Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Точки экстремума функционала, в которых он дифференцируем,являются его стационарными точками.Уравнение F[и, би] =О, левая часть которого является функционалом с областью оnределенияD(F) =DuxDбu, гдеDuС1tи Dбu С1t,называют вариационны.м уравнение.м, соответствующим (П2.1), еслиD(A)~Duи любое решение (П2.1) удовлетворяет этому уравнениюпри любой вариации ди Е Dбu, а любая функция и ЕD(A),обращающаяэто уравнение в тождество, удовлетворяет (П2.1).
Так, вариационноеуравнение (А( и)-f, ди)=О соответствует {П2.1)[19].Вариационное уравнение называют голоно.мны.м, если его левая часть являетсяП2.1. Операторное и вариационное уравнениявариацией JJ[u,бu] векоторого функцианалаленияJ[u]481с областью опредеD(J) = Du. Если такой функционал удается найти, то (П2.1)будет равносильно уравнению бJ[u, ou] =о, т. е. решение операторногоуравнения равносильно поиску стационарных точек функцианала J[и].Таким образом, переход к вариационной фор.ме ММ может быть реализован построением голономного вариационного уравнения.Вариационное уравнение в интегральной формеJN(u)биdV=O,иED(N)c7t,(П2.6)vгдеN-оператор (в общем случае нелинейный) в операторном уравнении N(и) =О, а О ЕR(N)С 7-{ -нулевой элемент, является голономным, если этот оператор обладает свойством потенциальности,т.
е. интеграл в (П2. 6) не зависит от пути варьирования функциии ЕбиD(N).= fЗ1h1h1, h2ЕДля выяснения условия потенциальности положим в (П2.6)+ fЗ2h2,D(N).где /З1, /З2 Ебесконечно малые величины, аIR -Рассмотрим два пути варьирования: и--+ и+ fЗ1h1--+--+и+ би и и--+ и+ /З2h2--+ и+ би. С точностью до величин болеевысокого порядка малости для этих путей варьирования получим подынтегральные выражения соответственноТогда условие потенциальности примет видJJvvN(и+f3 1 ;11 )-N(и)h 2 dV=В пределе при /З1, /З2--+ ОN(и+f32;:)-N(u)h 1 dV.имеемJvNu(h1)h2dV =JvNu(h2)h1 dV,(П2.7)гдеNu(h)= lim N(и+/Зh)-N(и)(П2.8)/3-+0f3дифферен:циа.л, Гаmо [19] оператора N в точке и Е D(N) на приращении h Е D( N). В гильбертовам пространстве (П2.
7) можно представитьв виде (Nu(hi), h2) = (Nu(h2), h1).В частном случае N(и) =А( и)- J, D(A) С 7-{, гдеА-линейныйоператор, а f Е R(A) фиксированный элемент, с учетом (П2.8)получимNu(h) = lim А( и+ (Зh)- А( и)= A(h),{3-->0fЗПРИЛОЖЕНИВ 2. ДВОЙСТВЕННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ482т. е. согласно(П2.7) симметрический линейный оператор обладаетсвойством потенциальности.
В общем случае оператор обладает свойством потенциальности,если существует его дифференциал Гато,обладающий свойством симметрии, а функционал1иdV 1N((Jи)d{J,1J[и] =v{3 Е R,(П2.9)осоответствует (П2.6). Несложно проверить, что его вариация совпадает= А(и)- fс левой частью (П2.6). В случае N(и)из (П2.9), согласно(П2.2), следует1~ 1иА(и)dV- 1иfdV1J[и] = j иdV (А({Зи)- f) d(J =vо=v= ~ (А(и), и)- (и,!), (П2.10)vт. е. приведенный выше квадратичный функционал.П2.2. Выпуклость функцианалаПосле построения фун:кциона.л.а,.м.ууравнению,уравнению,которое,важновсвоювыяснить,соответствующего варишционноочередь,являетсяравносильнолиоператорно.м.устационарная то-ч-ка этого функцианала единственной и достигает ли он в этой точке своегонаименьшего или наибольшего значения.
Это можно выяснить путемпроверки выпуклости функционала.Подмножество М СL.линейного пространстваL.nуп.~&ы.м. .м."ожество.м., если для любых элементов и,числаназывают выvЕ М и любого{3 Е [О, 1] элемент {Зи + (1- {J)v также принадлежит М. Простейшим примерам выпуклого множества является само линейное пространствоL..Функционал J[и], определенный на выпуклом множествем, называют выnуп.~&ы.м., если для любых и1, и2 Е м и rз Е [О,1](П2.11)Если при любых щfи2 и{3 Е (0, 1) в (П2.11) выполнено строгоенеравенство, т. е.(П2.12)то J[и] называют строго выnуплы.м.
фу"пцио"а.л.о.м.. В случае линейного пространстваRпонятие функцианала сводится к понятиюдействительной функции одного действительного переменного. В этом483П2.2. Выпуклость функдионаласлучае понятие выпуклого (строго выпуклого) функцианала равнозначно понятию выпуклой вниз (строго выпуклой вниз) функции[47].Из (П2.11) и (П2.12) следует, что сумма выпуклых функдионаловявляется выпуклым функционалом, а сумма выпуклого и строго выпуклого функдионалов является строго выпуклым функционалом.частности, если J1[и]лtтейный фунх:ционал и J[и]-=J1[и]+ВJ2[и],то функдионалы ,J[и] и J2 [и] выпуклые (строго выпуклые) или нетодновременно.
