Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 29
Текст из файла (страница 29)
зеп1гг па О. М., Сговз-врес1га! апа!уыв апд йе епипаиоп о1 Ппеаг ореп !оор 1гапв1ег йпснопв, СЬар1ег !3 о! Типе бспез, М. Новепыа11, ей зоьп Игдеу, )Чегн Уогй, 1963. 3. Н а14 А., 5(а1)в($са! ТЬеогу гч$(Ь Епя)пееппя Аррксанопв, лойп Иг)1еу, (Чечг Уогй, 1952, р. 609. (Русский перевод: Х а л ь д А„Математическая статистика с техническими приложениями, под. ред. Линника, НЛ, М., 1956.) 4. Сг га п яег С. Иг. з., зрес1га! Апа!увы о1 Есопогп(с Т)ке зепев, Рппсе1оп Оп!четы!у Ргеыя Рипсе1оп, $964.
5. А)г а!)ге Н., У а т в гпон с Ь$ У., Оп 1Ье в1аПМ!са! ев1ипа()оп о1 !геяиепсу. гевропве йпснопв, Апп. 1пвп 5(а1. Май., 14, ! (1962). 6. 51а п1 оп К. $4., Меавигегпеп1 о1 1игЬоаиегпа1ог 1гапв!ег йпс(!опз из(пя погпга1ореганпй ба!а, Ргос. !пвп Е1ес1г. Епигв„110, 11 (1963). ОЧенивание взаимных спектров 175 ПРИЛОЖЕНИЕ П93 КОВДРИЛЦИЯ ОЦЕНОК КОВЛРИАЦИОННОИ .ф~НКЦИИ В атом приложении выводится формула для ковариацни оценок ковариационной функции (8.2.3). Оценки коварнацнонной функции можно записать в симметричном виде (т-! и нв — х,(г' — 2)х(~г+ — ")а, -т~ (т.
О ]и)>т, Предполагается, что случайные процессы Х((7), ! = 1, 2, 3, 4, имеют следующие свойства: Е ]Х, (!)] = О, 1 = 1, 2, 3, 4, (П9.!.2) Соч]Х((!), Х((!+и)]=у(1(и), /=1, 2, 3, 4, (П9.1.3) — оо < и ( оо, 2)1 (~О ("~ (П9.1.7) и Соч]Х,(!) Х)(!+ и!), Х„(о) Х((о+ ие)] = ум(о — !) у((о — !+ из — и!)+ +ун(о — !+из)у)е(о — à — и!)+К(о — 7, ин ие), (П9.1,4) где К вЂ” четвертый совместный кумулянт. Взаимный спектр процессов х((() и х)(() определяется соотношениями Г„(7) = Х у„( ) -12и(и,(ц, ум(н) = Х Г()йе)еи(иМ (П9.1.6) Вывод формулы для ковариации.
Из (П9.1.1) н (П9.! 4) ковариация оценок со(из) и см(ие) равна Соч (с!1(и!), сы (из)] = (т-(и, 1)12 (т-(и, зц — Х Х Г"~ -'-"'.и') «( -"+"' и')+ -!Т-! и| 1)12 -(Т-! и, !)12 + уп ! 7о — ! + "' 2 " ) у(и (7о — ! — "' 2 "' ) + К (о — 1, н„н Замена переменных о — ! = г, ! = з преобразует область интегрирования из прямоугольника в параллелограмм, как показано иа рис. 5.!1. Этот параллелограмм можно разделить на 3 области интегрирования, которые будем обозначать (1), (2) и (3). В результате формулу (П9.1.7) в случае ]цз] > ]и(] можно переписать в виде где у()=у(.( — ', ')у ( + ' ')+ + у, ( + "', "' ) у ~ — и'+, и' )+К(, „,).
Интегрирование (П9.1.8) по з и приведение подобных членов дают следующее выражение: С оч ]с; ! (н (), ем (нз)] = т' т" -т, е' ! з()(~-+)е — и ! з()(1 — ф)е). (пэ~е) — т' -т" где 1и,(+1,) 2 Ти= )и'! )и') 2 При ]и2] > ]ие] в формуле (П9.1.9) нужно положить Т" = = (]и(! — ]не])72. Упрощение формулы. Оценим теперь, какой вклад в выражение (П9.1.9) дает член с четвертым кумулянтом К(г, иь ие).
