Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 30
Текст из файла (страница 30)
На остальных участках Sp == S \ Su поверхности тела силовые граничные условия вида (3.47) следует представить при помощи( диk(Т)и(3.12), (5.1)(5.3)через перемещения:о)Cijkt дхt -akl ~Т пj(N)=pi(N,t),(5.12)NESp,где пj- направляющие косинусы единичного вектора внешней нормаp'f- проекции на оси координатли к поверхности;функцииp (N,t)дыпринимает вид(5.12)0заданной векторнойплотиости поверхностных сил. для изотропной сре(IL(Z~; + ~~~) + (л~~:- (3Л + 2р)а(т) ~т)бij) пj = pf(N, t).К уравнениям движения в персмещениях необходимо добавить уравнение для нахождения в теле me.м.nepamypnozo nо.л.нТ(М,t), М ЕЭто уравнение следует из зах:оиа сохранения энергиисовую плотиость энтропииh(4.22),V.если .маси диссипативиую фуих:v,ию дv выразитьпри помощи массовой плотности свободной энергии А через абсолютную температуру Т.в разложении функции А (Е ij, е ) свободной энергии, г де е= Т-~-т;-, вряд Тейлора относительно параметров естественного состоянияEij =Ои Т= То (е= О) ограничимся квадратичными слагаемыми:A(Eij,e)=A(o,o)+1д 2 А(О,О)+ -2ддEij EklдА( О, О)Eij+&ijдА(О, О)аед2 А(О,О)Eijckt + де+1д2 А(О,О)де cije + 2Eij -де 2-е2+...(5.13)Такой подход наряду с допущением о малости компонент тензорадеформации предполагает и малое отклонение Т от То, т.
е. 1е1«<< 1. Возможность не учитывать последнее предположение рассмотренав[39].Примем, что в естественном состоянии А(О,О)=О. Согласно второму1равенству ( 4.39 ) , энтропия естественного состояния равна- Тоее также можно положить равной нулю. Тогда с учетом(5.13)первое равенство(4.39)дА(О О)де(5.1), (5.3)РдA(Eij, е)&ij=РдА(О,О)дcijипри принятых выше допущениях можнопредставить в видеO"ij =,д2 А(О,О)+ Р дEijдckt+РEkl +д2 А(О, О)(Т)дсijде е = CijktEkt - Cijklйkt 6.Т,158 5.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫгде д2А(О,О) =&;j&klC;jkl; 82 А(О,О) = -ToCi 'kl а~~)Р&;jдезпоскольку в естественном состоянии приотсутствуют. В итоге вместо(5.13)и !::1Т =Т- То, а дА(О,О) =О,РдtщC:kl=О и Т= То напряжениязапишем(5.14)где В(Т) включает все слагаемые, зависящие только от температуры.с учетом первых двух равенствфун-кции из(4.22)(4.22)и(5.14)для диссиnативнойполучимбп=а··i··-рt) tJа(4.39)дАi .. +-T+hTдА·') =0(,C:ijдt]дТзапишем в виде(5.15)2где с~d B(T)= Т~-nосто.Jiннойудельная массовая теn.лоемпость среды nридеформации, Дж/(кг·К);проекции вектораqi -n.л.отности теn.л.ового nото-ка на оси координатOxi; qv-qобъе.м.на.нn.л.отностъ мощности внутренних источников теплоты.Так как, согласно (5.3), Cijktikl = Uij+ CijktO'.k~)t, вместо(5.15)можно записать(5.16)где Си= с~+ Т сijklO'.kl(Т)(Т)/o:ijр -удельная массовая теn.лоемпостьnри nосто.Jiнныж нanp.Jiжeн'U.Jlж, которую, как правило, и определяют в теплофизических экспериментах, поскольку ее измеряют у образцов материалов в иенагруженном состоянии.
Для изотропной средыo:~J) = а.СТ) Oij и Си= с~+ 3Т(3Л 2р)(а.СТ)) 2 / р = с~(1 "Ут), где "УТ =+= Tx(ar:)) j(pc~), ar:) = 3о:(Т)2-+темnературный поэффициентобъемного расширени.JI. У большинства металлов параметр "Ут прите11~пературе Т=293К мал (табл.5.1),что свидетельствует о незначительном различии между Си и с~.