Это означает, что при исследовании выпуклости функционала J[и] в его представлении можно опускать линейные относительно элемента и слагаемые. Например, х:вадрати-ч.ный фунх:ционалJ[и]=(А(и), и)-2(!, и)будет выпуклым (строго выпуклым) тогда итолько тогда, когда выпуклым (строго выпуклым) является функционал J2[и] =(А( и), и).Выясним, при каком условии является строго выпуклым функционал J2 [и] =(А( и), и), где А-линейный си.м..м.етри-ч.есх:ий оператор.Согласно (П2.12)R(щ,и2) = ,В(А(иi), и1)++ (1- ,В) (А(и2), и2)- (А(,Вщ +(1- ,В)и2),,8щ +(1- ,В)и2) ==,8(1- ,8) ( (А(иi), щ} + (А(и2), и2)- (А(щ), и2)- (А(и2), и1)) == ,8(1- ,8) (А( U } - и2),Так как,8(1- ,В)>выпуклым, если АО при ,в Е (О,-1),и1-и2).то этот функционал будет строгоположительный оператор.Если строго выпуклый функционал J[и] достигает на выпукломмножестве М своего наименьшего значенияJ.
=единственный. Действительно, полагая в (П2.12)= J[и2],R(и1# и2,U},и2J[и.], то элемент и.,8= 1/2 и J[и1]= J. =получаем) = J[и1] + J[и2] _ J[u1 + u2] = J _ J[и1 +и2] 022*2> 'т. е. J[u 1 ~u 2 ] < J., а это противоречит тому, что J. является наименьшим значением функдионала на множестве М.Если строго выпуклый функционал J[и], у которого всюду в егообласти определенияD( J) существует дифференциал Гато, имеетстационарную то-ч.х:у, то эта точка единственная и в ней функционалдостигает наименьшего значения. Достаточно показать, что в стационарной точке строго выпуклый функционал достигает наименьшегозначения, и тогда из предыдущего будет следовать, что она единственная. Пусть и 0 , и ЕD{J)-стационарная и произвольпая точки этого484ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
двОЙСТВЕННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫфункционала. В силу (П2.12) приfЗJ[и]f3 Е (0, 1) и ио :::f и+ (1- fЗ)J[ио] > J[fЗи+ (1- fЗ)ио].Вычитая из обеих частей этогонеравенства J[ио] и деля наJ[и J_ J[/3,получаемJ J[fЗи + (1- fЗ)ио] - J[ио] = J[ио + /Зби]- J[ио]ио>f3f3'где би =и- ио.
Так как функционал J[и] имеет дифференциал Гато,то, согласно (П2.5), существует предел.J[ио + fЗби] - J[ио]llffif3= ~J[и,6--++О~ J= 0ио,ии'поскольку ио- стационарная точка функцианала J[ио], а бJ[и 0 ,би]вариация этого функциона.л.а. Тогда в силу правила перехода к пределувнеравенствеполучим[92]J[и] - J[ио] ~ lim J[ио + /Зб;] - J[ио]=О,.8--++0т. е. J[и] ~ J[ио] и в силу произвольнога выбора и ЕD(J)в стационарной точке и 0 функционал J[и] достигает своего наименьшего значения.Обобщением теоремы Ферма[47]о необходимом условии экстремума действительной функции одного перемениого является следующееутверждение: если функционал J[и] с областью определениястигаетвточкеи*своегонаименьшегозначенияиимеетD(J)довсюдувпекоторой окрестности этой точки дифференциал Га то, т.
е. вариациюбJ[и,ои] этого функционала, то 6J[и*,би] =О. Действительно, тогда вточке и* ЕD(J)в силу (П2.5) существует предел~J[и1:и*, и и. J[и* + fЗои]- J[и*]- 11mf3.] _,8--+0Но этот предел можно вычислить как производную действительнойфункции ~.р(/3)= J[и* + f3 о и]поf3 при f3руема в пекоторой окрестности точкинаименьшего значения tp(O)= J[и*].= о.f3 =Эта функция дифференциО и достигает в этой точкеВ силу теоремы Ферма tр 1 (/З)J.в=о== ~.р'(О) =О. Следовательно, оJ[и*,6и] =О.Итак, строго выnуклый функционал J[и] с областью определенияD(J), непрерывныйЕ D(J) и имеющий вв окрестности своей стационарной точки и* Еэтой окрестности вариацию бJ[и, би], такую, что6J[и*,би] =О, достигает своего наименьшего значения в этой точке.Следовательно, такой функционал имеет единственную стационарнуюточку, значение J[и*J будет минимальным для функцианала J[и], аП2.3.
Альтернативвые функдионалыи.485точкой его минимума. В этом случае функционал называют .ми-ни.мизируемы.м. Ясно, что установление условий, при которых функционал является строго выпуклым, имеет существенное практическоезначение при количественном анализе вариацио'Н:н.ой фор.м.ы .м.ате.м.ати-чесх:ой .моде.л.и.П2.3. Альтернативные функционалыСущественным иреимуществом вариационной фор.мы .м.ате.мати-чесх:ой .моде.л.и (ММ), содержащей строг.о выпух:.л.ый фунх:циона.л., являетсянетольковозможностьприменения дляколичественногоанализаММ эффективных приближенных (в том числе численных) методов, нои удобные способы контроля сходимости приближенного решения задачи к истинному.
Действительно, из двух приближенных решений и1 ии 2 в задаче на минимум функционала J[и] разумно отдать предnочтение тому из них, на котором значение функционала J[и] меньше, т. е.ближе к его наименьшему значению.В этом случае значение функционала выnолняет роль обобщенного критерия для сравнения двух иболее приближенных решений.Для количественной оценки погрешности приближенного решенияи можно использовать разность!::J.J =J[и]- J[и.], где и.-стационарная то-чх:а .м.ини.м.изируе.м.ог.о фунх:циоиа.л.а. Эту разность можносвязать со значением llи- и. . /1, отражающим близость истинного иприближенного решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
