Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Из второго уравнения (12.16) при D == с:(е)ЕоЕ получаем'il· (c:(e)'ilUe) +Ре =О.(12.17)ЕйТак как объемная плотность Ре электрических зарядов в электростатическом полене изменяется во времени,то всреде отсутствует12. МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ432электрический ток. Поэтому в средах с электрической проводимостьюаСе) >О (например, в металлах) в соответствии с (3.24) должно бытьЕ= -'VИе =О, т. е. Ие = const.
Тогда из (12.17) следует Ре= О. ЭтоV,означает, что если металлическое тело объемомверхностьюS,имеет электрический зарядQе,ограниченным пото он будет сосредоточенна поверхности тела. Интегрируя второе уравнениетела и учитывая теоре.му Остроградс'/f,оговить, что на этой поверхностивнешней нормали к ней, а РеD ·n-=Ре' где(12.16)по объемуГаусса, можно устано-n-единичный векторповерхностная плотность электрического заряда. На границе раздела двух сред нормальная составляющаявектораDтерпит разрыв, равный Ре, а тангенциальная составляющаявектора Е непрерывнаПусть в полости[7 4].заземленногометаллического тела с внутреннейповерхностьюизметалла,80расположено телоограниченноетой поверхностьюВ областиVs*замкну(рис.12.3).между этими теламинаходится среда с диэлектрическойпроницаемостьюРис.f:(e)(M) (М Е V) иобъемной плотностью Ре(М) элек-12.3трических зарядов, а внутреннее тело заряжено до потенциала и; относительно заземленного тела.
В этомслучае распределение потенциала Ие(М) удовлетворяет{12.17)с граиu'Чиы.м.и ус.ttовин.м.иИе(Р') =О,Р' ЕSo;Интегрируя второе уравнениере.м.ы Остроградс'/f,огоJJv~'V · D(M) dV =гдеn(P) --(12.18)(12.16)по областиV,с учетом теоГаусса находимD(P) · n(P) dS +JD(P) · n(P) dS =JРе(М)dV,v~единичный вектор внешней (относительно областинормали в точках Р поверхностейверным и в частном случае Ре (М)1=О, причемD(P) · n(P)dS =-s.V)S* и So.
Это соотношение останется1D(P) · n(P)dS.SoЕсли ввести поверхностную плотность электрического заряда Ре(Р)== D(P) ·n(P), то это соотношение можно интерпретировать как равенство по абсолютной величине заряда, сосредоточенного на поверхности12.2.S*Уравнения Максвелла и моделинедеформируемой средывнутреннего тела, и наведенного заряда на поверхностиSo433заземленного тела.Итак, количественный анализ ММ, включающейпозволяет найти распределение Ие(М) (М ЕV)и(12.17)(12.18),электрического потенциала, векторную функцию D(P) = ~(е)(Р)~оЕ(Р) = -~(е)(Р)~оУ'Ие(Р)(РЕS = S* U So) электрического смещения иD(P) · n(P) эЛектрического заряда,Ре(Р) =поверхностную плотностьа затем вычислить зарядвнутреннего телаj D(P)·n(P)dS= JPe(P)dS.Qe=s.(12.19)s.При Ре(М) =О рассматриваемую систему характеризуют элепmричеспой е.мпосmью Се= Qе/И;, единицей измерения которой являетсяфарад (Ф =Кл/В= А· с/В).Дифференцuа.ttьной фор.ме ММ системы,представленной на рис.вить в соответствие12.3,можно постаминтегра.ttъную фор.мух-х'в виде интегра.л.ьного уравнения.
Согласнозакону Кулона[90]неподвижный точечныйзаряд qe, находящийся в точке М' Е R 3 срадиус-вектором х', определяющим положе-Рис.ние этой точки относительно начала пря12.4моугольной системы координат Ох1х2хз (рис. 12.4), создает в точке М Е JR3 с радиус-вектором х электростатическое поле с векторомнапряженности Е(х) = qe(x- х')(4-тr~(е)~ 0 /х- х'/ 3 )- 1 и потенциаломU(x) = qe(4-тrE(e)E 0 /x- х'/)- 1 .
