Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е. происходит поперечное сужение материала.[[]6аРис.1.7Строгий расчет пространствеиного взаимодействия атомов в кристаллической решетке возможен в предположении, что силы их взаимодействия центральные, а колебания около положения равновесиягармонические. Первое предположение означает, что силы притяженияи отталкивания между атомами действуют по направлениям, соединяющим точки, которые соответствуют положениям равновесия. Однакодля металлов это предположение является довольно грубым.
Поэтомурезультаты расчета часто не отвечают экспериментальным данным.Учет ангармонизма колебаний атомов и отклонения их от линии, соответствующей положению равновесия, приводит к лучшему согласиюмежду теорией и экспериментом, но соответствующие .мате.матиче-1.6.Термаупругие и теплофизические свойства кристалловс-х;ие .моде.11и существенно усложняются.49Практически более целесообразным для описания упругого поведения твердого кристаллическоготела при механическом воздействии является экспериментальное определение совокупности необходимых характеристик. Реакцию кристаллического материала на тепловые воздействия также можно описать спомощью экспериментально определенных теплоемкости, температурного коэффициента линейного расширения и теплопроводности.1.6.Термоупругие и теплофизическиесвойства кристалловБольшинство твердых тел с кристаллической структурой являютсяполикристаллическими, т.
е. состоят из множества отдельных хаотически ориентированных мелких кристаллических зерен. Отдельно взятоекристаллическоезерновтвердомполикристаллическомтелеможнорассматривать как кристалл с однородной по его объему и определенноориентированной в пространстве -х;рисmа.!!.!!и'Ч.ес-х;ой решет-х;ой.Свойства и ориентация отдельных зерен, их форма и размеры влияют наформирование усредненных характеристик поликристаллического материала (см.5.4).Каждый атом в кристаллической решетке взаимодействует в основном лишь со с ближайшими соседними атомами, расположенными нарасстоянии порядка 10- 10 м. Механика сn.t~ошной среды (в частности, теория упругости) оперирует заведомо большими расстояниями.Это дает возможность пренебречь радиусом действия межатомных сили считать, что силы, действующие на какую-либо часть кристалласо стороны окружающих частей, передаются непосредственно черезточки, лежащие на поверхности раздела.Такое допущение позволяет ввести понятие вenmopa н.аnр.нжен.и.н как векторной суммы силвзаимодействия между частями кристалла, приходящейся на единицуплощади поверхности раздела.Если в кристалле выделить поверхностьрис.1.8, а),то через фиксированную точку М ЕS(штриховая линия наS(рис.1.8, б)на этой поверхности можно провести множество плоскостей, каждой из которыхв окрестности данной точки будет соответствовать свой вектор р(М)напряжения.
ПроекцииPi(M)этого вектора на осисисте.мы -х;оординат при помощинентыaji(M) (i, j = 1, 2, 3)(3.47)тензора наnряженийкосинусы nj единичного вектораnOxinря.моуго.!!ьнойможно выразить через -х;о.мnоuинаправляющиенормали к этой площадке.Механическое воздействие на кристалл вызывает искажение конфигурации кристаллической решетки. При умеренной интенсивности1. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ50баРис.1.8такого воздействия искажения решетки носят упругий характер, т.
е.ее конфигурация восстанавливается после снятия нагрузки. Возникающие искажения в окрестности каждой точки М ЕSможно описать припомощи теизора е .ма.ttой дефор.мшции с компонентами €ij (М). Тепловоевоздействие на кристалл также вызывает искажение решетки, описываемое компонентами е~Г = а~Г дТ(М) тензора е(Т) те.мпературнойдефор.мации, в линейном приближении пропорциональными отклонениям дТ(М) =Т( М)- То температуры Т( М) в точке М ЕS от температуры То естественного состо.ннUJI, в котором решетка не имеетискажений, а коэффициентами пропорциональности являются компоненты a~J) тензора а(Т) х:оэффициентов те.мпературной дефор.мации.Благодаря взаимодействию атомов в пространствеиной кристаллической решетке каждая компонента тензора напряжений может влиятьна каждую компоненту тензора деформации, причем связь между компонентами CТij,fijи €~Г зависит от свойств кристалла и структурыего кристаллической решетки.
В предположении линейно-упругого поведения кристалла эту связь представляют в виде, аналогичном(5.2)для дuнейной анизотропной тер.моупругой среды, но записанном вх:ристамографи'Чесх:их ос.нх Ох~ решетки рассматриваемого кристалла (здесь и далее использовано пpaвU.tto су.м,.м,ированUJI по одинах:овъшиндех:са.м):€klгдеSklmn -(Т)л= S klmnCТmn + akl и.Т,k, l, т, п = 1, 2, 3,(1.11)компоненты тензора § х:оэффициентов подат.ttивости(1.11) яв~ется равенствокристалла. Обратным по отношению кCТkl =ЗдесьCklmn -Cklmn(emn-а[Jдт).(1.12)компоненты тензора С х:оэффициентов упругостикристалла, причем(1.13)1.6.
