Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 11
Текст из файла (страница 11)
матрица С является симметрической, Cpq = Cqp, илиCijmn = Cmnij. Таким образом, из 36 элементов этой матрицы лишь21 эл~ент независим и соответствует 21 независимой компоненте тензора С, характеризующего общий случай ан.изотропии кристалла поотношению к его упругим свойствам.ТензорS можно сопоставить с симметрической матрицей S шестогопорядка, обратнойматрицеС. Из (1.15) получим, чтое=Sи+о.(Т)дТ.Соответствие между индексами элементов 8pq матрицыкомпонентSи индексамитензора S определено выше, но 8pq = 8ijmn лишь вслучае, когда и р, и q равны 1, 2 или 3.
Если либо р, либо q равно 4, 5или 6, то 8pq = 28ijmr"' а если и р, и q равны 4, 5 или 6, то 8pq = 48ijmn·8ijmnВ кристаллах с кубической решеткой все оси Ох~ равноправны(см. рис.1.5, а иб), и матрицаS коэффициентов податливости содержитлишь три отличных от нуля независимых элемента:S=8н812812ооо8128н812ооо812 8128ноооооо844оооооо844оооооо844(1.16)Такой же вид имеет и матрица С коэффициентов податливости, причемобращение матрицыСS дает_ 8н +812н-8к18С44=- ,44'В этих равенствах буквы8и С можно поменять местами. Отличиепараметраот единицы характеризует степень анизотропии упругих свойств кристаллов.
Практически изотропными являются кристаллы вольфрама,близки к изотропным кристаллы алюминия.Кристаллы с ГПУ-решеткой обладают высокой степенью симметрии относительно кристаллографической оси Ох~ (см. рис.1.5, в).Поэтому их упругие свойства в плоскости, перпендикулярной этой1. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ54оси,являютсяизотропными, а матрицаSкоэффициентов упругостивключает пять независимых иенулевых элементов:S=811812 81зооо812811S1зооо81з81з8ззоооооо844оо(1.17)оооо844оооооо866причем 866 = (8н - 812)/2.
Для перехода к матрице С,матрице S, используют равенства [94]Сн = 8зз +28ггде 8г = (8н81/2 ' 012 = Sзз _81228г811 -обратной1/2 '812811 -+ 81 2)8зз- 2С~3 , и обратно, если в этих равенствах буквыи С поменять местами.Различие в поведении кристаллов с ОЦК- и ГПУ-решетками проявляется при действии всестороннего давления р, вызывающего в кристалле наnрЯженное состолние с компонентами aklсогласно(1.11)= -pбkl, которому,при дТ=О, соответствуют компоненты E:k!=8klmnO'mn== -p8klmnбmn =-p8klmm тензора деформации.Тогда деформация внаправлении вектора, заданного в кристаллографических осях направляющими косинусами nk, будет равна E:klnknl= -p8klmmnknl, а линейная сжимаемость кристалла в этом направлении-!Зппоскольку для=-eklnknlр= 8ktmnnknlрассматриваемыхтипов=3""'L-~"(=128v7 nv,кристаллическихрешетокизвсех коэффициентов податливости 8klmn с двумя одинаковыми индексами во второй паре отличны от нуля только коэффициенты, имеющиеодинаковые индексы и в первой паре( нор.м.а.аьныенаnрлженил не влияют на дефор.м.ации сдвига, если кристаллографические оси ортогональны).
Так как n~ + n~ + n~ = 1, то для кристаллов с кубическими решетками с учетом (1.16) получаем fЗn = 811 + 2812, т.е. линейная сжимаемость не зависит от направления. Для кристаллов с~ГПУ-решетками сучетом (1.17) получаем fЗn = Sн + 812 + 81з- (8н + 812- 81з- 8зз)п~,т. е. линейная сжимаемость обладает осевой симметрией относительно оси ох; (см. рис.1.5, в). Сфера, выделенная в таком кристалле, ПОДдействием всестороннего давления переходит в эллипсоид вращения относительно этой оси, тогда как в случае кристаллов с кубическимирешетками сфера сохраняет свою форму.1. 7.Несовершенства структуры кристаллов55Податливость кристаллов с кубическими решетками в направлениидействия растягивающей или сжимающей силы равна- S44(S- 1)(nin~+ n~n~ + n~ni),направления. Вдоль ребра кубаSn =Sн-1-s44(S- 1),4[36] Sn = Sнт.
