Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В приложении П9.2 приведена .гогическая схема вычислений взаимного спектралы ого анализа. Нормировка. Иногда при изучении корреляции двух рядов с различными мас|нтабамн измерения полезно нх предвар|ысльно нормировать так, чтобы получались выборочные оценки корреля- 1(нй и нормирсюанных спектров. Формулы при этом останутся теми же самыми, сслн заменить ковариацнп на корреляции. Отметим, впрочем, что взаимный амплитудный спектр уже не будет иметь смысла.
1(орх!ированныс выборочные оценки корреляций получаются из выборочных оценок ковариаций по формулам с! (и) с (О) (9.3.1 3) '|! ' си (1!) (9.3.14) 1' с„(О) с„(О) 9,3.2. Некоторые численные примеры взаимного спектрального анализа Детали вычислений. В этом разделе приводятся численные примеры взаимного спектрального анализа искусственнь!х двумерных временных рядов с нзвсстнымн спектрами.
Мы сравним теоретические спектры н сглаженные выборочные оценки спектра когерентпостп (9.3.12) и фазового спектра (9.3.11). Влияние ширины потосы частот окна на дисперсию сглаженных выборочных оценок мы проследим, сравнивая теоретические спектры с выборочными оценками, сосчитанными по реализациям двумерных временных рядов. Во всех численных примерах юо!о раздела для гглаживагп|я используется окно Тычки. Лнало|н|п!ым образом мы исследуем смещение, вычисляя средний сглаженный коспектр и квадратурный спектр 1 — ! А|а (0)+ 2 ~ 7 |а(й) и! (й) соз 2п))е н=! (9.3.15) О+2х~мф„(й)ш(й)з!п2л!л, 0(~! и= ! етхм (1') = 2 Ч„У) =2 а также средние сглаженные автоспектры 1'||(!), Гм(!). Из пнх получаются средний сглаженный фазовый спектр и спектр коге- рензности по формулам ф|а()) =-агс!ц à — " 1, [ л|2 (!) 1 Л!а (!) + 'Г, Е Гн ЕГ„О) (9.3.16) Кроме того, вь~числяются сглаженнь~е выборочные взаимные спектральные оценки Е! ()), О|,(7), Р|а(!) и К'„(!) по формулам (9.3.8) — (9.3.
12) . Два независимых процесса авторегрессии первого порядка (а! = — 0,9). Первыми процессами, которые мы рассмотрим, являляются два независимых процесса авторегресспи первого порядка с а! = — 0,9, 1ь! = 100. Взаимную корреляционную функцию этих процессов чы оценивали в равд. 8.2.!. Теоретический и средний сглаженный спектры когсрснтностн этого двумерного процесса то. ждественно равны нулю, а теоретический фазовый спектр нс определс~.
Поэтому мы не будем сравнивать теоретический и средние сглаженные спектры. Основная цель этого прнмера— сравнить теоретический спектр когерентностн, который тождественно равен нулк|, с выборочными оценками когерснтности дтя реализаций двух рядов по 100 членов в каждой. На рис. 9.4 показаны сглаженные выборочные оценки спектра когерентности прн Е = 4, 8, !б и 40. Рис. 9.4 демонстрирует очень отчетливо влияние стягивания окна на сглая!енную выборочную оценку когерентности, теоретическое значение которой в этом примере равно нулю. При Е = 4 н 8 выборочные спектры достаточно плавны и близки к нулю, но с ростом Е (и, следовательно, с уменьшением полосы частот окна) появляются очень большие значения когерентности.
В равд. 9.1,3 это частично объясняется тем. что дисперсия оценки увеличивается с уменынением полосы частот окна. Кроме того, как показано Оцениеание вэаианых спектров 149 кг1 Панаса чагптот анна Фб ~ — /б — н ов о, н и и 1 Осиоса часыотп анни й н 06' о,в 05 07 об о ог оз ог О,г ог Ог о Оггб агб ОЗ75 Об я вц Рис, 9.4. Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности двух некор- релированных процессов авторегрессии первого порядка. о,ггб огб о,з75 05 б ггг Р ис, 9.5, Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности двух некор- релированных рядов до и после фильтрации.
в разд. 9.1.2, при уменьшении полосы частот окна сглаженный спектр когерентностн стремится к 1 на всех частотах, так как вы- борочная оценка спектра когерентности по несглаженным данным тождественно равна ! на всех частотах. о отгб яб 0575 05 и гц Р и с. 9.6. Средние сглаженные спектры когерентности двумерного процесса авторегрессии 19.1.20). На рнс. 9.8 показана сглаженная выборочная оценка квадрата когерентности К', при Е = 16 для исходных н профильтрованных рядов (способ фильтрации описан в равд.
8.2.2). Мы видим, что фильтрация лишь незначительно улучшила выборочную оценку когерентности. Этот вывод следует сравнить с полученным в равд. 8.2.2 выводом о том, что фильтрация может привести к существенному улучшению выборочных оценок взаимной корреляцион. ной функции. Это отличие выборочной оценки спектра когереитности будет объяснено в разд. 9.3.3, Ос)вссиванае взаплвзи спектров 180 Глава 9 Р и с. 0.8, Выборочиые автои взаимаые аоррезпипи двумерного проиесса авторегрессиа (8.!.20) (ЛС = !00). Двумерный процесс авторегрессии.
Второй из рассматриваемых нами процессов — двумерный процесс авторесрессии (8.1.20): Хсс — 0 6Х>с-с+ 0 5Хм-с = Хсс Х с 0,4Хсс-с 0,5Хзс-с = Узс, где Лсс, Лгс — независимые белые шумы. Р и с. 0.7. Средине сгзажеивые фазовые спектры двумерного процесса авто. регрессии (8.!.20). Теоретические спектр когерентности и фазовьш спектр даются формулами (8.4.19) и (8.4.20) соответственно.