В большинстве инженерныхприложений допустимо считать с~=Си и при р= constдля деформируемого твердого тела использовать удельную объемную теn.лоемпость cv = с~р, дж/(м 3 ·К).5.1.159}(лассическая терАtоупрулостьТаблицаМеталлМеталл'УтАлюминийЖелезоЗолотоКобальттТМедь0,0430,0060,0160,0380,020Вольфрам5.10,0280,0070,0210,0400,010МолибденНикельСереброТанталВ соответствии с nринциnо.м равноnрисутствия представим последнее соотношение(4.37)без учета внутренних nара.метров тер.модина.ми'Чесх:ого состояния в виде линейной функцииqi = /3ijkE:jk-- .л~J)-aj + "fi(T- То)+ 9i реах:тивных nере.менны.х: компонент E:jk тензора малой деформации, приращения д.Т = Т- То температуры и проекций19i = дТ/дхinространствен:ного градиента темnературы(fЗijk, .л~J>, тi и 9i -компоненты тензоров соответственно третьего,второго и nервого рангов).
В силу неравенства(4.24)при бv =О этитензоры следует выбрать так, чтобы общее диссиnативное неравенство(4.23)было выполнено при произвольных значениях реактивныхпеременных, т. е.Достаточными условиями выполнения этогонеравенства являются равенства нулю компонент fЗijk, 'Yi и 9ii квадратичная форма ~.л~J>19p?iдолжна быть неотрицательно определенной. Соотношениеилигде\j(Т)~(Т)-компоненты тензора Лq = _;х(Т) . \!Т,(5.17)теп.л.оnроводности, являющие-ся элементами неотрицательно определенной симметрической матрицы третьего порядка;дифференциальный оnератор Га.ми.льтона,\l -выражающий зах:он Био-Фурье для анизотропной среды.
Для изотропной среды .л~J> =).(Т) бij, где ).(Т) -ее теnлоnроводность.Подставляя(5.17)в(5.15),получаем уравнение теn.л.оnровод-ноет и· _(т) .арееТ- -тcijktakl eij + дхiописывающеенестационарное(\j(т) дхjат )+ qv,распределениетемпературы(5.18)ванизотропной термаупругой среде с учетом влияния скорости изменения160 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫдеформации как частного случая тер.м.о.м.ехани-чес-кой связанности. Вслучае однородной изотропной среды при ,Х(Т) = const (5.18) принимаетвид(5.19)где аСТ) = ,Х(Т) /(рее)- те.мnературоnроводность среды, м 2 jc.В качестве начального условия для(5.18)илидолжно быть(5.19)задано распределение температуры Т 0 (М) в начальный момент времениt =О,т.
е.Т(М,О)=Т (М),0MEV,(5.20)а линеаризованные граничные условия имеют вид(Т)Лij (N)8Т(N, t)дх.ni(N)= a(N, t) (Tc(N, t)- T(N, t) ) , NЕ S,(5.21)Jгде щ -направляющие косинусы единичного вектора внешней норSмали к поверхностив ее точкеN;а и Те-заданные зависимости поэффициента теnлообмена и температуры окружающейсреды соответственно. Если на участках Sт~S поверхности теплообмен с окружающей средой весьма интенсивен и можно считать,что а(5.21) используют грани-чные условия nерT(N, t) = Tc(N, t), N Е Sт.
Если же на участках Sq ~ Sповерхности Tc(N,t) » T(N,t), то условия (5.21) переходят в грани-ч(Т)( )дТ(Nt)-()Sные условия второго ро д а \j Nдх·' ni = q N,t, N Е q, где---tоо, то вместового рода]q(N,t) ~ a(N,t)Tc(N,t)- заданная зависимостьnлотности теnловогоnото-ка, подводимого к поверхности. В теории теплопроводности общийслучай в виде(5.21)называют грани-чны.ми условиями третьегорода.Математическая модель, включающая(5.9)-(5.12)и(5.18)-(5.21)характеризует свяэанную дина.ми-чеспую эада-чу тер.моуnругости.