е. при S = 1 она не зависит отSn= Sн,вдоль диагонали его граниа вдоль диагонали кубаSn =Sн-Для большинства металлов с ОЦК- и ГЦК-решетками1-3s44(S -1).S > 1,но длякристаллов ванадия, молибдена, ниобия и некоторых других металловS < 1.Податливость кристаллов с ГПУ-решетками Sn = Sн(1- n~) +т. е. зависит лишь от угла между+ Sззn~ + (2Slз + S44)n~(l- n~),направлением действия силы и осью Ох~.1. 7.Несовершенства структуры кристалловПредставление о том, что атомы в кристалле колеблются околострого фиксированных узлов х:ристами-чесх:ой решетх:и, является идеализированным. Такая идеализация не мешает рассматривать свойстватвердых ?qJиста.л.дu-чесх:их тед при сравнительно низких иапрнжеиилхи температурах, когда эти тела упруги. Но с увеличением температурыи напряжений необходимо учитывать наличие несовершенств структуры реальных кристаллов в виде точечных и линейных дефектов иискажений в зоне границ между кристаллическими зернами в поликристаллическом материале.К точечным дефектам относят вanaнcuu (не занятые атомамиузлы кристаллической решетки) и внедренные в междоузлия атомы,а также искажения решетки основного вещества атомами nримесейв сплавах типа mвердыж растворов.В зоне точечных дефектоввозникает поле напряжений с запасом потеицuадьиой эиергии.Относительная концентрация Св = ехр (- k~"т) вакансий и внедренных атомов зависит ОТ· температуры Т и энергии Ив, требуемой дляобразования этих дефектов (здесь kв-постонииан Бодьц.м.аиа).
Впервом приближении для вакансии Ив можно оценить по энергии, необходимой для удаления атома с поверхности кристалла путем разрываNк/2 межатомных связей (Nк- х:оордииациоииое -чuсдо решетки). Если каждая связь имеет энергию П 0 (см.1.5),то Ив= П()Nк/2. Для атомов основного вещества, внедренных в объемноцентрированную ( ОЦК)и гранецентрированную (ГЦК) кубические или в гексагональную плотноупакованную (ГПУ) решетки, энергия образования выше, чем длявакансий (например, для меди- в3-4раза). Поэтому в кристалле безпримесей концентрация внедренных атомов существенно меньше концентрации вакансий.1. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ56Благодаря тепловому возбуждению точечные дефекты не остаютсяв кристалле неподвижными,они дрейфуют по его объему.Дрейф(или диффузия) точечных дефектов может происходить хаотически(самодиффузия)или же направленно в соответствии с градиентамиконцентрации дефектов,тензора наnряженийтемпературы или первого инварианта Iн;.u.
Вакансии и атомы примесей малых радиусов(по сравнению с радиусами атомов основного вещества) диффундируютв зоны сжатия,а внедренные атомы и атомы примесей большихрадиусов-- в зоны растяжения.Скорость диффузии растет с увеличением температуры. При температуре, близкой к точх:е nлав.!l.енил, направленная диффузия вакансий,которую следует рассматривать как перенос вещества в обратном направлении, может заметно повлиять на деформирование материала вовремени под нагрузкой, что необходимо учитывать при режимах еготехнологической обработки.В отличие от точечных дефектов дucJConaцu.н является линейнымдефектом, поскольку искажения кристаплической решетки располагаются вдоль пекоторой пространствеиной линии. Основные характеристики дислокаций рассмотрим применительно к простой кубическойрешетке.Возникновение дислокации можно представить как результат частичного сдвига в кристаллической решетке под действием х:асаmе.!l.ьного наnряжения т, причем различают праевую (рис.товую (рис.1.9, а)и вин1.9, 6) дucJConaцuu.
Краевая дислокация имеет условное1.10), в котором вертикальная черта указывает расобозначение (рис.положение лишнего слоя атомов, как бы вдвинутого в кристаллическуюрешетку, а горизонтальная соответствует расположениюn.ttocnocmuспо.аьжени.н, в которой произошел частичный сдвиг (она обычно совпадает с плоскостями наиболее плотной упаковки атомов в решетке).Смещение слоев атомов вдали от искажения решетки определяетсявепторо.м Бюргерса Ь*. Для простой кубической решетки модуль Ь*"~~-ь.бРис.1.96Несовершенства структуры кристаллов1.
7.57вектора Бюргерса краевой дислокации с одним· лишним атомным слоем (см. рис.1.9, а)равен одному периоду решетки, а винтовойдислокации-шагу винтовой ломаной, которая образуется, если проследить за РJ1СПоложением атомов в зоне искажения (рис.1.9, в).В общем случае дислокации могут иметь смешанную ориентацию с краевыми и винтовыми составляющими (см. рис.1.10).Лишний слой атомов искажает кристал-Рис.1.10лическую решетку в зоне краевой дислокации и создает поле самоуравновешенных внутренних напряжений.
Вблизи кромки этого слоя(ядра дислокации) искажения решетки настолькоможновелики,чторасположениеатомоврассчитать только с учетом их энергии взаимодействияВ области за пре[56].делами нескольких межатомных расстоянийот ядра дислокации поле напряжений можно найти методами теории упругости. Еслисчитатькристаллнеограниченнымиупругоизотропным, то фу11:х:ция напряжений, удоовлетворяющая бигармоническому уравнениюРис.1.11(5.38), записанному в полярных координатах<р, r (рис. 1.11) в предположении плос-х;ого дефор.мированного состояния (Ezz =О) будет равна [36] F = -Br(lnr)sin<p, а компоненты тензоранапряжений 8!r ( 88Fr +!r<p~) =-Вr sin<p,82C7rr =CJrprpд2 F=-8r 2e7zz = v(e7rrв= --sin<p,r+e7rprp)(1.18)= -2vB sin<p,rгдеВ-коэффициент пропорциональности;сона.v--х;оэффициент ПуасПри обходе вокруг линии краевой дислокации по замкнутомуконтуру составляющая вектора перемещения при <рщение, равное ь*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
