Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 37
Текст из файла (страница 37)
До сих пор мы оставляли в стороне теорию матриц, чтобы свести к минимуму математический аппарат, необходимый для понимания основных идей спектрального анализа. Однако дальнейшее изложение невозможно без использования матричных методов. В равд. 11.1 некоторые из понятий, применявшихся в анализе одномерных и двумерных рядов, заново формулируются в терминах теории матриц. В частности, дается определение матрицы ковариаций временного ряда и показывается, что спектр тесно связан с ее собственными числами.
В равд. 11.2 вводится многомерная линейная система. Линейный многомерный процесс определяется как выход такой системы, когда на ее входы поступают несколько некоррслированных белых шумов. Важными частными случаями многомерных линейных процессов являются двумерные процессы авто- регрессии и скользягцего среднего. В разд. !1.4 изложены основные идеи многомерного спектрального анализа и оценивания многомерных частотных характеристик.
Для изложения этих идей потребовалось заново рассмотреть в разд. 11.3 важнейшие понятия многомерной регрессии и многомерного статистического анализа. Наконец, в равд. 11.5 обсуждаются наиболее важные практические аспекты оценивания многомерных частотных характеристик и приводится пример анализа данных турбогенератора, имеющего два входа и два выхода. Обычно векторы обозначают строчными буквами, а матрицы— прописными, Однако в этой книге мы не сможем всегда пользоваться этим правилом, поскольку строчными буквами мы обозначили величины во временнбй области, а прописными — в частотной. Мы будем обозначать векторы н матрицы жирным шрифтом. По возможности прописными жирными буквами будут обозначаться матрицы, но иногда такие буквы будут относиться и к векторам. Точный смысл обозначения будет ясен в каждом конкретном случае из контекста, В разд.
3.1,5 было показано, что зависяшие от вторых моментов свойства набора случайных величин определяются их матрицей ковариаций (3.!.20). Поскольку случайный процесс содержит бесконечное множество случайных величин, его свойства, зависящие от моментов второго порядка, определяются матрицами ковариаций наборов значений процесса в произвольные моменты времени 1ь ..., 1н. Для дискретного стационарного процесса и для равноотстоящих отсчетов по времени мы будем иметь Соч ]Х (1,), Х(1;)] = о'р (с' — 1), (1 1.1.1) где р(й) — автокорреляционная функция.
Матрица ковариаций, соответствующая Аг таким отсчетам, представляет собой таблицу, в которой на пересечении 1-й строки и 1-го столбца стоит элемент Соч[Х(1г),Х(1!)]. Таким образом, пользуясь равенством (11.1.1), матрицу ковариаций можно записать в виде 1 р(1) р(2) ... р(Аг — 1) р(!) 1 р(!) ... р(йг — 2) р(2) р(1) 1 ... р(дг — 3) 1 (11.1.2) р(Аг — 1) р(11 — 2) р(йг — 3) ... 1 Матрица, обладающая тем свойством, что ее элементы на линиях, параллельных главной диагонали, равны (как, например, в матрице (1!.1.2) ), называется теплицевой. Свойство положительной полуопределенности. Как отмечалось в равд. 3.1.$, матрица ковариаций набора случайных величин является положительно полуопределенной. Следовательно, для любого Аг матрица ковариаций стационарного случайного процесса Ъ'„является положительно полуопределенной, т. е, все главные миноры определителя этой матрицы неотрицательны.
Отсюда следует, что автокорреляции стационарного временного ряда должны подчиняться некоторому множеству ограничений. Например, при )Ч = 2 из ]Уз!)~0 следует, что ! р (1) ! < 1. Аналогично, рассматривая пару случайных величин Х(1), Х(1+ з), получаем для любого з ! р(з)! ( 1. 224 Глава )) Мнстгаыернии( снентраленый анализ Более интересный пример получается при М = 3. В этом случае' ! р(1) р(2) р(1) 1 р(!) ) О.
р(2) р(1) 1 ] Уз]= (1 !.1.3) Как нетрудно проверить, из (11.1.3) следует ] р(2) ](1, — ]]( !. р (2) — р' (1) ] г(1) (!1.1.4) Первое из условий (11.1.4) не добавляет ничего нового, но второе дает ограничение, которому должны удовлетворять р(1) и р(2). Чтобы проиллюстрировать это ограничение, рассмотрим процесс авторегрессии первого порядка, для которого р(2) = р'(1), р(3) = = рз(!) ° т д функция (2) р (2) — р' (1) г (1) для процесса авторегрессни первого порядка равна нулю. Следовательно, когда п(2) отлична от нуля, она дает меру избгаточной корреляции по сравнению с процессом авторегрессии первого порядка.
Таким образом, п(2) можно использовать для проверки возможности описания эмпирического временного ряда с помощью процесса первого порядка (равд. 5.4.3). В более общем случае, рассматривая ]Чн], можно показать,что 11 Чн;~ лежит между — 1 и +1, где ]]Ун]] — алгебраическое дополнение элемента р(й — 1) в матрице Чм Зависящая от А функция п(н) называется частной автокорреляционной функцией. Она обладает тем свойством, что для процесса авторегрессии т-го порядка п(й)~0, й(т, п(й) =О, й ) т. Следовательно, п(й) можно использовать для проверки возможно- сти описания эмпирического временнбго ряда с помощью процесса анторегресспи данного порядка. 11.1.2.
