сечение с координатойлинии которого имеет радиус-векторкоординат Ох 1 х 2 х 3 .u(s) = x(s)-X(s).точка осевойв неподвижной системеЕсли в исходном состоянии стержня положениеэтой точки определял радиус-вектор X0x(s)s,Тогда(s), то вектор ее перемещенияdujds = dxjds- dx 0 jds = е 1 - е]', где е]'0орт, касательный к осевой линии в исходном состоянии стержня ивходящий в репер {ei} подвижной системы координат с осямиo[f,связанной с осевой линией в этом состоянии.
Для перехода от этогорепера к реперу{ei}помимо вектора и нужно знать углы {)j= 1, 2, 3) поворота осей О~ относительно осейO(f.(j =От этих угловб. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАднОЙ МЕХАНИКИ200зависят в (П1.7) элементыlXij.матрицы А поворота репера (см. Пl.l).Используя (П1.9), последнее равенство с учетом прави.л.а су.м..м.ировани.нпо одинах:овы.м. индех:са.м. можно представить в видеdиds=dиids ei +к.
х и= (1- ап)е1- а21е2- а3 1 е3.(6.1)Здесь щ- проекции вектора и на оси системы координат с репером{ei},а к. -вектор, определяющий кривизну и кручение (см. Пl.l)осевой линии в деформированном состоянии стержня и связанный саналогичным вектором К.шением0кjej для его исходного состояния соотно=[87, 127]к.=(/3ij d{)jds + lXij"-j0 )(6.2)ei,г де !Зн = cos {)2 cos {)3; fЗ12 = !З23 = !332 = О; !З13!З22 = 1; !331 = sin {)2 cos {)3; !333 = cos {)2.= - sin {)2; !З21 = - sin {)3;В качестве воэ.м.ожных пере.м.ещений выберем векторы 8ии8{} = ei 8{)i.= ei 8щПри использовании принципа воз.м.ожных пере.м.ещенийвариацию потенциа.л.ьной энергии дефор.м.ации можно представить каквоз.м.ожную работу внутренних силовых факторов на возможных перемещениях.Для элемента стержня длинойпри фиксированномdss приращениеd8Au = (Q+dQ) ·d8и+ (М +dM) ·d8iJ, гдепоперечном сечении с координатойQ(s) =1инeidF,такой работы равно1eijk~UtjekdFM(s) =-(6.3)F(s)F(s)векторы соответственно равнодействующей, приложенной к точке осевой линии, и момента;иння.-eijk.(i,j,k=1,2,3)-си.м.во.л.
Леви-Чивиты;х:о.м.поненты тензора напряжений в поперечном сечении стержНо в действительности в этом сечении8{} f=О, что приводит кзатрате части потенциальной энергии на работу на возможном перемещениимомента(-e1ds) х Q силы Q относительно точкикоординатой s + ds. В итоге, пренебрегая величинами8(iJ+diJ)осевой линии сболее высокого порядка малости, получаемL8Au= I(Q · dои +М· doiJ- (е1 х Q) ·од) dsdsds.,._ои после интегрирования по частям находим8Au = Q(L) · 8и(L)- Q(O) · 8и(О) + M(L) · 8iJ(L)--М(О) · 8iJ(O)-L1(~~ ·8и +о(d::+ е 1 х Q) · 8{}) ds.Математические модели стержня:6.1.201Возможная работа заданной внешней нагрузки, действующей настержень, будет равна8А 0= р(О) · 8и(О) + p(L) · 8u(L) +1(L+NpNм€=1€=1q ·8и+m 0 ·819+ Lp(€) ·8u8(s-s€)+ z=м(с;) ·8198(s-s,))ds,0огдеМ(О) · 819(0) + M(L) · 819(L) +8(s- s€), 8(s- s,)-фун.пци.11 Дирапа, обладающая по отношениюк непрерывной функцииf (z)свойством1+ооf(z) 8(z- zo) dz = f(zo).-00В соответствии с принципом возможных перемещений в виде8Au= 8А0(см.5.3), объединяя слагаемые при произвольных возможных перемещениях 8u(s), 819(s), s Е (0, l), и используя (П1.9), получаем уравненияравновесия(6.4)гдеQiиMi -проекции векторовQи М на оси O~i, и условия наконцах стержня( Q(O) + р(О)) · 8и(О) =О,( Q(L)-p(L)) · 8u(L)=О,(М(О) + М( 0 )) · 819(0) =О,(M(L)}+ M(L)) · 819(L) =О.(6.5)Если на концах стержня заданы только х:ине.м.ати-ч.есх:ие грани-чные условия, т.
