Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Действительно, для любого статически возможного распределения Uij(M) = aij(M) + бaij(M) из (5.55) и (5.56) с учетом (3.12), (5.45)и (5.54) получимJ[~-] _ J[ . ·] = !atJatJ4J(v2(бaii)бщ бщ) dV >-О.9(..\/2 + р/3) +/-LrИз проведеиных иреобразований следуетJ[ui] = I[aij],и поэтомусправедлива цепочка неравенств(5.57)Тогда, заменяя в (5.53) Xl на х~ и дJ[бui] на дJ' =J[ui]- J[aij],длясреднеквадратичнойпогреruностиполучаем(5.58)Таким образом, функцианалывиями стационарности бJ[ui]=О(5.50)и(5.55)и бl[aij]=Овместе со своими услосоставляют двойственную вариационную фор.м.у ММ термаупругости для линейной термоупругой среды.Такая форма позволяет не только провести приближенный численный анализ ММ, но и получить оценку возникающейпри этом погреruности.Второй вариант интегральной формы ММ термаупругости основанна обобщении для неравномерно нагретого тела теоремы БemmuМапсвелла-[97].Пусть в окрестности одной и той же точки тела под действием двухразличных систем нагружающих факторов возникают два различныхнапряженно-деформированных состояния, определяемых тензорами и,€ и и', €' соответственно.
Согласно (5.3), для ли~йной анизотроnнойтер.м.оуnругой среды запиruеми= С· ·(е- а(Т) дТ),и'= С· ·(€'- а(Т) дТ'),где С и а(Т)- тензоры ~оэффициентов уnругости И те.м.nературнойдефор.м.ации соответственно; дТ и дТ'- отклонения температуры в5.3. Интегральная и вариационная формы моделей термоупругости175рассматриваемой точке тела от температуры То естественного состояния для двух систем нагружающих факторов. Проведем свертываниетензоров в первом равенстве с тензором е', во втором равенстве тензоромса затем вычтем почленно из первого результата второй.€,Тог да получим__,еилив~· ·и -записи~ечерез~1~С~~(Т) лтl~· ·и = е · · · ·акомпонентыэтих-__,еС~~(Т) лт~· · · ·атензоровс,учетомсимметриитензоров второго ранга~ . . .:-1VtJ"'ij- ~1 <:'·.-С·.,_,(Т)("'·.
лтl- <:'1 лт)t)ffln .....mn "'tJ~"'ij~'Vij"'tJ-Интегрируя это равенство по1(l7ijf~j- a:jfij) dV=vV1(l7ijnju~и используя(5.54),= 1, 2, 3.получаемa:jЩUi) dS--s1 дl7jii, j, m, nдaji) dV =- / ( Щ дхj - Ui дхjvj( Cijmnamn(Т)(11))fijдT - fijдT .vОтсюда с учетом(3.47)теоремы БеттиМаксвелла в виде-и(5.45)приходим к обобщению утверждения1(piu~- p~ui)dS + 1(biu~- b~щ)dV 1Cijmna[J(fijдT - f~jдT),1=v~vгде штрихом отмечены параметры, соответствующие второй системенагружающих факторов. Для изотропной термаупругой среды вместопоследнего равенства с учетом(5.5)получим1(piu~-p~ui) +1(biu~-b~ui) 13ха(Т) (eiiдT -е~iдТ),svгде а<Т) -1dV =dSvтемпературный ~оэффии,иент .л.инейного расширения материала тела.Во второй системе нагружающих факторов примем дТ1Ь~(М) = /i(Мо)бз(М,Мо), где бз(М,Мо)дающая в случае функциизамыканииVобластиV,-fi (М), М Е V=О идельта-фунпци.в, обла=VU S,непрерывной насвойствомj fi(M)бз(M,Mo)dV(M)v(5.59)П(Мо)/i(Мо)={41Го,'MoEV;Mo~V,(5.60)176где5.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРJЩЫf2(Mo) -телесный угол, под которым из точки МоЕ<<внутренность» областиVf2(Mo) = 27Г, если точка МоS). Пусть .л,ииейио-упругае(в частности,f2(Mo)= 41ГVвиднапри Мо ЕVилежит на гладком участке поверхностисп.л,ошиае среда с константами Ламе ЛиJ-t занимает неограниченную область V00 • Примем ft(Mo) = 1, l == 1, 2, 3, т.
