Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Мema.a.ttu-чecna.н связь по физической природе сходна с ковалентной.Внешние валентные электроныв атомах металлов сравнительно слабо связаны с ядром и свободноперемещаются в кристаллической решетке, образуя так называемыйэлектронный газ.Атомы при этом превращаются в положительнозаряженные ионы, которые электростатически взаимодействуют с электронным газом.атомомИон.н.а.н связь обусловлена присоединением однимвалентныхэлектроновдругогоатомаиэлектростатическимвзаимодействием Образовавшихея nри этом разноименно заряженныхионов.Классификация кристаллов потиnам связи условна,посколькуво многих случаях наблюдается комбинация различных тиnов связи.Например, в uн.mep.мema.a.ttuдaж (химических соединениях металлов:Al2Cu, MgZn2, Al2MgCu и др.) одновременно могут действоватьвалентная и металлическая связи.В присутствии атомов водорода,ядро которого слабо связано с электроном,возникает так называемая водородная связь, имеющая энергию взаимодействиях 106 Дж/моль(1 ...
5)х[148]. Универсальным тиnом является связь за счет силВаи-дер-Ваальса, которые возникают между электрически нейтральными частицами.В частности, этим типом связи можно объяснитьсуществование так называемых молекулярных кристаллов и кристаллов затвердевших инертных газов. Вследствие малой энергии взаимодействия такие кристаJшы имеют сравнительно низкую температуру1.5.45Твердое кристаллическое телоплавления, большие значения те.мпературиого -к:оэффициеита линейного расширеии.а, большую сжимаемость и малую твердость.Тепловое имеханическое воздействия на кристалл nриводяткизменению расстояний между узлами кристаллической решетки.
Таккак атомы в решетке взаимодействуют главным образом со своимиближайшими соседями, для выяснения влияния этих воздействий скачественной стороны достаточно рассмотреть взаимодействие лишьодной пары атомов в линейной цепочке.Зависимость nотенциальной энергии П* взаимодействия пары атомов в линейной цепочке от расстоянияизображенный на рис.1.1,rмежду ними имеет характер,причем значение П0 оnределяет работу,которую необходимо совершить для разрушения этой цепочки, и соответствует расстояниюdП*(ro,на котором суммарная сила взаимодействия)f(r) =Т равна нулю (рис. 1.6).п·; frРис.1.6Вследствие асимметрии кривой П* (r) относительно точкиr = roпримеханическом воздействии (растяжении или сжатии цеnочки) внешняясила и отклонение дr = r- ro атома от положения равновесия связанынелинейной зависимостью, причем жесткость со = df 1dr = d2 П* 1dr 2связи между атомами уменьшается nри растяжении и возрастает nрисжатии цепочки по сравнению с жесткостью С0 = d2 П* ldr 2 ir=ro вположении равновесия.Это соответствует аналогичному изменению.модулей упругости кристаллического твердого тела.При повышении температуры Т увеличиваются кинетическая энергияKj.теплового возбуждения атомов и амплитуда их колебаний относительно положений равновесия.
В случае симметрии кривой П* (r)в окрестности положения равновесия (штриховая линия на рис.1.6)колебания были бы гармоническими и среднее положение атома в кристаллической решетке не зависело бы от температуры. Но вследствиеасимметрии кривой П*(r) колебания атомов ангармоничны и отклонения от положения равновесияr = ro неодинаковы (дr' >/дr"/).
Поэтому1. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ46среднее расстояниеrмежду ионами увеличивается,что приводит ктемпературному расширению кристаллического тела. Жесткость рассматриваемой линейной цепочки C 0 (r) = df jdrjr=r' соответствующаясреднему расстояниюr,уменьшается с повышением температуры, всвязи с чем уменьшаются модули упругости кристаллического тела.Для количественной оценки влияния теплового и механическоговоздействий на одномерную модель материала в виде линейной цепочки атомов используют методы классической статистической физики.Эти методы применимы к большинству металлов при температуреТ> Tv = f;J.;Jv/kБ, где Tv -характеристическая температура Дебая;fi ~ 1,0546 ·10- 34 Дж· с- nосто.ннна.н Планпа; wv = a{/61r2 Nvпредельная пругова.н -частота упругих полебанuй кристаллической решетки; а- усредненная скорость звука в кристаллическом теле;-число атомов в единице объема; kБNvnостолннал Бо.л.ьц.м.ана.-Такая температура достаточна для возбуждения почти всех возможныхформ колебаний атомов в кристаллической решетке, когда справедливзакон Дюлонга- Пти для приходящейся на один атом теплоемкостиdv =3kБ при постоянном объеме.Используя функцию распределения Больцмана частиц по уровнямэнергии в виде 'ФБ(дr) = А.ехр( _п·~~r)), где А.
