Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Зная эту функцию, можно предложить более эффективный способ оцепивания, который учитывал бы корреляционную структуру шума. Пример такого подхода приводится в разд. !0.2.2. Так как в рассматриваемом нами примере известно, что шум 2» белый, мы использовали нормальные уравнения (10.2.4) для оцснивання параметров по ряду из !00 членов, полученных с помощью модели (10.2.1).
В табл. 10.1 приведены выборочные оценки й„, для значений М = !О, 12, !6. Сравнение со значениями теоретической функции отклика на единичный импульс показывает, что выборочные оценки плохие. Это об»ьяспяется большой дисперсией оценок и их сильной корреляцией, проявляющейся в заметных колебаниях й при больших ип. 10.2.2. Параметрическое оценивание функций отклика на единичный импульс Правильный параметрический анализ во временнбй области включает в себя оцениванне параметров модели (10.1.3) (см.
[!)). Число параметров, которые нужны для такой модели, можно определить, увеличивая количество членов в обеих частях равенства (!О.!.3) и оценивая каждый раз дисперсию и автокорреляционную функцшо остаточных ошибок. Модель является адекватной, когда нет признаков корреляции остаточных ошибок (эти ошибки нужно проверить с помощью одного из двух критериев белого шума, обсуждавшихся в равд.
5.3.5 и 6.3.2). Сначала мы испробовали модель вида Лм Ииг = а» (Хги-, — р,) + аг(Хм г Ииг) +)ув(Х»и — Х,) + Еи (10 2.5) для данных, полученных из модели (10.2.1). Предполагая, что Еи — белый шум, нормальные уравнения можно вывести, ы й о й Ф с» ,<» о с и й й й й о 3 й о О »о 3 й 3 й й 3 й Е й й св й й й й е й о о. и бценивинив частотных характеристик 193 1'лава 10 192 ун 51у21 — 1 52узс — 2 хзс УС вЂ” 51Уи — 1 — 52УСС вЂ” 2 = хи. 2 з Теоретические значения Лм 0,250 — 0,438 — 0,234 0,154 1,00 0,055 9 ~ 10 — 0,044 0,022 Теоретические зпачеиия Ьм — 0,066 — 0,004 0,028 0,00 ( — 0,12 — 0,07 — 0,08 — 0,083 ~ — 0,003 Параметрическое оцеииязпие 5 — 0,038 0,039 0,01! 7 ззк, птв минимизируя сумму квадратов Х Сх21 Р2 ос (х21-1 1с2) 1"2 (х21-2 122) РО (х11 х1)) с-з по р,, а„а, и !5О.
Считая, что входной и выходной временные ряды стационарны, нормальные уравнения можно заменить более простыми прибли- женными уравнениями, как описано в равд. 5.4.1, что в результате приводит к приближенным равенствам см (1) = а Сс,2 (0) + п,с,з (1) + йос 12 ( — 1), с„(2) = 61стс (1) + а,см (0) + (),си (-2), (10.2,6) с1,(0) = а,с12( — 1) + аис12(-2) + рвсн (0). Если взять для ковариаций их выборочные оценки из табл.
П10.2, то решение системы уравнений (10.2.6) будет следующим; 61 = = 0,072, 62 = — 0,276, йв = 1,182. Затем были вычислены остаточ ные ошибки по формуле 21 х2С х2 1" 1 (х21 — 1 х2) С"2 (х21-2 х2) (СО (хСС х1) = = (хз, — 0,21) — 0,072 (хз,, — 0,2!) + + 0,276 (хз,, — 0,2! ) — 1,182 (хп — О,! 7) и сосчитаны их автокорреляции. Первые 10 значений выборочной автокорреляционной функции остаточных ошибок приведены в табл. !0.2.