Если процессы Х( гауссовские, то К в = О и полученное ниже приближенное выражение является точным. Для негауссовских случайных Соч (с(1 (и!), си! (нз)1 = (Т вЂ” ! и~ !.!.1 ие ж2 (Т-(и !)(2 — у(г)(7 Х (72+ (область (!)] ()и~( — (и, 1)Ф -(т-! и, зм П и11-1 и, ж2 1(Т-1 и, !)(21-е — у (г) дг Х ((з + [область (2)] -(1 и, 1-! и, 1)12 -Кт-(и~))Л)-и -(! и~( — 1и, 1))2 (т-!и, Зц — у(1.) ((г Х с(з, (область (3)] (П9.1.8) -!Т-((и,)е! и Ш21 -(т-! и, (лз ю76 Глава э Ою(еиююватюие вэаимн«юх спектров процессов, которые являются линейными и представляются в вйде (5.2.6), (5.2,7), вклад кумулянтного члена равен интегралу ~ К(., н,)[1-+(,'() Г..
-т С помощью (5.2.15) можно показать, что этот интеграл имеет порядок уп(и,)ум(иэ). Следовательно, вкладом этого члена в выражение (П9.1.9) можно пренебречь. Для больших Т членами порядка 1/72 также можно пренебречь, и (П9.1.9) сводится к ! Соч[с,ю(и,), свю(аа)[ = — [ у(г)ю(г= =-. 1~" [- '.') ["+ ' ')+ +уюю[г+ 2 )у!в(г — ' ' Цаюг. (П9.1.10) Если в (П9.1.10) положить ю = ! = й = ! = 1 и сделать замену г = в — (иэ — ию)72, то получится формула Бартлетта (5.3.22). В частности, при иэ = ию из этой формулы получаем Ъ'аг [си (и)[ = — [ у'н (г) ю(г.
(П9.1.11) Соч [Са (Гю), Сы (Г2)[ = т т =с („ю,ю-''"е. (.юю''~'"е~) -т -т т т [ Соч[с,ю(и), свю(аэ)[е ""ююм+ютиюаюиюю(иэ. (П9.1.12) С целью упрощения (П9.1,12) мы выведем выражение (П9.1,10) в другом виде. Ковариация спектральных оценок. Формулу для ковариации спектральных оценок С„([ю) и Схю(12) можно получить из предыдущих формул следующим образом: Другой вариант формулы для Соч[со (и,), см(иэ) [.
Из (П9.1.9) и (П9.1.6) получаем Соч [с;ю (и,), сы (иэ)[ = т т= —,', [т (т«Ю(с — ~п)л -та (тЮ,Ю(1 — ф)л.1= -т -т" — [ (Г 2(стю) Гюю(ютэ) ею юе е*юе-ю 'и -в ю+ т + Гюю(ст,) Г; (а ) еЮпи 'е' е'еЮ""'Юе' в') Х т х[т ( а(1 — —,Юл.— Т' ) -т' т" — (1 — ф) е ) ле,ле,. -т. Это выражение сводится к ! Г Г тГэ э'"2 а (Ыт + 02) Т' — э!ах и (Яю + Ыю! Т Ыю кэт где (Г) обозначает выражение в фигурных скобках из предыдущего равенства. Поскольку з!п'аТ' — з1п аТи=з(па(Т вЂ” (и, ()айна(Т вЂ” (а,(), то, делая замену Дю=Г+д, дэ=à — д, аюдю юуд2=2е(Гю(й, получаем тт 2 Г Г эюа2аГ(Т вЂ” (ию() эеа2а)(Т-(ию() )С[Гю20+а)Гюю([ — а)ею '" "'+ГюЯ+а)Г(Я-й)ею" ю'+"»Жю(й (П9.1.13) что и является другим вариантом выражения (П.9.1.9), дающим точный результат в случае гауссовских процессов.
Если [и,[ и [иэ[ малы, а Т велико, то интегрирование по Г в (П9.2.2) дает Соч[с,ю(и,), свю(иэ)) = — [ [Г, (а)ГГ ( — а)емпаю» — ю+Г (тт) Гм( — тт) еююпею +и») ю(а (П9.1.14) ма' 2аГГ ь (Г) так как — — > — при Т-» оа. (2а(т)2 27 178 Гвива 9 !)Ченивание вивиане!х евектаав 179 Подставляя (П9.1.!3) в (П9.!.12), получаем Соч [С!!(О), Сы(/2)] = т 21п2л1 !Т вЂ” ! и, 1) Мп2л/!Т вЂ” ! ав)) е ' "'+""'— Те / / 2л/ хл/ -т Х[Г1,(/+у)Г)!(/- )е' ""-"'+ „Г (/+ )Г (/ д)ЕМиа«! Ви !]Е//Е(ув/и! а!ив.
