Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Электромагнитные процессы в медленно движущейся среде437соответственно. Если зависимость р(е) от Е (или м<m) от Н) имеет вид петли гистерезиса (см. рис.12.1),то часть затрачиваемой напроцессы поляризации (или намагничивания) энергии электромагнитного поля может переходить в теплоту, что также следует учитыватьв(4.11).12.3.Электромагнитные процессыв медленно движущейся средеУравнепия Ма~свелла(12.10)для вакуума в некоторой ииерциальиой пря.моугольиой систе.ме ~оордииат Ох1х2хз с орта.мирепера{ ei}дНVxE=-po дt,гдеei (i = 1, 2, 3)принимают виддЕV·E=O,VxH=€o-V·H=O,дt'дифференциальный оператор Га.мильтоиа; Е=V -= Hiei-(12.24)Eieiи Н=векторы иапряжеииости эле~три'Чес~ого и .магиитиого полей с проекциямиEiиHiтри'Чес~ая постоянные;на осиt -Oxi;ро и €о.магиитиая и эле~-время.
Пусть оси инерциальной прямоугольной системы координат O'xi х~х~ параллельны соответствующимосям системы координат Ох1х2хз и точка О' движется относительноточки О вдоль оси Ох1 с постоянной скоростьюном направлении этой оси (рис.12.5).v = ve1 в положительЕсли для перехода к системеO'xix~x~ применить nреобразован:ие Лоренца[130] t'=1t - vx fc2,Jl-v 2 /c2х~ = х - vt , х~ = х 2 , х~ = хз, где t' -время в этой координатнойJl- v2fc21системе, а с- с~орость света в ва~уу.ме, то вменить Е на Е'Е~== в:еi(12.24) достаточно заи Н на Н' = HJ. ei [140], где(E+v хН) ·е 1 ,Е'_ (E+vxH)·ekk-J1R .
..v2k= 2, 3;'с2Н~= (Н- v х Е)· е 1 ,Н' _ (Н - v х Е) · ekk-k= 2 3v21 -с2-Из свойств с.мешаииого произведения ве~торов (см. Пl.l) следует, чтоЕ~= Е1и Н~ = Н1·При сравнительно медленном движении среды можно пренебречьзначением v2/ с2 по сравнению с единицей и для перехода к систе-12. МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ438Рис.12.5ме О'х~х~х~ применить nреобразование Галиленх~= х2,х~= хз,t' = t,х~ = х 1 -vt,относительно которого инвариантны уравнения классической (нерелятивистской) механики.заменить Е на Е'= Е+ vТогда вх В и Н на Н'= Н- vзамена справедлива для произвольных вектора{v(12.24)хD,достаточнопричем такаяи ориентации репераеа этой координатной системы.
Для электрически поляризованной инамагниченной сплошной среды вВ'= В- vxEс2 'E'=E+vxB,D' = D +t:ovxB,где j(e) -следует принять(12.10)Н'= Н-j'(e) = j(e)-[90]vpe,}(12.25)vxD,р~ =Ре,вектор плотности элех:три'Чесх:ого тох:а; Ре -объе.м.наяплотность элех:три'Чесх:ого заряда (обозначения со штрихом относятсяк системе координат Ох~х~х~, а соответствующие им обозначения безштриха- к системе Ох1х2хз).При произвольнам поле вектора скорости среды, задаваемом в системе координат Ох1х2хз векторной функциейv(x, t),диус-вех:тор частицы сплошной среды, уравнениягде х(12.25)-рав рассматриваемом приближении, называемом галилеевы.м, справедливы дляэлементарного объема среды в соnутствующей систе.ме поординат, движущейся вместе с этим объемом со скоростьюv (х, t) [130].В частном случае, когда IEI » lviiBI и IDI » lt:oviiEI, в (12.25)можно принять Е'= Е и D' = D, а (12.10) привести к виду [21]\?хЕ =О, \7 · D =Ре, \?хН'= дDjдt + j'(e), \7 ·В'= О.
