Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Спектральная оценка Сп(!) имеет вид т>г г Сп (1) = —, ] Х, (1) е->гн» Ж -т>г т>г -г тм . г — х,>ю> 2 >Ой — 1 х,фи,ггфж1 -тм — т>г = Ф[Х,'а+ Х.'(М (П9.1.18) Ковариацня сглаженных спектральных оценок. Сглаженная спектральная оценка С»(!) получается из С»(!) с помощью ра- венства в Сп®= ~сп®й ([-д)(д, (П9. 1. 19) где (й'(>) — спектральное окно, соответствующее корреляционному окну п>(1).
Отс>ода т С» (!) = ] е» (и) ш (и) е->'а>" >7и. (П9.!.2О) -т Ковариацию сглаженных спектральных оценок можно получить следующим образом. Так как е;>(и) = сц(и) и> (ц), (П 9.! . 21) то Соч[с;>(и,), сг>(и,)]= и>(и>)ш(иг)Соч[с»(и>), с,>(и,)].
(П9.1.22) где Х,(!) и Хв(1) — соответственно косинус- и синус-преобразования процесса Х>(1). Так как преобразование Фурьеявляетсялинейной операцией, процессы Х,(>) и Хл([) также будут гауссовскими. Из (П9,1.!8) мы видим, что Сп(!) есть сумма двух гауссовских случайных величин, возведенных в квадрат. Следовательно, Сп([) имеет тг-распределение с двумя степенями свободы. Отсюда немедленно получаются результаты разд. 6.3.3.
Для негауссовских процессов преобразования Хв([) и Х,(>') представля>от собой взвешенные суммы зависящих от времени случайных величин Хь Поэтому вышеупомянутые формулы будут приближенно верны и для негауссовских процессов. Оиениванив взаимных гаект>>ав Отсюда с помощью (П9.1.12) и (П9.1,22) получаем Соч[СО(7>), Сы(>г)]= т т ] ш(и>) шО>г)Соч[с»(и>), е„(и )]е->"'>>" +> ">>(и>>(иг.
(П9,1,23) — т -т Далее, ш(п) — — 0 прн )и) > М и М « Г. Следовательно, для Соч[е»(и>), см(мг)] в (П9.1.23) можно воспользоваться приближением (П9.1.!4). В результате получим т Соч[СО(Ц, Сг>(>г)]= ~ ~ — "', "' е >гв>>" +> >Х -т Х ~ [Г>г(д)Г>>( — д)е»ивом а>+Гп(д)Г>г( — г>)е>г в> ви>]г(йг(и,г(и. (П9.1.24) Изменение порядка интегрирования дает Соч[С»Ю СыИ]вв ~ ~ (Р" (! — 8)[Г> (8)Г>~(-й)()>'(6 +гт)+ + Гп(Д) Г>г(-д))Р'Уг — и)] (8. (П9.1.25) Если предположить, что функции Г изменяются незначительно при изменении частоты в интервале, равном ширине полосы частот окна, то их можно вынести из-под знака интеграла.
В результате (П9.!.25) переходит в Гм (й) Г)>1-1) Соч[С»([>), Сг>(ЙН вв Г ~ )Р'([> - й) )Р (Й+ д) Нд+ Гп (й) Г,>1 — й) + т ] )(>' (7> Ф )Р ()г — Я) а>а. (П9.1.26) Следовательно, если спектральные окна достаточно узки и перекрываются незначительно, то ковариация сглаженных оценок очень мала.
1!ри 7> — — >г !П9.1.26) дает Г>г (й) ГП( — й) Соч[С»(>'>), Сг>(>'>)]вв Г ] )ут(» — 8)йт(>'>+а)а>д+ вв Гп(й) Гуг ( — й) + Г ] ()т ([> — а) в(я. (П9.1.27) в Поскольку перекрытие окон незначительно, первым членом в правой части (П9.!.27) можно пренебречь. В результате, применяя Оченивание оеаал)ник сеекгоао Ы2 Г )аеа й теорему Парсеваля, получим г,г (/,) гге (- /,) Сот(СО(/)), Саг(/))) = т ~ )Ре(й) с(йги О,) г„! — /,) ) юг(и) ди. (П9,1.28) Формулой (П9.1.27) можно воспользоваться для вывода обобщенной матрицы ковариаций сглаженных спектральных оценок. Как отмечалось в разд. 9.2.1, эта матрица совпадает с матрнцей (9.1.22), за исключением того, что множитель 972( — ) надо заменить па //?', где ) и)2(и)аги. ПРИЛОЖЕН1ИЕ П92 ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА ВЫЧИСЛЕНИЙ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДВУМЕРНОГО РЯДА Программа СИОББРЕС 1) Входные параметры 5(, МАХМ, РЕЬТА, НР, Б. 2) Произвести считывание 1РЕ(к(Т(1), СОЧ(К, 1, 1), К = О, МАХМ !РЕ!к(Т (2), СОЧ (К, 2, 2), К = О, МАХМ СО)/ (К, 1, 2), К = О, МАХМ СОЧ (К, 2, 1), К = О, МАХМ.