е. заданы перемещения точек осевой линии и ее углыповорота, то8u=О,819 =Ои все равенства(6.5)удовлетворяются автоматически. Наоборот, если торец стержня, например приs = L, не8u, 819 произвольны и должны быть заданы силовые грани-чные условия Q(L) = p(L) и M(L) = мСL). Аналогично наторце при s =О, но с учетом того, что орт е1 репера {ei} направленв сторону возрастания координаты s, а внешняя нормаль к плоскост~этого торца в противоположную сторону' в проекциях на оси o~iзакреплен, то векторы6. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАдНОЙ МЕХАНИКИ202имеем Qi(l) = IPi(o)l и Mi(O) = IMi(o)l· В общем случае при смешанных граничных условиях из(6.5) следует, что для каждого значенияi = 1, 2, 3 может быть задано ui(O) либо pi(o), Ui(l) либо pi(L), 'l?i(O) либоMi(o), 'l?i(L) либо Mi(L).Систему четырех векторных уравнений (6.1), (6.2) и (6.4) с неизвестными и, к., Q, М и 'l?j следует дополнить соотношением, св~зывающим м и вектор дк.
с проекциями дк.i= К.j- к.i на оси o~i·Гипотеза Бернупли и допущение о малости размеров поперечного сечения по сравнению с ради:усом кривизны осевой линии позволяют вслучае материала стержня, подчиняющегося зах:ону Гух:а, установитьлинейную связь между этими векторами. Из второго равенства(6.3)получимМз = -!~ан dF,(6.6)Fгде ан= Еен -нормальное напряжение в поперечном сечении;.м.о_2у.л.ь прl}_,дольной упругости материала стержня;+ 6дк.2 -евJf-= dиtfd6_+- относительное удлинение в направлении оси 06.Тогда, учитывая, что оси O(k (k = 2, 3) главные и центральные,согласно (6.6) запишем6дк.з(6.7)ВеличинуElkназьшают жестпостьюгuбающuм моментомMk.npuuзгuбе стержня uзДля произвольной формы поперечногосечения стержня прут.нщuй момент М1сдвига материала стержня, а Iк= JLlкдк.t, где JL- .модульгеометрический параметр сече-ния, пропорциональный жестх:ости стержня при его х:ручении. Длясечения, обладающего центральной симметрией (например, круглого или кольцевого) и сохраняющего ее при деформировании стержня,Iк= Ip(см.6.2).сечением значенияЯсно, что для стержня с переменным поперечнымIkи Iк зависят отs.'l?j можно принять fЗн = fЗзз = 1, fЗ21 == -fЗiз = '1?2, а также о:н = 0:22 = о:3з = 1, 0:12 = -0:21 = 'l?з,о:1з = -о:зi = -'1?2 и о:2з = -о:з2 = '1?1.
При этом будет малым и модульПри малых значениях углов= -'l?зи {331вектора дк.,векторов и,Qпоэтому К-i ~ к.i.и М поsв(6.1)Тогда выражения для производныхи(6.4)становятся линейными.Если осевая линия криволинейного стержня в исходном состоянииявляется плоской кривой, то к.]'= к.2 = О и в случае,ровании стержня она остается плоской,'1?1 = 1'J2 =О.когда при деформиТогда из(6.1)-(6.4)6.1.иМатематические модели стержня203nри отсутствии сосредоточенных сил и моментов следует(6.7)dщdu2dsds - и2/'\;3 + cost?3 = 1,/'\;3-dt?3ds+ Ut /'\;3 -.SШ t93 = 0,о(6.8)= /'\;3•При малом значении угла t9 3 уравнения(6.8)если nринять/'\;3.cos'!?3~1, sin 1?3~и1?3Для nрямолинейного стержня в/'\;3 ~(6.2)становятся линейными,/'\;']=О.
Если nри его деформировании осевая линия остается плоской, то в третьем и четвертом(6.8) следует nоложить /'\;3 =О и, исключив из них/'\;3, записать dt9 3 jds = M3/(EJ3). При малых значениях угла '113 можнопринять sin t?3 ~ t?3 и ds ~ dx1, где Xt координата поперечного сечеуравнениях системыния стержня, отсчитываемая вдоль осевой линии ведеформированногопрямолинейного стержня. Тогда из второго уравнения(6.8),считаяutпренебрежимо малым, находим dи2/dx1 ~ t9 3 , поэтому nредыдущее равенство можно представить в виде(6.9)Пусть шарнир но закреnленный стержень длинойLсжат силой Р,линия действия которой совnадает с осевой линией ведеформированного nрямолинейного стержня (рис.6.2).При отклонении этой линии отисходного nоложения (штриховая линия на рис.чае Е/3= constобщее решение6.2)М3 = -Ри2 и в слу(6.9) имеет вид и2(х1)= Ctsin(knxl) ++C2cos(kпx1), где kn = ylPj(E/3). Так как и2(О) = и2(L) =О, то С2 =Ои С1 sin(knL) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