е. Ь~(М) = бз(М, М0 ) является единичной сосредоточеннойсилой, приложенной в точкеМоЕ V00 в направлении оси Oxz. Эта силав точке М Е V вызывает первмещения [21, 97](5.61)гдеr(M, Мо) -расстояние между точками М и Мо, а дифференцирование проводится по координатам точки М.При помощи(5.61),используя соотношения Коши(3.12)и обобщеииого за-х;оиа Гу-х;а, можно найтиа затем вычислить проекции p~l)(M,Mo) = и}~)(M,Mo)nj(M) векторанапряжений на площадку, проходящую через точку М и имеющую направляющие косинусы щ(М) единичного вектораn(M)нормали к этойплощадке. Подставляя в (5.59) u~ )(M,M0 ) вместо и~, p~l)(M,M0 ) вме1сто р~ и бз(М, Mo)бil вместо Ь~(М), с учетом указанного выше свойствадельта-функции получаем так называемое граничное интегральноеуравнениеJJ(n~~o) щ(Мо) = (Pi(N)u~ 1 )(N,Mo) -ui(P)p~ 1 )(N,Mo)) dS(N) +sbi(M) u~l) (М, Мо)+ (3Л + 2J-t)~~ka(T) D.T) dV(M),+vгде М ЕV, N Е S и МоЕ V. Отсюда при помощи метода граничных[11, 16, 17, 21, 28, 36, 43, 66, 141] можно найти недостающиеэлементовзначения uz(Mo) и pz(Mo) в граничных точках Мо Езначение щ (Мо) в любой внутренней точке Мо Е V.S,а затем и5.4.Двусторонние оценки характеристик неоднородных материалов5.4.177Двусторонние оценки характеристикнеоднородных материаловРеальные материалы по своей структуре являются неоднородными.Металлы и сnлавы состоят из кристаллических зерен, в nределах каждого из которых nространствеиную ориентацию х:ристамографи-чесх:их осей можно считать фиксированной.
Такие .материалы. nринятоназывать noлunpucmaллu:чecnu.мu. Свойства отдельных зерен и nространствеиная ориентация их кристаллографических осей оnределяютхарактеристики такого nоликристаллического материала в целом. Кпо.мnозuцuопиы.м (или по.мnозuта.м) относят материалы, образованные объемным сочетанием химически разнородных комnонентов счеткой границей раздела между ними[113]. Обычно комnозиты состоят из связующего комnонента (матрицы), объединяющего включения ввиде nорошков, волокон, нитевидных кристаллов, nленок, ткани и т.n.Ясно, что характеристики комnозита также зависят от свойств матрицы и включений. Наименьший объе.мVo,усреднение по которомусвойств комnонентов материала дает nредставление о характеристиках материала в целом, называют nредставительпы..м.Двойствен'ltая вариа-ционная фор.м.а .м.ате.м.ати-чесх:ой .м.оде.л,и (ММ).л,инейной анизотропной тер.м.оупругой среды nозволяет nолучать оценки термамеханических характеристик леоднородного материала по известным свойствам комnонентов, составляющих этот материал.
Такиеоценки nредставляют интерес, наnример, nри создании новых материалов nутем варьирования их структуры и комnонентов.Сначала рассмотрим nоликристаллический материал, состоящий изхаотически ориентированных кристаллических зерен с одинаковымисвойствами. Это может быть металл либо интер.м.ета.л,.л,ид в чистомвиде или с однородной концентрацией nримесей в виде твердого раствора.