М, положить СОЪ'(К) = 3) /?роизнгсги счигь)ванне СОкг(К, 1, 1), К = О, МАХМ. Ниже приведена логи гсская схема вычислительной программы СКОББРЕС, входными значениями для которой служат выборочные оценки авто- и взаимных ковариаций СОЧ(К, 1, 3) или РСОА(К, 1, 3), К = О, МАХМ, 1 = 1, 2, 3 = 1, 2, из программы М(Л.Т1СОК, описанной в Приложении П5.3. Дополнительными входными величинами являются РЕ? ТА, (к!Р, М 4МАХМ вЂ” (Б) и Б — число запаздываний, требуемое для выравнивания процессов (так чтобы наибольшая по модулю взаимная ковариация была в нуле).
Выход состоит из печати ковариаций (повторный контроль), сглаженных автоспектров для каждой точки отсечения М, фазового спектра, квадрата спектра когерентности и графиков логарифмов автоспектров, а также квадрата спектра когерентности и фазового спектра, которые строятся вместе для всех используемых точек отсечения. 4) Вызвать подпрограмму А1?ТОБРЕС. (Приложение П7.!) 5) Заноинить БРЕС(К, !) = БРЕС(К), К = О, 74Р.
6) Положить СОУ(К) = СОБг(К, 2, 2), К = О, МАХМ. 7) Вызвать подпрограмму А(?ТОБРЕС. 8) Заполнить БРЕС(К, 2) = БРЕС(К), К = О, )к)Р, 9)Вызвагь подпрограмму ЕУОР. Подпрограмма ЕУОР Вычислить ЕУ(К) = СОЧ(К+ Б, 1, 2) + СОУ(К вЂ” Б, 2, !), К=О,М ОР (К) = СОУ (К + Б, 1, 2) — СОЪ'(К вЂ” Б, 2, 1), К = О, М (Отметим, что СОУ(К, 1, 2) = СОУ(- К, 2, !), !0) Вызвать подпрограмму СКОБРЕС.
Подпрограмма СИОБРЕС Вычислить сглаженные коспектр и квадратурный спектр и ква- драт взаимного амплитудного спектра м-) СОБРЕСС)= 2. ОЕ) 22 (ЕБ)2).,'-2. 2ЕЪ)К)%)К)СОБ — ~ К 1 м-) 1,)БРЕС(1)=4. *РЕ1.ТА» )' ОР(К)%(К)Б1Н ~ к=) БЯ (!) = СОБРЕС (1) * СОБР ЕС (1) + 1;)5РЕС ([) 1",)5РЕС (1) Как и в подпрограмме АПТОБРЕС, преобразование Фурье можно выполнить очень быстро, воспользовавшись либо алгорит- мом БПФ, либо алгоритмом, приводимым ниже. 11) Вычислить РНАБЕ (К) = АИСТА!к) ( — ЯБРЕС (К)/СОБРЕС (К)) СОНБЯ (К) = БЯ (К)/(8 РЕС (К, 1) 2: БРЕС (К, 2)).
