Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Поэтому приматематическом моделировании ТО необходимо учитывать как математическую,так и содержательную сторону задачи,связывая однусдругой.Если не принять во внимание относительность соответствия ММреальному ТО, то это может привести к ошибкам, связанным с приписыванием ТО свойств его ММ[93].В этом отношении характерныслова русского математика, механика и кораблестроителя А.Н. Крылова(1863-1945):<<Сколько бы ни было точно математическое решение,оно не может быть точнее тех приближенных предпосылок, на коихоно основано. Об этом часто забывают, делают вначале какое-нибудьгрубое приближенное предположение или допущение, часто даже неоговорив таковое, а затем придают полученной формуле гораздо большее доверие, нежели она заслуживает>>.Отмеченные особенности дают повод для того, чтобы еще раз подчеркнуть важность умения согласовывать этап формирования РС сэтапом построения ММ изучаемого ТО (этапыIиIIна рис.
В.1). Этоумение студенты обычно приобретают при выполнении междисциплинарных курсовых работ и проектов, при самостоятельном решенииВВЕДЕНИЕ26прикладных математических задач, имеющих конкретное техническоесодержание. Для формирования таких навыков необходимы специальные учебные пособия, в которых на примерах ТО, изучаемых в инженерных дисциплинах, была бы детально и аргументированно раскрытавзаимная связь рассматриваемых этапов. В качестве примера такогопособия можно назвать выдержавшую пять изданий книгу В.И.
Феодосьева[144],содержание и методическое значение которой для углубленного понимания особенностей математического моделирования ТОсущественно шире ее названия.Акцент на взаимной связи этапов формирования РС и построенияММ исследуемого ТО не противоречит, а дополняет в.ьщвинутый и обоснованный А.А. Самарским и его сотрудникамиметодологический[126]императив- совершенствование триады <<модель- алгоритм- программа>> и ее внедрение в современные информационные технологии.
Вэтой триаде основное внимание уделено проблемам анализа построенных ММ методами вычислительной математики при помощи средстввычислительной техники (этапыIVиVна рис. В.1). Подчеркнуто,что изолирование этапов, связанных с построением ММ или разработкой алгоритмов и пакетов программ, как и обучение выполнению этихэтапов по отдельности,не гарантирует эффективное использованиепреимуществ математического моделирования.
Наличие современныхЭВМ само по себе еще не решает проблему. Необходимо <<интеллектуальное ядро» вычислительной техники, которым является ее математическое обеспечение, составляющее, по оценкам, не менее80%общейстоимости разработки информационных технологий.Удобства, предоставляемые программным обеспечением современных ЭВМ их пользователям, часто приводят к стремлению обратитьсяпри количественном анализе ММ к существующим и постоянно совершенствуемым универсальным пакетам типаMathcad [109], Matlab ит.
п. Более того, универсальность ММ и формирование банков типовыхММ позволяют создавать программные комплексы типаилиANSYS,NASTRANв которые исходная информация вводится даже не в видеММ, а в виде РС изучаемого ТО.Однако метод, который годится для решени~ многих стандартныхзадач, часто не является наилучшим при решении конкретной задачи,особенно нестандартной, а нередко и вообще не применим. В инженерной практике решать приходится в основном нестандартные задачи,потому что стандартные почти все решены или могут быть решеныбез особых творческих усилий. При решении новых и сложных задач,не имеющих близких аналогов, путь формального обращения к универсальнымпакетамипрограммнымкомплексамможетпривестикВ.З. Формы представления математических моделей27получению результатов, которые не удастся интерпретировать применительно к рассматриваемому ТО.
В таких случаях анализ ММ нужностроить на умелом сочетании качественных оценок, аналитических методов и применения ЭВМ, помня, что цель расчетов -не числа, ,апонимание[150].Все это говорит о том, что ЭВМ, освобождая нас отмногих забот и обязанностей, не освобождает во всяком случае от двухиз нихслить>>- от[143].необходимости <<владеть математикой и творчески мыВ.З. Формы представленияматематических моделейПри математическом моделировании достаточно сложного техн.и'Чес-х:ого объе-х:та (ТО) описать его поведение одной .мате.маmu'Чес-х:ой.моделью (ММ), как правило, не удается, а если такая ММ и была быпостроена, то она оказалась бы слишком сложной для количественногоанализа.
Поэтому к таким ТО обычно применяют npuн:цun депо.мnозuцuu. Он состоит в условном разбиении ТО на отдельные болеепростые блоки и элементы, допускающие их независимое исследованиес последующим учетом взаимного влияния блоков и элементов другна друга. В свою очередь, принцип декомпозиции можно применитьи к каждому выделенному блоку вплоть до уровня довольно простыхэлементов.
В таком случае возникает иерархия ММ связанных междусобой блоков и элементов.Иерархические уровни выделяют и для отдельных типов ММ. Например, среди сmрупmурны.х ММ ТО, отображающих связи междусоставляющими этот объект элементами и его геометрические характеристики, к более высокому уровню иерархии относят топологическиеММ, а к более низкому уровню, характерному большей детализациейТО,- геометрические ММ[99].Иерархические уровни фунпцuона.ttьных ММ, описывающих происходящие в ТО механические, физические, химические или информационные процессы, отражают степеньдетализации описания этих процессов. С этой точки зрения обычно выделяют два основных уровняпервогоуровняописывают-макро- и микроуровеньпроцессывсистемахсМодели[99].сосредоточенными параметрами, т.