Эти автокорреляции противоречат гипотезе о том, что остаточные ошибки гс являются реализацией белого шума. Они наводят на мысль, что модель (10.2.5) нужно подправить и взять модель Лзс — Из = о1 (Л 21-1 — Р2) + «2 (Лзс-2 — ИС) + + 6 (Х, — Х,) + г + б,г~, +б гс чтобы учесть свойства скользящего среднего, которые проявляют автокорреляции остаточных ошибок, Таблица 10.2 Автокорреляции остаточных отянбок после подгонки динамической модело Сс ~ 1 ~ 2 ~ 3 4 ! 5 ( 6 тсе(Сс) ! — 0,14! 0,31 ( — 002! 008 ( 005 ~ ООО При под~онке авторегрессионной модели для пары временных рядов вход — выход в том случае, когда на выходе имеется шум, легко видеть, что остаточные ошибки будут иметь свойства процесса скользящего среднего, Порядок этого процесса равен порядку системы, связывающей пару рядов.
Следовательно, в нашем случае, для того чтобы остаточные ошибки стали белым шумом, нужно взять два параметра скользящего среднего: б, и бь Был выбран некоторый набор значений пар (бь 62), и входной и выходной ряды пропускались через следующие фильтры; Затем для профильтрованных рядов дм, уп при каждой паре значений (61, 62) вновь подгонялась модель (10.2.5) и вычислялись выборочные оценки (!0.2.6) для параметров сс1, аз и 6О.
Окончательно были выбраны те оценки, которые минимизировали сумму квадратов остаточных отпибок. Для нашего примера наилучшими значениями 51 н 62 оказались бс = — 0,3 и 52 = 0,8, а соответствующие им выборочные оценки параметров подправленной системы были равны: ас = 0,251, аз = — 0,479, рв = 1,10. Выборочная автокорреляционная функция для этой модели принимает малые значения, что подтверждает адекватность модели.
Функция отклика на единичный импульс, соответствующая подправленной модели, приведена в табл. 10.3. Видно, что она гораздо лучше согласуется с теоретической, чем та, которая получена прн непосредственном оценивании. Таблица 1О.З Теоретическая функция отклика на единичный импульс н ее выборочные оценки, полученные при параметрическом оценивании Оиенивание ~астотных характеристик 195 (94 Глава !О !0.3.
ОЦЕНИВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 10.3.1. Оценки функций усиления и фазовой характеристики Чтобы можно было применять спектральпые методы для оценивания частотных характеристик, необходимо отбросить условие физической реализуемости системы: Ь(и) = 0 при и <О, и рассмотреть модель Х, (У) — иа = ~ Ь (и) [Х, (( — и) — Х,] с!и + Х (1).
Если шум Хт белый, то с помощью рассуждений, аналогичных ис- пользованным в Приложении П5,1, можно показать, что выбороч- ная оценка наименьших квадратов Ь(и) для функции Ь(и) удовле- творяет интегральному уравнению с„(и)= ] Ь(о)сп(и — о)ио, — Т<и<Т. (10.3.1) С, (]) =' Й Я Сп ([), (!0.3.2) где Й ()) ~ Ь (и)  — Гек(и Е(и о Отсюда оценка частотной характеристики равна Й с„е с„(й (10.3.3) т.
е. оценка равна отношению оценки взаимного спектра к оценке входного спектра, Выражение (10.3.3) можно переписать в виде 6 (!) егри' = е(~ап' (10.3,4) С Если данные получены из линейной физической системы, то условие Ь(и) = 0 при и < 0 будет автоматически выполнено, если не учитывать выборочные ошибки, обусловленные конечной длиной записи. Фактически, если бы мы имели запись бесконечной длины, то уравнение (10,3.1) было бы справедливо для функции Ь (и), тождественно равной нулю при и < О. Решение интегрального уравнения (10.3.1) можно существенно упростить с помощью преобразования Фурье. Так, если от обеих частей (!0.3.!) взять преобразования Фурье, то получим где Й(!) = 6(1) в'"'».