Меняя порядок интегрирования, собирая одинаковые члены и про. изводя некоторые упрощения, мы получаем Соч [См(/,), Сы(/2)] = ! ( 1,, плит (1! — х) в!лат (12+ х) т' 1 12! ! л(1,— х) л!12+х) мпиТ(1, + у) в!и иТ (1, — у) ! ( 1. ( ) вы лТ(1! — х) л О!+ У) л(12 — у) тв / !! л (11 — х) илиТ(12 — х) а! ( Г ! ) 2)ллТ(1!+У) в)лиг!12+У) ( (П9 ! !5) Х х /1 !2( — У л !1 ) У. Упрощение формулы. Формула (П9.!.!5) является точной для гауссовских процессов. Ее можно упростить, если спектры процессов приближенно равны константе в диапазоне от /! до /2, так как в этом случае члены Гси(/1) можно вынести за знак интеграла.
В результате для таких случайных процессов, которые имеют приблизительно постоянный спектр в диапазоне частот от /, до /2, мы получаем Г в!и иТ (1! + 1!) 92 Соч [Сн (/!), Св! (/2)] = 1,. (/,) Г), (- /,) [ Равенство (П.9.!.16) является точным для гауссовских белых шумов. В остальных случаях эта формула приближенная. Все полученные выше формулы применимы и в дискретном случае, если члены Г(/) умножить на Л и проводить интегрирование по частоте от — 1/2Л до 1/2Л. Так, формула (П9.!.16) в дискретном случае переходит в Г Мп лЛ'Л (1! + 1.) 12 Соч [С1! (/!), Сх! (/2)] Л2Гм (/!) н ( /!) [,ч 11 1 ] + ' 1 )у ва ла !1, — 1,) ~ ' Если в (П9.1.16) и (П9.!.17) положить Х, = Х; = Хк = Х1 = 2, то получим формулы (6.3.17) и (6.3.15) для белого шума и более общую формулу (6.4.9) для шума, не являющегося белым.
формулы (П9.1.16) и (П9,1.17) показывают, что при больших Т ковариация двух спектральных оценок имеет порядок 1/Тв во всех случаях, кроме /1 = /2. Следовательно, с хорошей степенью приближения можно считать, что спектральные оценки, относящиеся к частотам, разнесенным больше чем на 1/Т, являются некоррелированными. Обобщенная матрица ковариаций. Общие формулы (П9.!.16) и (П9.1.17) можно использовать для вывода обобщенной матрицы ковариаций (9.1.22).
например, член соч[/.12(/), !',)12(/)] можно по- лучить следующим образом: 5!2(/) = — [с!2 (/) + см(- /)] = — [см (О+ см (/)] ! ! (к)12 (/) 9 [см (/) — см ( — О] = 9 [см (1) — см (/)]. Следовательно, Со [й (/) (т (/)] = Соч [ См 69+Се! (1) С!в (1) — Св, (1) ~ 2 ' 21 4 ' (Соч [С! (/) Сы (/)] Соч [См (/) Св! (/)] + + Соч [Св, (/), См (/)] — Соч [Св, (/), См (/)]). Замена Соч[Сн(/), См(1)] на (9.1.15) приводит к выражению Соч [/ и(/), вк)!2 (/)] = — [Г!! (/)Г22( /) )и (+) + Г!2(/)Г21( /) )в ( — )— — Г12(/) Г21 ( — О )Гт2(+) — Г1, (/) Г22( — О Ж/2(-)+ +Г,„(/)Г„( — /) йу (+)+Г,,(/)Г„( /))У ( — )- — Г, (/)Гп ( — О )Гт (+) — Г21(/) Г, ( — О ))т'(-)], где мы использовали обозначения (9.!.!3) и (9.1.14).
Последнее выражение сводится к СотИ (О,Я (О!= = — !й' (+)]-Га(/)+Г) (- Ы+ ~'(-) [Г],(/)-Г'„(-/6. Так как Г!2(/) Г12( /) = Л12(О+ 2/Л12(/) Ч12(Π— Ч 12(Π— [Л!2(/) — 2/Л!2(/) Ч'1,(/) — Ч 2!2(/)] = 4/Л1,(/) Ч212(/) >ЗО Глава Э то, пренебрегая членом с Гйг(+), получим Соч[1.>г® (гг>г(0] = Аг(0>Р>г(>г) )Р' (-). чг-свойства оценок автоспектров. Рассмотрим гауссовский процесс Х>(>) с нулевым средним значением и дисперсией о-,'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
