Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ральное окно, вся информация на каждой из частот 7 полностью уходит на оценнвание функций усиления н фазы и не остается никакой информации на оценивание спектра шума. Сейчас мы покажем, что это положение можно исправить с помощью сглаживания. 10.3.3. Применение метода наименьших квадратов к сглаженным оценкам в частотной области В этом разделе показано, что примененный в предыдущем разделе метод наименьших квадратов можно видоизменить так, что получатся эффективные сглаженные оценки функций усиления и фазы линейной системы, а также спектра шума Гав(7). Затем мы покажем, как использовать эти оценки при построении критерия значимости для проверки гипотезы о равенстве нулю истинной когерентности и при выводе приближенных доверительных интервалов для функций усиления и фазы.
Предположим,что сглаженные оценки функций усиления и фазы получаются по формулаът (10.3.7) и (10.3.8). Тогда (10.3.11) можно заменить на формулу, содержащую соответствующие сглаженные величины: С (7) = С 2(7)+Си(7)! Н(7) — Н(7) !т. (1О 3.13) Когда операция сглаживания применялась к (10.3.11), то предполагалось, что истинная частотная характеристика Н(7) остается почти постоянной на интервале, равном ширине спектрального окна.
Как отмечалось в разд. 9.2, это предположение может быть неверным, если не произведено выравнивание рядов, в результате которого максимум модуля взаимной корреляционной функции достигается в нуле. Для того чтобы вывести приближенное распределение оценок, мы будем предполагать, что выравнивание рядов произведено. Пусть в результате сглаживания авто- и взаимных спектров на выборочную оценку в каждой из оцениваемых частот приходится э степеней свободы. Тогда величина ъС т (1) Гх, (11 имеет 1(т-распределение с ч степенями свободы, и (10.3.13) можно записать в виде иьхх (1) иС22 (1] тСн (1) г (В = г П) + г (1) ~Н(й Н(0!'. (10314) Разложение (10.3.14) показывает, что случайная т'-величина с т степенями свободы в левой части равенства разлагается на две случайные )('-величиньь Первая из них имеет м — 2 степени свободы Глана !О Гйз Оценаванне частотных характернстнк !99 и может быть использована в качестве оценки спектра шума.
Вторая имеет две степени свободы и может быть использована для оценивания функций усиления и фазы. Этот результат следует из. того, что, как нетрудно показать с помощью методов равд. 3,2.5,, второй член в (10.3.13) всегда имеет две степени свободы независимо от степени сглаживания. Кроме того, можно показать, что слагаемые в правой части (10.3.14) статистически независимы. Отсюда, пользуясь аддитивным свойством )(г-распределения, выведенным в равд.
3.3,5, находим, что первый член в (10.3.13) имеет уг-. распределение с (т — 2) степенями свободы. Наконец, взяв аналогичную (10.3.12) формулу для сглаженных спектральных оценок, можно найти сглаженную оценку спектра. шума С- - (1) = Сгг (!) 11 — К'„(~)~ (10.3.15) Полученными формулами мы воспользуемся сейчас для построения критерия значимости. Критерий значимости для проверки гипотезы о равенстве нулю истинной когереитности.
Предположим, что Н (7) тождественно равна нулю для всех 1, т. е. входной и выходной процессы полностью некоррелированы и, следовательно, теоретическая когерентность тождественно равна нулю. Так как НЯ = — О, то в силу (9.3.!2) и (10.3.7) второй член в правой части (10.3.14) равен тСп(!)о 0) тСгг())К,г(!) (10.3.16) Разложение (10.3.14) показывает, что случайная величина (!0.3.16) распределена приблизительно как )(г с двумя степенями свободы, а величина УС2г (Ц УСгг У) ~! К!г (!)] Гхх (1) Гех 0) распределена приблизительно как дг с (т — 2) степенями свободы. Следовательно, если Н()) = — О, то случайная величина (т — 2) Кгг Ц) (10.3,17) распределена приближенно как Ег, г В качестве примера предположим, что выборочная оценка Кц(~) =0,3 получена при использовании окна Тычки, причем А = 1, 7.
= 20, йт = 100. Тогда 8 100 т = — — = 13 3 20 ( — 2) К'„ = 2,36. Из рис. 3.12 находим, что верхняя 95 /ь-ная граница (г о(0,95) равна 4,0. Так как наблюденное значение статистики (10.3.17) меньше 4,0, то можно заключить, что нет никаких признаков того, что истинная когерентиость отлична от нуля. Ситуации, когда требуется применять описанный выше критерий значимости, крайне редки.
Его можно было бы, например, использовать в качестве грубого критерия наличия взаимной корреляции двух временных рядов, требующего меньше вычислений, чем описанный в разд. 9.1.2 критерий, используюн(ий выборочную коспектральную функцию. Гораздо чаще возникает задача от(енивания функций усиления п фазы и построения доверительных интервалов для пкх. Эти вопросы рассмотрены в следующем разделе.
10.3.4. Доверительные интервалы для функций усиления и фазы Полученными в предыдущем разделе формулами можно воспользоваться, чтобы вывести приближенные доверительные интервалы для функций усиления и фазы. Из (10.3.14) получаем Рг)— ( т — 2 Сы (!) ! тт' (!) тт' (!) ~т «((г -г(1 — а) = 1 — а. 2 С22 У) Отсюда находим доверительную область для неизвестной функции НЯ с уровнем доверия 1 — а: ! й(Д вЂ” Н(й (г( — — )ь,,(! — а).