Заменим заряд qe зарядом Pe(x')dV(x')в элементарном объемеdV(x')в окрестности точки с радиус-векторомV,ограниченной замкнутой поверхностьюх', находящейся в областиS,или зарядомPe(x')dS(x')на элементарной площадкеdS(x').Тогда,суммируя действие таких зарядов и полагая Е(е) = const, получаемИ(1х) = 4-тr~(е)Ео!Pe(x')dV(x')v/х- х'/1+ 4-тrЕ(е)ЕоJPe(x')dS(x')sВ соответствии с граничными условиямиточках Р* ЕобластьV,S*и РЕSoповерхности/х- х'/(12.18)S = S* U So,(12.20)·значения И вограничивающейзаключенную между металлическими телами (см. рис.12.3),заданы.
Приравнивая этим значениям левую часть(12.20),приходимк интегральному уравнению относительно неизвестной поверхностнойплотности Ре электрического заряда в точках поверхностиS.После12. МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ434решения этого уравнения из(12.20)можно найти потенциалэлектростатического поля в любой точке М Еа при помощиVвычислить электрический заряд(12.19)U(x)с радиус-вектором х,Qвнутреннегометаллического тела.В случае постоянного магнитного поля в неподвижной среде из(12.10)получим систему уравнений магнитостатикиVxH=j(e),Из второго уравнения(12.21)'V·B=O.(12.21)следует, что магнитные заряды (илимонополи) не существуют.
На поверхности тела или на границе разделадвух сред должны быть непрерывны тангенциальные составляющиевектора Н, нормальные составляющие вектора В и все компонентывектора А, определенного равенствамиV ·А= О и VxA =В [74].(12.16) и (12.21) дает граничныеусловия для уравнений Максвелла (12.10).Рассмотрим вариант иреобразования (12.10) при помощи соотношеОбъединение граничных условий дляний для потенциалов электромагнитного поля (скалярного Ф и векторного А)дАЕ=-VФ-дt'B=VxA,дФ2aem V ·А+ -дtст(е)ф+ _(_)_= О,€ е Еопоследнее из которых называют калибровочным условием ЛоренцаПосле подстановки этих соотношений в(12.10)[85].первое и второе уравнения превратятся в тождества, а два остальных в случае однороднойизотропной среды с учетом (П1.19) можно представить в видет. е.введенные потенциалы удовлетворяют одинаковым по структуретелеграфным уравнениям, которые для непроводящей среды (ст(е) ==О и Ре= О) переходят в волновые уравнения DФ =О иDA =О.
Припостроении ММ распространения электромагнитных волн в такой сре-де удобно с помощью соотношений a~m А = 88~ и Ф= - V ·Пввестиnо.IUlризацuон:н.ый nomeн.цua.lf. П, называемый также вепmоро.м.Герца[85].При этом калибровочное условие Лоренца удовлетворяетсятождественно, а из волнового уравнения для А следует a~m V 2 ~~=28 дПд (2д П)at 2 дt, или дt a~m V П - дt 22= О.=Отсюда получаем неоднородное12.2. Уравнения Максвелла и модели ведеформируемой средыволновое уравнение ОП=f(x),гдеf(x)-435векторная функция радиусвекторах, которую можно найти, если известно распределение П(х, to)в какой-либо момент времениto(например, в начальный). По полученному решению П(х, t) несложно с учетом (П1.19) вычислитьЕ=дА-\7 Ф·- -дt1 д2П= \7(\7 · П) - - 2 = \7 х (\7 х П) + fа е т дt2'В = \7 х А = _1_\7 х дП = _1_ д(\7 х П).a~mдta~mдtСилы воздействия электромагнитного поля на среду называютnоидеро.моmориы.ми.