е. когда pac'Чem'l-ta.н схе.ма ТО представляет собойдuспреmную cucme.мy, а модели второго уровня-в системах с распределенными параметрами (в понmuнуа.ttьны.х cucme.мax).Если состояние дискретной системы изменяется во времениt,то длянее наиболее распространенной фор.мой представления ММ является дuфференцuа.ttьна.н, содержащая обыкновенное дифференциальноеВВЕДЕНИЕ28уравнение (ОДУ) или систему таких уравнений в сочетании с заданными на'ЧаJ&ьными усо~&ови.вми, определяющими состояние этой системыt 0 , принимаемый за начальный. Искомыми переменными в таких ММ будут зависящие от t параметрыв некоторый момент временидискретной системы, характеризующие состояние ТО (например, перемещения, скорости и ускорения элементов механических устройств, атакже приложеиные к этим элементам силы и моменты; температура итепловые потоки в тепловых системах; давление и расход жидкости илигаза в гидравлических и газодинамических системах; напряжение и сила тока в электрических цепях и т.
п.). В некоторых случаях ММ махроуровня удается представить в интеграо~&ьной форме, используя одиниз вариационных nринциnов (например, приицип Га.м.и.л.ьтоиаОстроградс"..ого применительно к механическим системам (см.2.6)).Если эволюцию ТО определяет его состояние не только в текущиймомент времениt,но и в некоторый предшествующий моментt- t',то ММ макроуровня включает ОДУ вида u(t) = f(t,u(t),u(t-t')) илиu(t) = f(t,u(t),u(t- t'),u(t- t')) относительно искомой функции u(t),где й= dujdt. Такие ОДУ называют уравнениями запаздывающего инейтрального типа соответственно и относят к дифференциао~&ьнофунпцtюнао~&ьным уравнени.вм (ДФУ)[93](или к дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом).
Запаздывающая реакция ТО на изменение своего состояния может определяться более чемодним промежутком времениt - t'.Тогда ДФУ будет включать неодно, а несколько дискретных запаздываний. В более общем случаезапаздывание может быть непрерывным во времени, что приводит,например, для линейной ММ к интегро-дифференциао~&ьному уравнению (ИДУ) видаJtu(t)=K(t,t')u(t')dt'+f(t),t~to.toЗаданную функциюK(t, t')называют ядром этого ИДУ, а о рассматриваемом ТО говорят, что он обладает памятью, поскольку его эволюциязависит от всей предыстории изменения состояния ТО.Когда состояние дискретной системы можпо считать не изменяющимся во времени, ее ММ будет включать лишь конечное (в общемслучае нелинейное) уравнение или систему таких уравнений (в частности, систему линейных алгебраических уравнений- СЛАУ).
Если длярассматриваемого ТО удается выделить поддающееся количественной характеристике некоторое важное свойство (надежность, долговечность, массу, стоимость, какой-либо параметр, определяющий качествоТО) или сочетание таких свойств и при помощи действительной функ-В.З. Формы представления математических моделейцииустановитьихсвязьспараметрами,определяющими29состояниеТО, то говорят об оптимизации ТО по критерию, выражаемому этойфункцией. Ее называют цедевой фунпцией, поскольку ее значенияхарактеризуют меру (или степень) достижения определенной цели совершенствования ТО в соответствии с выбранным критерием. В силуограниченности располагаемых ресурсов в реальной ситуации имеютсмысл лишь те экстремальные значения целевой функции, которые достигаются в области возможного изменения параметров ТО, обычноограниченной системой неравенств.Эти неравенства вместе с цел~вой функцией и ММ ТО в виде конечного нелинейнаго уравнения илисистем таких уравнений· входят в математическую формулировку задачи оптимизации ТО по выбранному критерию, называемой (в общемслучае) задачей нео~~инейного nрогра.ч.мировани.н[6].В частномслучае линейной ММ в виде СЛАУ, линейной целевой функции и линейных перавеяств говорят о задаче дuнейного nрогра.м.мировани.н.К таким задачам обычно приходят пр~ рассмотрении проблем технико-экономического содержания.
Задачу оптимизации ТО, описываемогоММ, включающей время, относят к классу задач оптимального управления[19].Дифференциальная форма ММ также характерна и для континуальных систем. В общем случае эта форма включает дифференциальноеуравнение с частными производными (или систему таких уравнений) сзаданными начальными и граничными усдови.нми (последние определяют условия взаимодействия системы с окружающей средой награницах пространствеиной области, конфигурация которой соответствует рассматриваемому ТО). Начальные и граничные условия объединяют общим термином праевые усо~~ови.н.
Эти условия входят вматематическую формулировку праевой задачи для дифференциальных уравнений математической физики[85].Среди ММ микроуровнявыделяют одномерные, двумерные и mрежмерные ММ, если искомые параметры ТО зависят от одной, двух и трех пространствеиныхкоординат соответственно. Два последних типа ММ являются многомерными ММ. Одномерную ММ микроуровня, искомые переменвыев которой не зависят от времени, можно представить в виде системы ОДУ с заданными граничными условиями (в простейшем случаеодного искомого переменнога такая ММ включает лишь одно ОДУ играничные условия).Так как краевой задаче можно поставить в соответствие интегральную формулировку[21],то и ММ микроуровня также может бытьпредставлена в интегральной форме.
При определенных условиях этуформу удается привести к вариационной форме ММ, содержащейВВЕДЕНИЕ30фун:~циона.л., который допустимо рассматривать на пекотором множестве функций, включающем искомую функцию, обращающую в нульвариацию фующиона.л.а, т. е. являющуюся его стационарной точх:ой.Построение функдионала и соответствующей ему вариационнойформы ММ микроуровня обычно основано на пекотором содержательном с физической точки зрения вариационном принциле механики илиэлектродинамики сплошной среды (например, на принциле минимумапотенциальной энергии континуальной системы в положении равновесия или на принциле минимума времени прохождения светового лучамежду двумя точками оптически неоднородной среды).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