Благодаря хаотической ориентации зерен такой материал поотношению к nредставительному объемуVoможно считать изотропной.л, инейной тер.моупругой сп.л,ошной средой, т. е. изотроnным по отношению к усредненным поVoх:о.м.понента.м. те'Н.Зоров напряжений идеформации, оnределенным в пря.м.оуго.л,ьной систе.м.е х:оординат:O'ij=~о j O'ij dV, Ёij = ~связьO'ijзах:о1tо.м. Дюа.м.е.л,яO'klEijdV,i, j = 1, 2, 3,VoVonричемJиEmn-Ней.м.а'ltавотдельновзятомзернеустанавливается(5.3)= Cklmn(Emn- а[JдТ),k, l, т, п = 1, 2, 3.(5.62)1785. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕПЫЗдесь Ь.Т-изменение температуры относительно температуры Тоестестве'Н:н.ого состонии.н, а компоненты Cklmn и о:~~ теизоров 'Коэффициентов упругости и температурной дефор.м.ации, как и компоненты тензоров напряжений и деформации, определены в соответствиис ориентацией кристаллографических осей o~k этого зерна.Моду.л:и уnругости, связывающие эти усредненные компоненты иназываемые эффепmuвны..м:и, введем из условия равенства объе.м.иойплотиости потенциальной энергии деформации в изотропной среде ив реальном поликристаллическом материале при отсутствии те.м.пературиой дефор.м.ации, т.
е. с учетом(5.62)(5.63)где, согласно (5.5), CiJmn=Лбijdmn-х:оистаиты Ла.м.е; бij- си.м.вол+ J.L(бimdjn + dindjm);Kpoue-x:epa;и;j иЛ И f..L -eij- компоненты, соответствующие истинному напряженно-деформированному состоянию,удовлетворяющему условиям равновесия и совместности деформаций.Обратным по отношению к(5.63)будет равенство(5.64)где, согласноo~ ~.>.(5.6) , S ijmn= Uij umn JL(>.+ 2JL)+ дiтn д;n +11-дin д;m ,4а5 ijmnкомпоненты те'Н.Зора -х:оэффициеитов податливости кристаллическихзерен, причемSijklCklmn = SijklCklmn =4(бim djn + din djm).Пусть на поверхностиSo, ограничивающей представительный объui,(N) (N Е So) ве-х:тора пере.м.ещеии.н, приводящие к непрерывным распределениям иi(М), М Е Vo, которым соответствуют компоненты eij(M) = const, совпадающие с компонентами E\j·Такие распределения являются допустимыми для функцианала (5.50),причем с учетом (5.57), (5.63) и соотношений Коши (3.12) при отсутемVo,заданы проекцииствии те.м.пературиой дефор.м.ации и объемных си~ имеемОтсюдаJ(Cijmn -VoCiJтn) dV ~ О,5.4.Двусторонние оценки характеристик неоднородных материалов179что равносильно перавенетвам1(Cklmn-Cklтn) dV ~О,Voтак как компонентыC&mnопределяют изотропный тензор и сохраняют свои значения при любой ориентации осей координат.
Для выполнения последних неравенств необходима, согласно (П1.15), неотрицательность двух линейных инвариантов тензора с компонентамиCktтn-Cklmn' т.е.(5.65)Пусть теперь на поверхностиSoзаданы проекцииp'/(N) (NЕ Во)вептора объе.м.ной плотности поверmостных сил, вызывающие напряженное состояние с компонентами cтfj(M) =М Еconst,совпадаVo,ющими с компонентами aij· Такое распределение напряжений являетсядопустимым для функцианала(5.55),поэтому с учетом(5.57)и(5.64)при отсутствии температурной деформации запишемОтсюда1(Sktmn-Sklтn)dV ~О,Voпоскольку тензор с компонентамиC&mnтакже является изотропным.Для выполнения этихнеравенств необходимо, согласно (П1.15), чтобы(5.66)Из(5.65)и(5.66)получаем двусторонние оценкизcklkl - ckkmm30где х= Л+ 2~-t/3 -15~1-t;::: 2(3Sktkt - Skkmm )'.модуль объе.м.ной упругости. Если поликристаллический материал состоит из зерен с кубической кристаллическойрешеткой, то верхняя и нижняя границы для этого модуля совпадаюти х= (Сн + 2С1 2)/З = (1/3)/(Sн + 281 2),гдеCpqиSpq,р, q= 1, 6,-элементы матриц шестого порядка, соответствующих тензорам с компонентамиCktmnиSklmn(см.1.6)._ Сн - С12 + зс44 ~/-LV -57При этом для .м.oдy.IUl сдвига имеем~1-t75_48н - 4812 + 3844 - /-LR,180 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