Нанеподвижную относительно выбранной инерциальной системы координат среду при отсутствии электрической поляризации и намагниченности (Х(е) = x(m) =О, т. е. Е(е) = f-l(m) = 1)cuJtaдействует так называемаяЛореица, вектор объемной плотности которой равенb(L) =РеЕ+ j(e) хВ.(12.22)Силу Лоренца можно представить в иной форме. Для этого последовательно преобразуем первое и второе слагаемые в правой частис учетом четвертого и третьего уравненийРеЕ= (У'·j(e)(12.22)(12.10):D)E =У'· (D 0 Е)- D · (\7 Е)= Е:о У'· (Е 0 Е)-2Е:о V'IEI 2 ,х В= (v хН- дD) х B=f-to(V' хН) хН -{-lo дD хН=дtдt= f-loH · (\7 Н) -~о V'IHI 2 -1-loд:: х Н={-lo2дD=f-toV'·(H0H)-2V'IHI -1-lo дt хН.Так как V'IEI 2 = \7 · (IEI 2I2) и V'IHI 2 = \7 · (IHI 2I2), где l2- едиuu'Чиыйтеизор второго ранга, то Ь(L)~(em)= \7 ·и8G(em)- - -t-,8~(em)где и-си.м.ме-три'Чиый mеизор эдех:mро.магииmиых иаnрнжеиий Max:cвeJtJtaс компонентамиi, j, kG(em)= DxB = ExHfc2-= 1, 2, 3;объемная плотность х:оди-чесmва движеиин эдех:mро.магииmиого nодн.Для электрически поляризованной и намагниченной неподвижнойсреды учет векторов элептри'Чеспой поллризоваииости р(е) и иа.маг-12.
МОдЕЛИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ436ничен:н.ости мСт) приводит к тому, что компоненты те'НЗора элептро.м.аzн.uтиых иаnрнжеиuй принимаютвид [90] cr]~mn) = cr)~m) ++ рj(е)Еi - Вj М(т)i-М(т)Вk1<kUji, т. е. прир(е)Е ..J.. В мСт)jji 1iэтот тензорстановится несимметричным. Для такой среды вектор объемной плотности поидерамоторных сил равен[130]Ь(ет) = РеЕ+ j(e) х В+Е 'np(e) + J.Lo M(m)'nH(m)) .+ 21 (p(e)'nEiv i- i v ii v i - J.LoHi '1 MiЕсли для среды справедливыи.магнитная(12.3) и (12.8), причем эле11:mричес11:анвосприи.мчивости являются скалярами и некоординат, то выражение в круглых скобках вв нуль,(12.23)зависят отобращается(12.23)так как каждое слагаемое в них будет состоять из скалярных произведений ортогональных векторов.Это выражение можетбыть отлично от нуля для анизотропной среды или в случае,гда электрическая и магнитная восприимчивости зависяткоот координат.
Ясно, что при взаимодействии среды с электромагнитным полемпоидерамоторные силы должны быть учтены в уравнениях равновесия (см.3.6).Направление и интенсивность переноса энергии электромагнитногополя характеризуют вепторо.м.zа.S =Если первое и третье уравненияЕхН(12.10)У.м.ова-Пойитuискалярно умножить наН и Е соответственно и затем, приняв для вакуума 10(е)= J.L(m) == 1 и j(e) =О, из первого результата вычесть второй, то получимН· ('1 х Е)- Е· ('lxH) = -р 0 Н · дНjдt -10 0 Е · дЕjдt. Отсюда всилу Н· (\lxE)- Е· (\lxH) = '1· (ЕхН) приходим к локальной формеза11:онасохраненияэнергииэлектромагнитногополяввакуумеввиде уравиеиuн У.м.ова Пойн.тuиzа д10;т/дt + \1 · S =О, где10;m = (10oiEI 2 + JLoiHI 2 )/2 -объемная плотность энергии электромагнитного поля в вакууме[74]. Аналогично из (12.10) следует уравнение Умова- Пойнтинга '1· S + j(e) ·Е+ Е· дDjдt +Н· дВjдt =Одля электрически поляризуемой и намагничиваемой среды.
Слагаемоеj(e)·Е характеризует для неподвижной среды так называемую джоулеву теnлоту, т. е. объемную плотность мощности q~) источниковтепловой энергии, передаваемой среде при ее взаимодействии с электромагнитным полем. Эти источники должны быть учтены вуравнения переноса энергии (см.(4.11)для4.2).В среду также поступает энергия, затрачиваемая на электрическую поляризацию и намагничивание. Объемная плотность мощностиисточников этой энергии q~) =Е· др(е) jдt и q~M) = JLoH · дМ(m) jдt12.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