Термаупругие и теплофизические свойства кристаллов51где Iklij- компоненты едшtU'Ч1Юго теюора l4 четвертого раига; бklси.мвол Кроие-к:ера.Тензоры с компонентами a[J иSklmnют термаупругие свойства кристалла.кристалла связанос(или Cklmп) характеризуИзменение Ь..Т температурызатратами энергии,которая перераспределяетсямежду колеблющимися атомами в кристаллической решетке. Поглощаемая единицей объема энергия равна сvЬ..Т, гдеcv -объе.миаятеплое.м-к:ость, значение которой, строго говоря, зависит от условиймеханического воздействия на кристалл (см.распределении температуры Т(М)(М ЕV)5.1).При неоднородномв объемеVкристаллапутем обмена энергией между колеблющимися атомами происходитперенос тепловой энергии из областей с более высркой температуройв области с более низкой температурой.
Интенсивность этого обменахарактеризуют соотношением_(Т) дТQk - - лkl,,8 xlилиq =_).(Т). "VT,(1.14)где Qk- проекции на оси Ох~ вектора q плотиости теплового пото-к:а;т-тЛkl"V --компоненты mе"Н.Зора menлonpoвoдн.ocmu ..Хкристалла;дифферею.J.,иальиый оператор Га.мильтоиа (действие этого оператора на функцию, описывающую распределение температуры, определяет градuен.m me.м.nepamypы "VT с проекциями 8Т / дх~).
Объемнаятеплоемкость и тензор теплопроводности характеризуют теплофизические свойства кристалла.Из(3.12) следует симметричность тензора €, что, в свою очередь,(1.11), приводит к симметричности теизора второго раигаа<т)' который можно привести к главиьш осям, и которому можносогласнопоставитьвсоответствиедиагональнуюматрицутретьегопорядка.Некоторые из главиых зиачеиий теизора а<т) могут быть отрицательными, но равный сумме трех главных значений те.мпературиый-к:оэффициеит объе.миого расширеиия а~) > О. У кристаллов с объемноцентрированной (ОЦК) и гранецентрированной (ГЦК) кубическими кристаллическими решетками или с гексагональной плотноупакованной (ГПУ) решеткой главные оси совпадают с ортогональнымикристаллографическими осями (см.
рис.1.5). Для кристаллов с кубической решеткой а<т) является шаровьш теизоро.м, поскольку направления вдоль этих осей равноценны. Поэтому кристаллы с ОЦКи ГЦК-решетками обладают изотрор,ией по отношению к те.мпературиой дефор.мации.
У кристаллов с ГПУ-решеткой главное значение,соответствующее оси Ох3, в общем случае отлично от двух остальных1. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ52равных между собой главных значений, что гарантирует изотропиюэтих кристаллов лишь по отношению к направлениям, параллельнымоснованию элементарной ячейки. При изменении температуры сфера,выделенная в кристалле, в случае ОЦК- и ГЦК-решеток сохраняетсвою форму, а в случае ГПУ-решетки переходит в эллипсоид вращенияотносительно оси Ох~.~(Т)>.Тензор второго рангатакже является симметричным, так какпри сопоставлении этого тензора с матрицей А третьего порядка, используя(1.14)и свойство -х:о.м..м.утативности с-х:а.лярного произведения, для произвольнога вектора \!Т можно записать(\!Т) т А \!Т= -('VТ)т q = -qт\1Т =(А \1Т)т\1Т =(\!Т) т Ат\1Т,где (-)т -си.м.вод транспонирования.
Сравнивая левую и правую частиэтого равенства, заключаем, что А= Аосях структура тензоров~(Т)>.и а(Т)т,(Т)т. е. >..kl=(Т)>.. 1k . В главныху кристаллов с ОЦК-, ГЦК-и ГПУ-решетками одинакова, но все главные значения тензораположительны в силу второго за-х:она тер.м.одина.м.и-х:и (см.---(т)>.4.3).Тензоры четвертого ранга § и С имеют по 81 компоненте.
Нотак как тензоры U, е И а(Т) симметричны, ТО ЧИСЛО независимыхкомпонент каждого из этих тензоров сокращается до 36, посколькуперестановка индексов в первой и второй паре не изменяет значениякомпоненты. Так, для тензора С имеемCijmn= Cjimn = Cijnm, чтопозволяет сопоставить его с матрицей С шестого порядка с элементами= Cijmn, р, q = 1, 6. Соответствие индексов этих элементов индексамCpqкомпонент cijmn определено следующим образом:ijилирилиmn23 или 32q413или31125или216Такому представлению тензора С отвечает представление тензораи в виде вектора и = (ан 0"22 0"33 0"23 0"31 0"12) т' тензора е в видевектора € = (€11 €22 €33 2€23 2€31 2€12)т И ТеНЗОра а(Т) В видевектора а(Т)(1.12)-(а(Т)а(Т)1122 а(Т)33 2а(Т)23 2а(Т)31 2а(Т))т12 .
Тогда вместозапишем в матричной форме...и= С (€- а(Т) Ь..Т).При отсутствии температурной деформации, используя(1.15)(1.15)исвойства коммутатявности скалярного произведения для произвольного вектора €, можно записать €тС€= gти = ит€ = (С€)т€ = gтСт€.1. б.Термаупругие и теплофизические свойства кристаллов53Из сопоставления левой и правой частей этого равенства следует,что С =С т, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
