Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Чтобы проиллюстрировать введенные выше понятия, рассмотрим данные, полученные прн изучении работы электро- станции (рис. 1!.1). Эти данные были профильтрованы с помощью низкочастотного цифрового фильтра Н(г)=[ — (г" + +г+1+г '+ +г '4) ! 49 Выходной переменной была частота турбогенератора г", а вход- ными переменными служили сннфазный ток )б и сдвинутый по фазе )д. Поскольку цифровой фильтр устраняет большую часть мощности на ~астотах выше 1 = 0,04 гц, мы оставили в профиль- трованном ряде лишь каждый двадцатый отсчет. В результате осталось 41 значение.
В модель Хзл — Из = Ь) (Хи — Х,)+ Ьг(Хм — Х,)+Х) входят параметры й) и йг, характеризующие установившиеся усиле- ния, связываю)цне токи )в и )д с Е. Нормальные уравнения (!!.3.5) имеют вид ! 00й 3 = 82,558, 5,8795) + 2,90753 = 1,145, 2,9075) + 43,48853 = 2,033, откуда получаем выборочные оценки: из = 0,8256, й) = — 0,2253 и йг = 0,06!81. Множественный коэффициент корреляции, вычислен- ный по формуле (11.3.14), равен 0,977, а частные коэффициенты корреляции, вычисленные по формуле (!1.3.20), равны)з)!г= — 098 и г,м,= 0,97. Результаты дисперсионного анализа этих данных приведены в табл.
!1.2. Таблица 11.2 Таблица днсперснонного анализа для данных о токах и частоте турбогенератора Источник Истьчнн« Сумма квлдретьв Чнслн степеней свебадм ')нсль степеней свьбедь1 Сумме келлрлтьв 9,1265 3,8958 ! 1,8132 6,5825 38 40 0,3655 16,0745 0,3655 16,0745 38 40 Имеющие г"-распределение отношения, приведенные в табл. 11.2, очень велики. Поэтому можно считать, что вклад обоих токов в прогноз частоты весьма значителен. Это сразу видно и из больших значений частных коэффициентов корреляции. Из табл. 11.2 видно также, что синфазный ток более важен для прогноза частоты, так как соответствующая ему доля уменьшения полной суммы квадратов больше, чем для тока, сдвинутого по фазе.
Это следует из того, что г,з = 0,75, в то время как ггз = 0,49. Однако большая величина частного коэффициента корреляции гм)) = 0,97 показывает, что сдвинутый по фазе ток также вносит существенный вклад в прогноз частоты. 11.3.4. Многомерный анализ, несколько выходных процессов Модель. В предыдущих разделах предполагалось, что имеется лишь одна выходная переменная н несколько входных переменных.
В общем случае будет несколько выходных переменных, так что модель регрессии можно записать в виде Х! !д+и Идр) й)д+)) ! (Ху) Х!) + + й)д+и д (Х)д Хд) + Х1~+!) Х)Мрм Ид+г=й)дег))(Х), — Х))+ ... +Ь)дтг)д(Хм — Хд)+огдчг)), Х! !д+л) Идьс й)дчс) ) (Хи Х)) + ... + 6)дч-г) д (ХМ Х ) + 21 4 г) ). (! 1.3.23) Подгонка сннфазного тока Подговка сдвинутого по фазе тока прн заданном сиифазном Остаточная Полная Подгонка сдан нута гоо по фазе тока Подгонка снпфазного тока при заданном сдвинутом по фазе Остаточная Полная Глава 11 Многомерный спектральный анализ Ч(Ь) = (1 1.3.29) аа <а+г><а+<> С в' С в' ар <д+г) <а+г) ' ' ' ад <а+г) <а+г) Раздел статистики, в котором рассматриваются модели вида (11.3.23), называется многомерным статистическим анализом.