12) Вычислить !.ООБРЕС(К, 1) = ) 00 10(БРЕС(К, 1)) 1ООБРЕС(К, 2) = 100 10(БРЕС(К, 2)), соблюдая предостережения (5) из подпрограммы А(?ТОБРЕС. 13) Напе2гагагь сглаженные автоспектры БРЕС (К,1), БРЕС(К,2), фазу РНАБЕ(К), квадрат коэффициента когерентности СОНБ1,)(К), ширину полосы частот окна В и число степеней свободы Р. 14) Построить на одном графике: 1.ООБРЕС(К,!) для всех использованных значений М, ЕООБРЕС(К, 2) для всех использованных значений М, РНАБ Е (К) СОНБ14 (К) 184 Глава 9 Оиениванае взаимных спектров 185 Таблаца $!9.2 0,335 0,017 -0,066 — 0,030 0,2 19 -0,035 0,026 — 0,043 0,262 — 0,1!3 0,037 — 0,062 0,274 О, $51 — 0,139 — О, $0! 0,024 — 0,027 -0,055 — 0,028 1,000 0,540 0,030 0,058 -0,107 -0,123 0,059 0,052 0,056 — О,!01 0,016 — 0,091 0 — 7 8 — 15 !6-23 24 — 31 Аятокорреляции гм (9) 0,098 0,114 0,460 0,752 0,08! 0,017 0,003 0,012 0,1!6 0,66! 0,038 0,008 0,176 0,505 0,031 0,034 0,336 0,307 — 0,040 0,059 0 — 7 8 — 15 !6-23 24-31 0,0$3 0,369 0,195 — 0,016 0,264 0,338 0,385 0,328 0,033 — 0,012 0,062 0,074 Взаимные корреляции гы (?г) ПРИЛОЖЕНИЕ П93 0 — 7 8 — 15 16 — 23 24 — 31 Взаимные корреляции гы (А) $,000 0,$45 0,028 0,045 0 — ? 8 — 15 1б — 23 24-31 - 0,139 0,028 0„195 — 0,140 -0,137 -0,092 -0,124 -0,092 - 0,097 -0,096 -0025 0011 О, $38 0,049 — 0,010 0,058 — 0,069 0,025 0,026 — 0,080 1,000 0,505 0,009 О,! 03 — О 031 — 0,0!9 0,083 — 0,031 0,071 О,!! 0 О, $!6 — 0,167 0 — 7 8 — 15 !6-23 24 — 3$ Аятокорреляцин гм ((г) 0-7 8 — 15 1б-23 24 — 3! 0 — 7 8 — 15 1б — 23 24 — 31 Взаимные корреляции г„(9) 0 — 7 8 — !5 16 — 23 24 — 31 $ Лвтокорреляции гтт (гг) Алгоритм Чтобы найти СОБРЕС(1), ( $8РЕС(1), положить С = СОЯ вЂ” ', '$с'О= О., Ъ'1 = 0.
ц1 !4Р ' 8 )Ч = 81)х( — „, 2О = О., 71 = О. Во 1, К=М вЂ” $, Ъ'2 = 2. » С» 171 — ЧО + % (К)» ЕЧ (К) 22 = 2, С» 2! — ХО + ЪЧ (К)» ОР (К) 'т?0 = 'х?1 Ч1 = 172 20 = 21 2! =22 СОБРЕС([) =2, » ОЕЬТА»(ЕЧ(О)+ 2. » (Ч!» С вЂ” ЧО)) Я8 РЕС (1) = 4. » ОЕЬТА * Е!» 8 Р(. ВЫБОРОЧНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ ДАННЫХ ИЗ ПРИЛОЖЕНИЯ П8.! Таблица П9Л Выборочные корреляции данных из табл.
П8.1 — 0,075 0,409 0,452 0,320 О, $95 0,080 0,123 — 0,004 -0,050 — 0,035 0,056 0,133 0,082 — 0,033 — 0,098 — 0,048 — 0039 -0071 — 0,121 — 0,110 — 0059 0044 0072 0,$56 0,234 0,245 0,153 0,026 — 0,037 -0,027 — 0,020 0,004 Взаимные корреляции гы((т) — 0,075 — 0,498 — 0,485 — 0,278 — 0,114 — 0,050 0,042 0,109 0,087 -0,005 — 0,066 — 0,067 0,01? 0,040 0,043 0,001 -О 049 0 085 0,175 0,10$ -0 077 0,102 -О 042 О 043 -0014 -0064 000! 0081 0063 0027 — 0,064 — 0049 1,000 О 536 О,!86 -О 056 — 0,121 — О 080 — 0,066 — О 048 0,006 0,054 — 0,020 0,005 — 0,060 — 0,042 0,018 0,025 — 0,051 -0,084 — 0,063 0,014 О, $66 0,10? 0,019 0,032 — 0,063 — 0,081 — О, 155 — 0,045 — 0,049 — 0,01 $ — 0,080 — 0,096 Выборочные корреляции данных из табл.
П8.2 ОО(З вЂ” ОО57 -О,)З$ ~ — 0,$47 ~ — 0,152~ -ОП?2 — О,!?1 — 0,$63 — 0,120 — 0089 — 0074 -0071 -0042 0,003 0018 — 0012 -0,101 — 0 095 — 0,105 ~ — 0,109 -0,143 ~ — 0,$85 ~ — О 209 — О, $91 — 0,163 — 0,079 — 0,026 0,003 — 0,013 -0,009 — 0,007 0,073 0,848 0,678 0,546 0,473 0,400 0,299 0,200 0,124 0,084 0,071 0,043 0,044 0,05! 0,041 0,024 0026 0,020 0010 — 0,012 — 0018 00!2 0,058 0,029 0,023 0,030 0.037 0,002 — 0,026 Аятокорреляции гтт(?г) Оненааание частотных характеристик 1з7 !лава !О ОЦЕНИВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В этой главе рассматривается задача оценивания частотной характеристики линейной системы по имеюШимся записям, соответствующим входу н выходу системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