Таким образом, оценки функций усиления и фазы имеют вид (10.3.5) И ~ (О Т!2 (О (10.3.6) г" ()) = агс!и Тне (!) .] (10.3.8) Смещения и ковариации этих оценок можно вывести с помощью методов, применявшихся в разд. 9.2. Другой способ сглаживания, рассматриваемый в следующем разделе, получается, если решать задачу оценивания частотной характеристики методом наименьших квадратов в частотной области. Этот подход имеет то преимущество, что приближенные доверительные интервалы вычисляются с помощью распределений, возникающих в методе наименьших квадратов, а не с помощью первых двух моментов спектральных оценок, как это делается в первом способе сглаживания. 10.3.2. Применение метода наименьших квадратов в частотной области В этом разделе показано, что задача оценивания частотной характеристики формально эквивалентна задаче оцеиивания регрессии методом наименьших квадратов, проводимого на каждой из частот.
Показано также, что многие из формул метода наименьших квадратов, выведенные в равд. 4.3, можно без изменений перенести в частотную область. В равд. 6,4.1 было доказано, что равенство (10.1.1) приближенно выполняется для двух конечных отрезков процессов Хе(!) и Х2(!), если только отклик на единичный импульс Ь(и) убывает В равд. 9.1.1 было показано, что дисперсию оценки фазового спектра в первом приближении можно считать не зависящей от длины записи Т. Поскольку дисперсии функций А12(() и Сп(() точно так же можно считать пе зависящими от Т, то дисперсия оценки б(!) не зависит от Т.
Следовательно, оценки (10.3.5) и (10.3.6) необходимо сгладить, чтобы уменьшить их дисперсию. Один способ, с помощью которого можно этого добиться, состоит в том, что вместо несглаженных оценок в (10,3.5) и (10.3.6) подставляют их сглаженные варианты. Это приводит к следующим сглаженным оценкам функций усиления и фазы: ц (е) Ае (!) (10.3.7) = с„(!) ' Оцвниванив частатнмх характеристик Глава !О (96 практически до нуля за время, малое по сравнению с Т.
Поэтому, если обозначить т Х (Г) ) Х (1) — (ги(т,(1 а то преобразование Фурье выражения (!О.!.1) запишется в виде х,(1) = н(7) х,(7)+л(7). (!0.3.9) Далее, (10.3.9) также можно записать в виде 2 (7) = (ха (7) - х, (У) Й (7)) + х,(7)[Й (7) - н (7)) и, следовательно, ) Х (7) Р = ! Х, (7) — Х, (7) Й (7) Р+1Х, Ц) Р ! Й1 (7) — Н (7) !т. (103.10) Перекрестные члены исчезают, так как из (!0.3.2) следует, что х',(7)х,а= й(7)!х,(7)!т, Отметим, что представление (10.3.10) по форме аналогично разложению (4.3.10) остаточной суммы квадратов в обычном регрессионном анализе, проводимом методом наименьших квадратов.
Из (10.3.9) получаем наилучшую выборочную оценку шума на частоте 7 г (7) = х,(7) - й (7) х,(7). Разделив (10.3.!0) на Т, находим С (() — С22 а + С 61 Й (7) Н (() Р (10.3.11) Входящий в (10.3.1!) выборочный спектр процесса, образованного остаточными ошибками, можно вычислить с помощью (10,3.9). В результате получим с-„26= —,' !2(1) Р= —,' ~х,(1) — х,(1) й(1) Р= = — ~(хз(7)!т ''"1(1) '()П ~ — (~с~1~~ ~1 — Кт,(7)1, (103.12) ! т, (1) !т где К)т (7) — выборочный спектр квадрата коэффициента когерентности. Ио в разд.
9.1.2 было показано, что К~м(7) =!, так что, С22(7) = О. Из равенства (10.3,11) следует, что имеющиеся у Схх(7) две степени свободы целиком затрачиваются па регрессионный член !Хт(7) !з ° !Й(7) — Н(7) )'. Таким образом, из-за того, что выборочцым автоспектру и взаимному спектру соответствует узкое спект.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