-коэффициентпропорциональности,*С82 ---дr'УоС8 ( )3П(дr)=-fiдr+-(дr)ro2f1+ ... ,(1.6)-внешняя сила, растягивающая линейную цепочку атомов; 6-уо3r ddп*\= - соо3оrr=ro(для большинства металлов 'Уо ~=1,5 ... 2,5), и усредняяотклонения дr от положения равновесия, для деформации линейнойцепочки атомов можно получить выражение[36]~= дr = _!_ (1+6] 1 )fi/C0 +(3+];):'YokБT/(roC8),тото1 + (3 + !) f 1где ] 1 = 'Yo!I/(roC0) и у;=(1 .7 )/t /(kБТС0 ). При fi =О темnературныйпоэффицuент лшtейного расширенu.н"'(Т)~о_-д~1дТ !I=O_-3-уоkБ.2'roC8(1.8)для металлов а~Т) ""10- 5 1/К.При отсутствии теплового воздействия (Тходом из(1.7)= f1/(roC0).--tО) предельным передля деформации~ цепочки атомов найдем ~о= дr/ro=В случае изотермического сжатия кристалла с кубической1.5.Твердое кристаллическое тело47решеткой гидростатичесх:им давдеиием р внешняя сила, действующаяна каждую линейную цепочку,fi= -pr5, а относительное изменениеобъема V кристалла при малых деформациях дV/V = Зсо = -3pro/C0.Тогда модудь объемпой упругости при изотермичесх:ом процессе деформирования хо = -pj(дVjV) = C j(3ro) и вместо0(Т)аоТаким образом,={1.8)получим"fokв{1.9)-2-r0xoС0 и 'Уо можно выразить через макроскопическиехарактеристики кристаллического материала ха и а~Т), измеряемыеэкспериментально.Представимfiатомов и приведемчерез условное папряжение u ={1.7)с учетом{1.9)f1/r5в цепочкеи выражения для хо к виду...!!__ +а(Т)т(1 +'У~)(1+2-уоо-)0хо Зхо271+ "(ОО'(1+'У•)хо9(1.10)с=~--~~~~~-~~--~где "'~* = (о-{.;;о) • При2а0uТ=!=О из (1.10) следует, что зависимость а(Т) == дс/дТ от u и Т довольно слабая, так как величины ujx0 и а~т)Тодного порядка {lo- 3 .•• 10- 2 ), но а(Т) с ростом Т несколько увели-чивается.
В линейном приближении а(Т) ~ а~Т) (1- "foU / хо), т. е. прирастяжении а(Т) уменьшается, а при сжатии возрастает. Однако приiul/ хо < 10- 2 температурную деформацию можно рассматривать независимо от деформации, вызванной механическим воздействием.Величина, обратная производной дс/дu, характеризует относительное изменение жесткости кристаллического материала. Дифференцируя (1.10) по u, в линейном приближении получим xfxo = (дсjдu)- 1 ~~ 1- 2'You / хо- З"fоа~т)Т. Таким образом, жесткость материала уменьшается при растяжении и увеличивается при сжатии, но абсолютноеизменение дх= х- хо = -2"foU модуля объемнойупругости довольномало по сравнению с х0 .
Для большинства металлов относительное изменение объема при нагреве от Т ~ О до температуры плавления Тплсоставляет дпл За~Т)Тпл ~ {5 ... 7) ·10- 2 [155], т. е. изменение xj хо во=всем интервале О< Т< Тплтемператур оценивается в10 ... 15%.Однако модудь сдвига и модудь прододьиой упругости могут изменятьсяболее существенно, так как с повышением температуры изменяетсях:оэффициеит Пуассонаv,роль которого не может быть учтена прирассмотрении взаимодействия атомов в линейной цепочке.1.
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ48При растяжении цепочки атомов зависимость силыr является немонотонной (см. рис. 1.6). Приf=dП*(r)drи дf /ддr=dП*(дr)dr1fi=О из(дr) 2fот расстояния(1.6)следует, что= Содr- 3f'oC0 -ro- = C0 ro(1- 3f'oe)e/1=О000= С0 (1- 6/'ое), т. е. деформации е*= r*/ro -1 = 1/(6/'о)соответствует максимальное значениеf* = C 0ro/(12'Yo). Условное напряжение, разрывающее цепочку атомов, а*= f*/rб = хо/(4/'о), т.
е. его значение примерно на порядок ниже значения хо. Величина З'Уоехарактеризует отклонение зависимостиf (е)от линейной.тельно, .модуль продольиой упругости с погрешностью досчитать постоянным, если jej ~ 0,01/(З'Уо) ~ 10- 3 .=е/(2е*)Следова1%можноВзаимодействие атомов в пространствеиной кристаллической решетке более сложное, чем в линейной цепочке. В частности, именнопространствеиным взаимодействием атомов можно объяснить поперечное сужение материала при растяжении. Например, в случае кубической решетки (ем. рис.1.5, а иб) увеличение расстояния между атомамив направлении растяжения приводит к возникновению сил притяженияне только между атомами в линейных цепочках, но и между диагонально расположенными атомами (рис.1.7, а и 6).Поэтому в соответствии сусловием равновесия каждого атома в поперечном направлении должнывозникнуть силы отталкивания, что возможно, когда атомы сближаются в этом направлении, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