Можно показать[96],что эта задача имеет единственное решение.Если в (5.9) допустимо иренебречь инерционными членами рд2 щjдt 2 ,то уравнения Ламе переходят в уравнения равновесия в nере.чещенияz(5.22)отпадает необходимость в начальных условиях(5.10),а соответствующая ММ характеризует свяэанную пваэистати-чеспую эадачутер.моуnругости.Когда состояние термаупругой среды остается5.1.Классическая термаупругость161неизменным во времени, то имеем сmацuон.арн.ую задачу mep.м.oynpyгocmu. При этом температурное поле не зависит от напряженийили деформации.Если на поверхностида(3.47),Sзаданы лишь силовые граничные условия виа начальные условия заданы в напряжениях, то целесообразнов ММ перейти от персмещений к напряжениям.
Для этого в шесть независимых условий сов.м.естиости деформаций(3.14)подставим(5.2)и получимEP(Sikpqapq +а~~) ~Т)axjaXma 2 (Sjkpqapq + a)r) ~Т) _axiaXm_ a 2 (Simpql7pq +а~;: ~Т)axjaxka 2 (Sjmpql7pq +а);:{ ~Т)axiaxk(5.23)Эти уравнения необходимо рассматривать совместно с уравнениямидвижения средыисключения из них персмещенийпри помощивид2р(3.62), которые после(3.12) и (5.2) принимаютa 2 (Sijpqapq+a~3'!) ~Т)a 2 ak·~axjaxk=at 2+a 2 ak ·Jaxiaxkаьi аь ·++ _J.axjaxi(5.24)В случае изотропной и однородной среды при не зависящих оттемпературы коэффициентах изЛ(5.23)с учетом(5.6)находим, что( a au бa au бa au бa au б )J-L(Л + 2J-L) axjaXm ik- axiaxm jk + axiaxk jm- axjaXk im22221 ( a aik+-.2J-L axjaXmта2 т22a ajkaxiaxm2a ajm+ axiaxk-а2 т+2a aim )axjaxkа2 т+а2 т+а< ) (а Xj аXm бik- аXi аXm бjk +аXi аXk бjт- аXj аXk бiт) =о,и после умножения на бkт и суммирования получаем2a aik-:-----+axjaxj2a auaxiaXkа (aajk aaij)---+-- +axjдхiaxk22a au бa au ) 2 (Т) ( д Т баТ )+ Л+2Л2J-L ( axjaxjik ++ J-La axjaxj ik + axiaxkaxiaxk22=О.Для изотропной средыможно представить с учетом переменыиндексов ив виде(5.24)соотношений (5.
6)2aaij) _ р а (2Лаu бik(Т) бikилт) - abiabk- а (дajk--+-- - -2+aik+ 2J-La---.axjaxiaxkJ-L8tл+ 2J-Laxkaxi5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ162(5.25)которые вместе с(5.16), (5.17)и соответствующими ?Сраевы.ми условиями составляют ММ связанной динамической задачи термаупругостив напряжениях.Если элементарный объемdVтермаупругой среды рассматриватьв качестве тер.модииа.мичес~ой системы,.мехаиичес~ого процесса приqv-то для простого тер.модqi/дxi =О объе.миал плотиостьэнтропии в таком объеме будет постоянна. В этом случае тер.модииа.мичес~ий процесс называют изоэнmроnичеспи.м, а если ии=Оqv =О,адиабаmичеспи.м.
Тогда из (5.15) для изотропТх'а.<Т> d€'ной среды следует dT = vv и с учетом условия Т = Т0 приреЕТ(1 (Т) 1 )qi(i = 1, 2, 3)-g~ =О после интегрирования получим То= ехр - х ~Е E:v , где и' иg~ -значения модуля объемной упругости и объемной деформации приизоэнтропическом процессе. Таким образом, увеличение объема ведет кпонижению температуры и наоборот, но при одинаковых абсолютныхзначениях g~ рост температуры при сжатии больше, чем ее понижениепри расширении. Для малых абсолютных значений показателя экспоненты допустима линеаризация, т.
е. при!:lT-=ехрТо(_х' а(Т) f 1v v)pcg!:lT = Т - То_ 1 ::::::-х' а(Т) g 1v v.pcg(5.26)При всестороннем изоэнтропическом сжатии тела давлением р== -x'gv из (5.26) получим дТ/То:::::: тюV) /(pcg). Например, для меди1000 К и сжатии давлением р = 100 МПа прирост температуры составит всего !:lT:::::: 1,44 К. И для других металлов взаимосвязьпри То=деформированного и температурного состояний при изоэнтропическомпроцессе достаточно слабая, но, строго говоря, приводит к отличиюзначения х' от значения х при Т=const,т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
