Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(10 4 4) ч -2 К!г (1) Стадии оценивания функций усиления н фазы. Пять стадий, описанных в равд. 9.4.2 при оценивании взаимных спектров, применимы также и при оценивании усиления н фазы. Существенные изменения имеются лишь во второй стадии вычислений, которая должна теперь выглядеть следующим образом. Вторая стадия вычислений а) Вычисляются два автоспектра, спектр остаточного шума и функции усиления и фазы, причем используются взаимные корреляции выравненных рядов (9.3.28) . б) Строятся графики перечисленных выше спектров для нескольких точек отсечения.
Оба автоспектра и спектр остаточного шума нужно строить в логарифмическом масштабе. Затем следует построить графики Бодэ для функций усиления и фазы, т. е. логарифм функции усиления нужно отложить в зависимости от логарифма частоты и фазовую функцию — в зависимости от логарифма частоты. в) В некоторых случаях, возможно, потребуется построить график преобразованной когерентности.
Последнее изменение состоит в том, что на стадии 5в доверительные интервалы для функции усиления получаются по формуле (!0.4.3), для фазовой функции — по формуле (10.4.4) и для коэффициента когерентности — по формуле (9.2.23). Логическая схема вычислений выборочных оценок частотных характеристик приводится в Приложении П!0.2. 10.4.2. Анализ частотных характеристик искусственных систем С помощью искусственных рядов была имитирована линейная система второго порядка.
Выходные данные х„получались с помощью модели (10.2.1), а именно Хм = Хс + Х! Х! — — 0,25Хт, — 0,5Х, г+Хи, (1ОА.5) где Хт — белый шум, а Х,т — вход. В качестве входных данных хи использовалась реализация процесса авторегрессии второго порядка (7.1.9), т, е. Хи =Хи-! — 0,5Х!!-г+2!. Входные и выходные данные приведены в Приложении П10.1. Теоретический спектр входного процесса равен 2 2,20 — Зсое2п1+сослал!, 0<~! <»О/5 гц. (10.4.6) Этот спектр показан на рис. 7.7 сплошной линией. Поскольку шум белый, его спектр имеет вид 1'хг(1)=-2, О«)~0,5. (10.4.7) Оиекааакае частотньтк характеристик Г,таво 70 204 Теоретическая частотная характеристика линейной системы (10.4.5) равна ! 1 ( ! 1 — 0,25е и" 1 -1- 0,5е тев 2 2 — — ~ (( < †.
(10.4.8) Отсюда теоретические фушсции усиления н фазы имеют вид П(1) = (10.4.9) 1 1,3125 — 0,75 сов 2л) 4 сое 4л) и Мн 2л! (4 сов 2л! — 1) тР(!) = гсти 24 сов йч)(4совйл) И . (10.4.10) Функция усиления (10.4.9) показана сплошной линией на рис. 10.3, а фазовая функция (10.4.10) — сплошной линией на рис.
10.4. Квадрат теоретического коэффициента когерептности равен мт ьт 1-1-(1 3125 — 075 сов 2л!+ сов пи))(225 — Зсов2л)+ сов 4л!) ' (10,4.11) Эта функция показана сплошной .пинией на рис. 10.5. Видно, что коэффициент когерентности весьма высок в диапазоне от 0 до 0,25 гт(, где велики входной спектр и функция усиления. Однако когерентность очень мала в диапазоне от О,З до 0,5 гт(, где входной спектр и функция усиления системы также малы. Следовательно, можно ожидать, мо для диапазона от 0 до 0,25 гй получатся хорошие оценки функций усиления, фазы и спектра когерентности, а для диапазона от О,З до 0,5 гй — плохие. Поскольку используемые временные ряды были искусственными, многие стадии из описанной в равд.
9.4.2 и равд. !0.4.1 методики не нужны. Тем не менее поучительно проследить все эти стадии подряд, как если бы данные были получены из реального процесса. 1. Стадия предварительных решений а) Данные не обнаруживают никаких трендов (что можно было бы предвидеть, нбо вход и выход были получены с помощью стационарных моделей). Поэтому цифровая фильтрация для устранения трендов не нужна. б) Расфильтровывать данные на отдельные частотные полосы пе требуется. в) Так как входной и выходной ряды содержат по М = !00 членов, авто- н взаимные корреляции вычислялись первоначально до запаздывания 30. 2. Первая стадия вычислений Вычислялись авто- н взаимные корреляции исходных данных и их первых разностей.