В этом приближении изменение электрического поля порождает магнитное поле,но обратным эффектом (электромагнитной индукцией) пренебрегают.С учетомимеем(12.25)в прежней системе координат для движущейся средыD = t:oE + р(е), В= J.Lo(H + M(m)),элех:три'Чесх:ая проводи.м.ость среды.В случае, когдаj(e) =а< е) Е+ PeV, где а< е)·IBI » lviiEI/c2 и IHI » lviiDI, в (12.25) допустимопринять Н'= Н и В'= В, а (12.10) записать в виде \?хЕ' = -дВjдt,\7 · D' =Ре, \?хН=j'(e),\7 ·В= О. При этом учитывают эффектэлектромагнитной индукции, порождающий электрическое поле при12.3.
Электромагнитвые процессы в медленно движущейся среде439изменении магнитного поля, но пренебрегают обратным (магнитоэлектрическим) эффектом. Принимая во вниманиеD=eoE+P(e), В=ро(Н +M(m)),Преобразование(12.25)(12.25),получаемj(e) =cт(e)(E+vxB)+PeV·(12.26)используют при построении .м.ате.м.ати-чес~их .м.оде.л.ей (ММ) .магнитной гuдродuна.мuпu (см.12.4), изучающей движение .электропроводящих жидкостей и газов в электромагнитном поле[70]. В упрощенной ММ магнитной гидродинамики обычно[130], что в движущейся проводящей среде отсутствуютполяризация и намагниченность, т.
е. D = еоЕ и В= роН, но можетпротекать электрический ток (j(e) # 0), причем lviiDI « IHI, поэтопринимаютму Н'::::::: Н. Если среда идеальная (невязкая) и имеет плотность р, тоуравнение неразрывности имеет вид(8.15)(3.32),а вместо векторной формыуравнений Эй.л.ера получим+ Vp = ь + ь<L)р dvdt'где р(12.27)- вектор n.л.отности объе.м.ных си.л., и в соот(12.25) в инерциальной системе координат векторобъе.м.ной n.л.отности си.л.ы Лоренца b(L) =РеЕ'+ j(e) хВ, причем век-давление; Ьветствии с(12.22)итор j(e) плотности электрического тока задан последним равенством(12.26).
В уравнении (4.11) nереноса энергии мощность объемных источников энергии, обусловленных выделением джоу.л.евой теn.л.оты,равна q~) =j(e) ·Е'. К указанным соотношениям необходимо добавить уравнения МаксвеллаН':;::j(12.10),записанные с учетом соотношенияН в сопутствующей системе координат:(12.28)В частном случае бесконечно большой электрической проводимости(ст(е)---tоо) среды ММ магнитной гидродинамики удается упростить.Так как плотность электрического тока должна быть конечной, изпоследнего равенстват. е.напряженность(12.26)следует,электрическогочто Е=поляв-vxB = -J.LovxH,идеальномпроводникевсопутствующей системе координат равна нулю (Е'=третьего и четвертого уравнений (12.28) имеем j(e)0).
Тогда из= VxH, Ре= О, апервое уравнениедают(12.10)дНи второе уравнениедt =Vx(vxH),(12.28)V·H=O.(12.29)12. МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ440Ясно, что для идеального проводника qt) = О, а в уравнении (12.27)ь<L) = ('\lxH)xB = J.Lo('lxH)xH.Используя формулы векторного анализа[23], с учетом второго(12.29) можно записать '\lx(vxH) =(Н· '\l)v- (v · '\l)H ++ v(\1· Н)- Н(\1· v) =(Н· '\l)v- (v · '\l)H- Н(\1· v), ('lxH)xH ==(Н· '\l)H- ~'l\H\ 2 .