Собственные числа матрицы ковариаций и спектр В этом разделе мы покажем, что собственные числа матрицы ковариаций Чн приблизительно равны значениям спектра мощности на частотах 1гггЧ. Некоторые элементарные свойства собственных чисел и собственных векторов, которые понадобятся в этом разде- ле, изложены в Приложении П!1.1. ( Яа, 1=1, С [!]Х, 1;Х] = 1! Ч!1 = ~ " 1~1, Поэтому преобразование Ут=!]Х, с=1, 2, ..., )((, (! 1.1.7) (1 !.1,8) переводит коррелированные случайные величины Х; в некоррелнрованные величины Уь Далее, дисперсия У; равна Л,— собственному числу, соответствующему вектору 1н Например, при )Ч = 2 собственные числа получаются из уравнения ! — Л р =О, р 1 — Л так что Л, = 1+ р, Лз = 1 — р. Собственные векторы равны (1!.1.10) Следовательно, .у,= (х,+х), 1 У2 У, = — (Х вЂ” Х.) 1 )' 2 Силл П и можно пРовеРить, что У, н Уз некоРРелиРованы и Чаг (Ц = 1 +' + р, Чаг(Уз] = 1 — р.
Обратное (11.1.8) преобразование, а именно Хс =!Й=1иУ~+1пУз+ +1тУн, (11 1 12) показывает, что Х; можно записать в виде линейной функции от некоррелированных случайных величин Уь Наконец, с помощью (3,2.18) дисперсию Х; можно разложить на слагаемые Ф Чаг ]Х,] =. чл 1ОЛ). 1 з* . нтв Линейное преобразование коррелированных случайных величин в некоррелированные. Предположим, что матрица ковариапий случайных величин (Хь Хз, ..., Хн) =- Х' равна Ч.
Рассмотрим линейные функции 1;Х и !)Х от этих случайных величии, где !ь1,— левосторонние собственные векторы матрицы У. Из (П!1.1.7) полу- чаем Глава У 227 Многомерный глектральный анализ (! 1.! .19) 1 р(1) р(2) р(У- !) ! р(!) р (У вЂ” 1) р (У вЂ” 2) %н = от (1 1.!.15) а, аг ... а, ан а,...ак (11.1.21) (%„— гЛ [лл = О, (1!.!.!8) аг аз .. а, У (1) = ~~'.г Хг со 5 2~ф, 1-! )/()) ~ Хг з!п2п~г 1-! (1! .1.22) л-! Собственные числа циклического случайного процесса. В общем случае собственные векторы матрицы ковариаций (11.!.2) случайного процесса зависят от ковариаций очень сложным образом.
Однако ситуация существенно упрощается для периодического,или циклического, процесса с периодом У. Это означает, что х (г) = х (/+ у), и, следовательно, автокорреляции удовлетворяют условию р (й) = р(У вЂ” й). (!1.!.!4) Если циклический процесс построен из обычного процесса с помощью первых У членов, то при У- оо он будет стремиться к атому исходному процессу. Следовательно, при конечном У, свойства циклического процесса будут приближенно совпадать со свойствами исходного процесса. В силу условия (11.!.14) матрица ковариаций циклического процесса имеет вид р (1) р (2) " р (У вЂ” 1) 1 Собственные числа матрицы %„удовлетворяют уравнению где а! = 1 — )н аг = р(1)...
ан = р(У вЂ” 1). Определитель (1!.1.16) называется циркуллнтом. Его можно представить в виде следующего разложения: .—.! =й х.,-,—, (1 1.1.1 7) »-! !-! где о!» = ехр [/(2пк/У)) — один из корней У-й степени из единицы. Подставляя вместо аг их значения в (11.1.!7) и считая, что У = 2п, собственные числа матрицы %к можно записать в виде 2.» = 1+ 2 ~)~~ р(г) соз К +р( 2) сони/г. (1!.1.18) Все собственные значения, за исключением значений с индексами й = У и й = У/2, попарно равны, а именно )!» = )нк». Собственные векторы, соответствующие значениям ).» и )к ю имеют вид 2к» 4к» 1» = [соз, соз, ..., сов 2п/г), х/ 2к» . 4к» !' » = !з!п —, яп — ..., яп2п/г), »/ ' /г/ т.
е. они представляют собой синусоидальную и косинусоидальную волны с частотой [» = 'к/У, /г = О, 1, ..., и. Отсюда, применяя преобразование (11.1.8), получаем некоррелированные величины (/ (г) лл ~ Хг соз —, г = О, 1, ..., и, 2ки /!/ ! !/(1)=~)~~Х,яп —, г'=1, 2... и — 1. 2ки 1 ! Далее, с помощью (11.1.12) находим л л-! Хг — — )~~ (7(г) соз — +~ !/(1) з)п —,,' (11,!.20) и с помощью (11.1.!3) получаем л-! Чаг[Х/] = до+2 ~ )./+/г„. / 1 Равенство (11.1.18) показывает, что при У- оо собственное число )»-и 2Г(/г/У), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