(10 3П8) 2 С22 (!) и — 2 Сп (7) Из (10.3.18) получаем доверительную область для функций усиления и фазы: (6 соз тр — 6 соз р„)'+ (6 ып <р — 6 шп то1г)' ( 2 С22 (!) «( — )ь ч-г (1 — а), (!0.3.19) у — 2 Сы (!) где опущен аргумент (".
Если рассматривать величины 6 соз р, 6 ейп ~р как новые параметры, то область (10,3.19) представляет собой круг радиуса й, как показано на рис. !0.1, а. Если отобразить этот круг на плоскость (6,тр), то он перейдет в область, показанную на рис. 10.1, б. В качестве грубого приближения эту область Оиениеание частотных характеристик 200 201 Глава /О т. е. 6,7 е ' О- 13,3, 51'(~/р~ (89'.
Учитывая, что можно заменить почти покрыва/ощим ее прямоугольником. В результате для функции усиления получится доверительный интервал ОТ ~ ТК, а для функции фазы доверительный интервал будет ра- р р Р н с. 10.1, Доверительные области для функций усиления н фазы. вен углу, образованному прямыми ОР и ОО. Эту область можно записать с помощью неравенств ! Π— О )н Й, з!п! /р — ф !(=. 6 йз 2 1 — К/з 2 )з„,(1 -и), 0 т — 2 К/о 100(1 — а) о(о-ные доверительные интервалы для О и ф можно записать в виде / 2 /' ! — К/з(1) й а///~~о!/ /.т..//- )(," Д (/соло/ -2 '~ ~ К~~ (!) ) // 2 К/2 (!) Г/з()) .+- агсз!п ~l — )з,. з(1 — а)( з ) .
(10.3.21) т — 2 ' (, Кз (!) ) Заметим, что доверительные интервалы уменьшаются с увеличе. 2 нием числа степенен свободь/ и когерентностп К/з(1). П/зил/ер. Предположим, выборочное значение К/~з равно 0,8 и на выборочные оценки усиления 6 = 10 и фазы Р/з = 70' приходится ч = 17 степеней свободы. Тогда 95е/о-ные доверительные интервалы (10.3.20) и (10.3.21) имеют вид ! 0 ~ ! — .~à — !'., (3,68) ~ —," ,) ~ (~ О ( ! 0 ~ ! + ~à —,',, (3,68) ~ — "~ ~, 70 — агсз!п 1/' —, (368) (ф ( фи= 70 + агсз(п )/Г !7 (368) ® Смещение оценки функции усиления. Доверительные иятерва. лы (10.3.20), (10.3.21) для функций усиления и фазы получены в предположении, что оценки / (!) и Р(~) — несмещенные, что верно лишь с некоторым приближением.
Как показано в равд. 9.3.3, смещение оценок спектров фазы и когерентности можно уменьшить, выравнивая временные ряды. Сейчас мы покажем, что смещение оценки функции усиления также можно уменьшить с помощью выравнивания. Чтобы показать это, воспользуемся методом, анало. гичным методу равд. 9.3.3. По определению смещение оценки функции усиления равно В(0=Е(О(0 — О(1)) =Е~=,"" — '1--""" . (!0.3.22) ~ с//(!1 ! г//()1 ' Считая, что смещение оценки входного спектра пренебрежимо мало, (10.3.22) можно переписать в виде е (Х„(!1! — а „Ц) так что нужно определить лишь смещение Е[Л/з(/)) — се/з(!/).
Действуя так же, как и в равд. 9.3.3, можно получить смещение оценкя функции усиления при использовании окна Тычки В (1) = — ', г т(а/ез/ — а/ (ф////)о+ 2а////ф//т!/ з!п 2ф/о~. (10.3.23) 0,06З 1 // Заметим, что в этом выРажении поЯвлЯетсЯ тот же член а/з(ф/з)з, который входил в выражение (9,3,26) для смещения оценки Глава /О 202 Онеииваиие частотны««орактеристик 20З спектра когерентпостн. Следовательно, смещение оценки функции усиления уменьшается при выравнивании по гем же причинам, которые указаны в равд.
9.3. !04. ПРИМЕРЫ ОЦЕНИВАНИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В этом разделе мы применим методы, развитые в равд. 10.3, для оценивания частотных характеристик искусственных рядов и рядов, полученных из реальных физических систем. Сначала ыы кратко опишем стадии оцениваиия частотных характеристик. 10.4.1. Практическая методика оцеиивания частотных характеристик Формулы оценивания в дискретном случае.
Вычисления, необходимые для оценнвания частотных характеристик, почти совпадают с вычислениями при оценке взаимных спектров, описанными в равд. 9.3.1. Дополнительно нужны лишь следующие вычисления: 1. Вычисление вь!барочной оценки функции усиления 6())= -" ' ° (!0.4.1) Си (1) 2. Вычисление вь!барочной оценки спектра остаточного шулса Сгг®=Сгг()) [1 — К!г У)3 (1 0.4.2) 3. Вычисление приближенных 100(1 — а) о)о-ных доверительнь!х интервалов для функции усиления / 6(0 '+ 0(0 1г, т-г(1 — а) г, (10.4.3) !г где о — число степеней свободы, соответствующее степени сглаживания выходного спектра, и )г,, г(1 — а) есть 100(1 — а) о1о-ный квантиль г-распределения. 4. Вычтгвление приближенно!х 100(1 — а) о)о-ньсх доверительных интервалов для функции фазы / 1! — К,',О) ~ р, (Г) .+ агсз!п 1г )г, г(1 — а)~ —," ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