Такой анализ изложен в (1]. Нормальные уравнения. Можно показать [1], что выборочные оценки параметров, минимизирующие определитель матрицы выборочных ковариаций, совпадают со значениями параметров, минимизирующими по отдельности остаточные суммы квадратов '>, хг, й = <1 + 1, <) + 2„ ..., <1 + г. м Это означает, что во всем, что касается оценочных уравнений, многомерный анализ сводится к <1 отдельным схемам многомерного регрессионного анализа. Отсюда с помощью (1!.3.5) получаем нормальные уравнения Сррй>к=с+к, й=1, 2, ..., г. (1!.3.24) Уравнения (11.3.24) можно записать после транспонирования в виде одного матричного уравнения йс;,=С;„ (11.3.25) где С вЂ” матрица ковариаций входных переменных, имеющая размеРы <1 Х <1, а С,г — матРица взаимных коваРиаций входных и выходных переменных, имеющая размеры <) Х г.
Пример Рассмотрим систему с двумя входами и двумя выходами, в которой Х<з — »з — йз> (Хи — Х) ) + Ьзг (Х<г — Хг) + Хз<, Х<4 рд — йм(Х<, — Х))+ Ьлг(Хм Хг)+Хи. Выборочные оценки >ь и >>4 равны >>з = хз ><4 х< а нормальные уравнения имеют вид (:.",:.")(.".)-(:.".) (:.",:.")(".) =(:.".) или в единой матричной форме (11.3,25) Матрица ковариаций остаточных ошибок. Так как с помощью модели (!1.3.23) описываются системы со взаимодействием между входами, естественно считать, что случайные величины Л<д+з)<, Х<рдл< коррелированы в одинаковые моменты времени и имеют мат- РицУ коваРнаций с элементами вгг СоответствУющаЯ матРице Ч, матрица выборочных коварнаций имеет элементы зг > '<д+г) <а+<) = у .~~ 2<два) <й<ав<) < = « > ь1 ЛЫ ]Х< <а+Ю й<д+Ы >Хи 5<а+Ы д Х<д] Х < ) Х (х) <д')<) й<д'< и )хи 5<а+<> ах<а] (! 1 3 26) Равенства (11.3.26) можно упростить с помощью нормальных уравнений (!!.3.24), что дает е<д+м <дал = ем+а> <ан> й<а+м >~) <дн> м+и газ<а+и ' " <а+а> дед<а;и (11.3.27) Матрица ковариаций оценок.
Поскольку нормальные уравнения получены при отдельном рассмотрении каждой нз регрессий в (1!.3.23), из (П4.1.9) следует, что матрица ковариаций оценок параметров, входящих в какое-нибудь одно из уравнений (! 1.3.23), равна Ч ]й + г] = (Х'Х) ' од, < +, = С,'в,', < С помощью (1!.3.24) остальные коварнации оценок параметров, входящих в разные уравнения (11.3.24), можно найти из равенств Е>йгд+г>Ьр+<]Е[(ХХ)Хх)+гх)<<Х(ХХ)1(ХХ)о<д+а)<д+и (11.3.28) Отсюда матрицу ковариаций оценок всех параметров, имеющую размеры <)г Х вг, можно записать в виде С в' С в' <а+О <а+» аа М+>) <р+г) ' ' ' др <а+)) <а+г> С С вг С ог аде<а+г) <д+0 ар <д+г) М+г> ' ' аа <р+г) <а+г) ) где" = ()га-и )>д+г,...,!>д+г).
Матрицу (11.3,29) можно компактнее записать в виде прямого произведения матрицы входных ковариаций Сдд и матрицы ковариаций остаточных ошибок Схз 'Ч (!)) = Сдд <с> Схх, (11.3.30) Глава 1! 223 гмнвео,иерньш гпектральньгй ана,газ 252 Выборочную оценку матрицы (1!.3.30) можно получить, если заменить а', в (11.3.29) на выборочные оценки (11.3.27). С помощью (11.3.30) можно получить доверительную область для полного вектора параметров )3' (!3 — Ь)'Ч (Ь) (!3 — Ь) ( ~„32~во 4 4н ! Ю (1 — а).