Корреляции исходных данных показаны на рис. 10.2, а ковариацнн приведены в Приложении П10.2. 3. Стадия промежуточных решений а) Корреляции исходных данных были использованы для спект. рального анализа. б) Так как взаимная корреляционная функция имела максимум в нуле, выравнивания не потребовалось. в) Исходя из быстроты затухания корреляционных функций,для дальнейшего анализа были выбраны следующие точки отсечения: /=8, 12 у!6.
4, Вторая стадия! вы- г (й) числений 40 а) С помощью окна Тычки были вычислены автоспектры, функции усиления и фазы, спектры когерентности и шу- 0 ма без применения выравнивания. и Я б) На рис. 10.3 — 10.6 показаны соответственно функция усиления, фазо- 05 вая функция, квадрат спектра когерентности и спектр шума при В = 8, 0 12 и 16. 7 В0 й б, Стадия интерпретиЧии 40 а) Метод стягивания окна показывает, что во всех спектрах происходят оу некоторые изменения прн переходе от В = 8 к Л = = !2, но при дальнейшем тйт - ч0 0 10 гв увеличении А до 16 изменения малы. Поэтому окончательно было выбрано В = !6, Отметим, Р ис.
10.2. Выборочные авто- и взаимные корчто выборочные оценки реляции искусственной линейной системы функций усиления и фа. (М = 100). зы и квадрата спектра когерентностн очень хорошо согласуются с теоретическими значениями в диапазоне частот от 0 до 0,35 г!(, но для более высоких частот появляются большие расхождения, так как коэффициент когерентности резко уменьшается. Как видно из рис. 10.6, выборочная оценка спектра остаточного шума превосходтю согласуется с теоретическими значениями во всем диапазоне от 0 до 0,5 гт(. б) Доверительные интервалы для функций усиления и фазы, вычисленные по формулам (10.4.3) и (10.4.4), показаны на рис. 10.3 и 10,4, Видно, что они резко увеличиваются для частот„превосходящих 0,35 гт(, из-за уменьшения коэффициента когерентности.
Таким Глава !О 200 -ггал лганааа го (о 0д о,о ог ОГ образом, доверительные интервалы дают полезную информацию при интерпретации графиков функций усиления и фазы, Вычисление функции отклика на единичный импульс. Описанный в равд. !0,2 временной способ оценивания отклика на единичный импульс был сравнен с частотным способом. Для этого мы по аООГ ОООгцООЕ лаЗ ООг ЛОЕГ)ОНОГ Пг ае Об Л ел Рис. 10.3. Теоретическая функция усиления и ее выборочные оценки лля искусственной линейной системы (йг 100). выборочным оценкам взаимных спектров при Т.
= 16 вычислили функцию отклика на единичный импульс 1/2 !/2 Ь„= „~ " соз 2п(т с(Г+ ~ " з)п 2п)т с(1. (10.4.12) о с„()) Эта функция сравнивалась с выборочными оценками отклика на единичный импульс, полученными непосредственно и с помощью параметрического оценивания во временнбй области. Все эти оценки приведены в табл. 10.4. Мы видим, что оценка, полученная из спектров, более плавно меняется, чем при непосредственном оценивании во временнбй области, и хорошо согласуется с теоретическими значениями.
Однако она не так хороша, как параметрическая оценка. Р не. 10Л. Теоретическая фааоная функция и ее выборочные оценки для искус- ственной линейной системы (Л' = 100). о Огго Ого Ож Г)О б Егс Р ис. 10.5. Теоретический спектр когерентности и его выборочные оценки для искусстаенной линейной системы (У =- 100). Глааа 10 Оиетсиааыие тстатыьсх характеристик ЮО 00 (50 ЕО 40 1О 0,250 -0,438 Теоретнческпе знечення 1, ООО 0,022 0,028 -О,ОО4 Ппренетрнческпй способ -О,ООЗ О,ОЗЗ 0,276 -0,458 1, 1ОО О,О11 1:пектрнльпый способ 0,271 — О. 468 — 0,002 0,017 1,108 о,зм — одтг Непосрелствен.
ний способ -Огвг ОЛгО -0,163 1,056 В соответствии с рекомендацией, предложенной в [4), значения й„, были вычислены также для отрицательных аг, чтобы определить, является ли система физически реализуемой. г!аибольшиз4 из них оказалось значение й 1 = 0,11, в то время как остальные не превос- 0 0100 РЕО Овтб РО б лз Р не. 10.6. Теоретический спектр остаточных ошибок и его выборочные оценки длк искусственной линейной системы (67 = 100). ходят по модулю 0,1. Отсюда мы заключили, что выборочные оценки функций усиления и фазы приближенно описывают физически реализуемую систему. Таблица 10.4 Сравнении трех способов оценивании функции отклика на единичный импульс 10.4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