Тогда из (12.27) и первого уравнения (12.29)уравненияполучим два векторных уравненияр ~~ + '\lp = Ь+ J.Lo(H · '\l)H- ~0 VIHI 2 ,}(12.30)ан-=(Н· '\l)v-8t(v · '\l)H-относительно двух векторных функцийН(\1·v)и Н и двух действительныхvфункций р и р. Уравненияяния р(12.30) вместе с (3.32) и уравнением.
состо= р(р) составляют замкнутую систему.Предположим, что все неизвестные функции зависят лишь от однойпространствеиной координаты х1, причем векторvскорости средыимеет лишь одну иенулевую проекциюvа Ь =О. Применяя к первому уравнению(12.29) операцию дивергенциии учитывая, что'l· ('\lxf)векторной функцииf [23],на координатную ось Ох 1 ,=О для любой дважды дифференцируемойнайдем8(\1 · Н)/ ot =О и, следовательно,8 H1j(8t8x1) =О. Но так как из второго уравнения (12.29) следует,- проекция вектора н на ось Oxl, тов итоге получим Н1 =. const. Примем Н1 =О, а проекцию вектора2что 8Н1/ОХ1 =о, где н1Н на направление, перпендикулярное оси Ох1, обозначим Н.
Тогда(Н·'\l)H=О и (Н·уравнения состояния р'\l)v =О, а вместо (3.32) и (12.30) с учетом= р(р) получим ММ, включающую систему трехуравненийдрot +o(pv)- одх1-ан-+at'относительно трех искомых величин р,vo(vH)ах1=0и Н.Уравнения Максвелла с использованием теоре.м.ы Остроградс~огоГаусса и теоре.м.ы Cmo~ca можно представить в некоторой инер-циальной системе координат в интегральной форме:1111SoVoVoSoDndS=PedV,fE·dx=Lo'l·BdV=BndS=O,88j ~ndS, fн·dx= j ~nd8+ ~j~e)dS,SLLoSLSL(12.31)12.3.гдеVoи80Электромагнитвые продессы в меztлевво движущейся среце441объем и ограничивающая его поверхность (все они-неподвижны относительно выбранной системы координат);Lo и SL-замкнутый контур и натянутая на него поверхность;-вектор точки М ЕLoхрадиусв этой системе координат; нижний индексnобозначает проекцию на направление единичного вектора n внешнейнормали к S или нормали к SL векторов D, В и j(e) (нормаль кSL выбрана так,-.
что наблюдаемый с ее стороны обход контура Lпроисходит против хода часовой стрелки). К (12.31) следует добавитьзакон coxpaнeнUJI электри-ческого заряда в интегральной формеJ·(е) J([(е)JndS =80Vдр( е)) dV-дt(12.32)'Voгде I~) -интенсивность объемных источников электрического заряда.Так как уравнения(12.10)справедливы для среды, неподвижнойотносительно выбранной системы координат, то применение(12.31)также ограничено этим случаем.Пусть М* Е S* С Vo пекотораяS* сильного разрыва относительно функций,входящих в (12.31) и (12.32).
Для среды в сопутствующей для точкиМ* Е S* системе координат с учетом (3.24) получим [21]точка на nоверхности[j<e) ·n*)+0~е =0,[D·n*)=ре,на[B·n*] =0S*,(12.33)где Ре -поверхностная плотность электрических зарядов, расположенных наS*в окрестности точки М* ЕS*,а символзначений функции при переходе в точке М* ЕS*[ ·]обозначает скачокчерез поверхностьS*внаправлении, противоположном единичному вектору п*(М*) нормалик этой поверхности.Проведем к поверхностиS*касательную в точке М* Евлении единичного вектораt*и выберем в качестве поверхностиS*в напраSLn * и t* и ограниченной прямоLo протяженностью 2h в направлении единичного12.6). Обход этого контура против хода часовой стрелучасток плоскости, содержащей векторыугольным контуромвектораn* (рис.ки будет соответствовать следующему условию:единичный векторт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