Квадрат тсоретиче. ского спектра когсрентпости х'з изображен иа рис. 9.6 вместе со средними сглаженными спектрами косерентности х'-, при Ь = 4, 8 сз и 16. Видно, что при Ь = 4 и 8 имеется значительное смещение, причем пик смещен при 7. = 4 приблизительно иа 0,1 гц, а при 7- = 8 на 0,05 гЧ. При Е = 16 наблюдается хорошее согласие между х';, и х',, а при Л = 32 теоретический и сглаженный спектры уже почти неразличимы.
Следовательно, для этого процесса оценка спектра когерентности имела бы достаточно малое смещение при 5=16, На рис. 9.7 показаны теоретический и средине сглаженные фазовые спектры процесса (8.1.20) при Л = 4, 8 и 16. Превосходное согласие между ф„и грсз получается при Ь = 8, а при с'. = 16 средний сглаженный фазовый спектр уже неотличим от тсорстическо о. Поэтомч для оценки фа- 0 (/с) зового спектра потребова- со лось бы еще меньшее значение Е, чем для оценки спектра когерентности. оит В табл . П9 . 1 приведе- о ° ны значения выборочных авто- и взаимной корре- во ляционных функций, о со л> считанные по реализации с)г процесса (8.1.20) из ст' = 'гзЮ = 100 членов. Эти функции показаны на рис. 9.8.
Исходссые значения для этих рядов взяты из па табл. П8.1. На рис. 9.9 изображены теоретиче- го ский спектр когерентно- со го в сти и его выборочные (в) оценки, сосчитанные по этим корреляционным функциям. Выборочная з оценка КО при Е = 4 значительно отклоняется от теоретического спектра, так >ке как и соответствующий средний сглаженный спектр хсз па рис. 9.6. Вдвое большее значение Е = 8 приводит к заметному изменению выборочной оценки К-,',„однако дальнейшее увеличение с' до 16 уже не дает существенных изменений.
Поэтому в данном случае при использовании метода стягивания окна, описанного в равд. 7.2,4, мо кно было бы остановиться на выборочной оценке, соответствующей значению с'. = 16 илп, возможно, даже Е = 12. Отметим, что при 7. = 16 наблсодается весьма хорошее согласие между К „и и';, Однако дальнейшее увеличение с. до 32 приводит к сильным осцилляциям К-;,, Р32 Глава 9 163 Оиенинание вза»»инык спектров ов ог о» Теоретический фазовый спектр и его сглаженные выборочные оценки изображены на рис. 9.10 при Е = 4, 8 и 16. Метод стягивания окна показывает, что при Ь |8 изменения фазы незначительны, а при 7.
= 16 в выборочной оценке появля»отея ложные пики. Поэтому можно было бы, по-видимому, взять выборочную оценку о оггв цгв овгз цв б еи Р и с. 9.9, Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности двумерного процесса авторегресии (8.1.20) (»У 100). при Е = 8. Из рпс. 9.7 мы видим, что при этом наблюдается хорошее согласие теоретического и среднего сглаженного фазовых спектров в диапазоне от 0 до 0,4 гц. Для частот, больших 0,4 гц, кривая выборочных оценок уходит вниз, в то время как теоретический спектр идет вверх. Из рис. 9.9 видно, что частота ) = 0,4 гц соответствует точке, где когерентность снижается до малой величины.
Взяв для этой области частот среднее значение квадрата коэффициента когсрентности 0,1, находим из рис. 9.3, что 95% -ный доверительный интервал для фазы при Ь = 4 равен приблизительно ч 30'. Шум, пропущенный через линейную систему с задержкой. Третьим пз рассматриваемых нами процессов является процесс (8.1.22), где Хз,— выход линейной системы первого порядка с задержкой иа 10 единиц времени Хт» = 0,5Хе»» + 2Хп-»о + 1». В качестве входного процесса Х»» берется процесс авторегрессии первого порядка Хи =0,6Хп, +Х»». Шум У» является процессом авторегрессии первого порядка У» = 0,5У»» + Хз», и Х»», Ят» — два независимых белых шума. Теоретические корреляционные функции этого процесса приведены в равд. 8.1.4. // Р ис.
9.10. Сглаженные выборочные оценки фазового спектра двумерного про- цесса авторегрессии (8.!.20) (дс 100). Теоретические спектры когерентности н фазы, полученные с по- мощью методов, излогкенных в разд. 8.4.3, имеют вид б — 4 соз 2п) 6,36 — 6,2 сов 2п) ' »р»г(Г) = агс1К (2 2 1~ — 20п(. Огзеиизание азанмнык спектров 155 -ггв' -гаво с)в вв ываз' -ггвр -гвво' йв йв гв гв гв ав Р и с. 9!3. Выборочные автои взаимные корреляции линейного ороцесса (8.1.22) (Дг = 100) .
07 йы Р и с, 9.! 1, Теоретический и средние сглаженные фазовые спектры линейаого процесса (8.1.22) (до выравнивания), а оггз цгз азы Чд В еи Р и с. 9.12. Теоретический н средние сглаженные спектры когерентностн линейного ноонесса 18.1.22) гло кыозко ~» Теоретигеский и средние сглаженные фазовые спектры этого линейного процесса показаны на рис. 9.11. ((ы видим, что хорошие оценки фазы можно получить, лигпь когда Ь =- 16 или по крайней мере Г. =!2, Теоретюгеский спектр когерентности и"-, построен на рис. 9.12 вместе со средними сглаженными спектрами когерентпостн й-', при й = 16, 24 и 32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