(11,3.31) Пример. Для упоминавшейся выше системы с двумя входами и двумя выходами выборочная матрица ковариацнй остаточных ошн- бок из (!1.3.27) равна зг Гс — йс — йс 34 [ 33 31 13 32 23 34 31 14 32 24 44 43 4! 13 42 23 44 Ц 14 42 24 Чее 2 Матрицы коварнаций оценок параметров, входящих либо в одно уравнение, либо в другое, по отдельности равны !' Е,! Е211 !' ец ец '] 31 !3 ЗЗ' 1 4! !3 44г а, а- ГДЕ 3Г3 = С С вЂ” С' .
» 22 12' Отсюда Чаг ]йц] =+' озц ]Г13!] = 1' 33, Соч 463! 632] пзз СоЧ !64!~ 642] = 0 а44 Соч[6 6 ]= — ма', 421 П 44' Соч!632 63!]= 0 'ззз 32] О 33' Далее, матрица ковариаций оценок всех параметров (11.3.29) равна Соч [63!г йз!] Соч [йз1, йм] Соч [йз1, 64!1 Соч [631, 6421 ч(ь) = Соч [633. 6м] Соч [632, йзг] Соч [йм, йц] Соч [6„, йм] Соч [64 63 ] Соч [64, 6 ] Соч [й41, 6ц] Соч [йц 64 ] Соч [642, 63,] СОч [64м 634] Соч [й4гь йц] Соч [йм, йм] И наконец, выборочная оценка матрицы Ч(!3) дается равенством ( ! 1.4.2) С11533 с 3' 1! 43 Ч()4) = с„(Вч„=— смззз ! С2!3243 С»334 2 С1!344 2 С„З34 Сг!344 с„з 2 2 С!2343 г 22 33 С22343 С 12334 2 2 С!2З44 г С22334 г С223 44 11.4. МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ В этом разделе мы обобщим методы разд. !1.3 таким образом, что их можно будет применять в частотной области.
Имеются два основных отличия моделей, используемых в этом разделе, от моделей равд. !!.3. Во-первых, модели разд. 11.3 описывали регрессии и корреляции в одинаковые моменты времени, так что они фактически описывали лишь свойства установившихся значений системы, В этом разделе мы рассмотрим динамические модели, являющиеся обобщением моделей предыдущего раздела. Во-вторых, в разд, 11.3 предполагалось. что шум (остаточные ошибки) является белым. В настоящем же разделе шум может быть совершенно произвольным стационарным процессом.
11.4.1. Анализ многомерных частотных характеристик, единственный выходной процесс В этом разделе мы покажем, как можно оценить частотные характеристики модели Х! +» (!) — !3! 4» —— ] й! ь» ! (и) [Х! (! — и) — Х!] 4(и + ... ..
+ ] й!вь»4(и) [Х (! — и)+Х ]4(и+3(!), (11.4.1) которая является динамическим обобщением модели установившихся состояний (11.3.!). Для того чтобы не усложнять изложение основных идей анализа, мы предположим, что имеются записи бесконечной длины единственного выходного процесса Х444п(!) и 4) вход. ных процессов. Чтобы еще более упростить задачу, рассмотрим частный случай, когда число входов д равно 2. Действуя так же, как и в Приложении Пб.!, можно показать, что выборочные оценки функций отклика на единичный импульс йз!(и) и йзг(и), дающие минимальнУю сРеднеквадРатичнУю ошибкУ, должны удовлетворять системе уравнений Винера — Хопфа У!3(а) ] йл (с) ч» (!4 ") его+ ~ йзг(") Ум(а — и) гзс, Угз(!4) = ] йз! (С) Уг! (!! С) г(о+ ] йзг(о) 722(и — 11) 4!ш Заметим, что уравнения (11.4.2) можно получить также, умножая все члены равенства (1!.4,1) сначала на Х1(! — и) — Х! и беря ма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
