Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 42
Текст из файла (страница 42)
<многомерный сненгралзный анализ Глаза 11 254 (1 1.4.3) (1 !.4.4) где (Л<згзз+ Ч'22Ч212 — Л22Лм) 31 (Г11Г22 1 Г (2) В (з( <згзз ! 22Л<2 Л22Ч 12) Вз< = (гнгм ~ Г„р) (1 !.4.6) (11.4.7) где величина тематическое ожидание, а затем на Хз(1 — и) — Хз и также беря математическое ожидание. Взяв от (1!.4.2) преобразование Фурье, получим уравнения в частотной области Гц (!) = Нм ()') Г ц (7) + Нм (!) Г<2 (1), Г„(7) = Н„(7) Г„(7)+ Н.
(7) Гм~. Решая эти уравнения относительно Нз<(!) и Нзз(7), получаем следующие выражения для частотных характеристик, включающие авто- и взаимные спектры: Н 7 !'12 (О Гзз И) — Гзз И) Гм (О Гп О) Г„Д) — ) Г„Д) Р (21 )зз(О)11(О )зз(У)(м(О Г„ (1) Г„ (!) - ! Г„ (!) (2 Чтобы получить выражения для функций усиления н фазы, нужно взять модули и аргументы комплексных функций (!1.4.4), Например, бз< — — УА2 + В'„, Чм = агс!П ( — — „" ), (1!.4.5) АЗ< Для <1 входов уравнения (11.4.2) имеют вид 21~ ц(а) = )г Че (а — о)Ь< чц(о)а<о, з где У< +п(а) — имеющаа поРЯдок <1 + ! матРичнаЯ коваРиационнаЯ фУнкциЯ одного выхода и <1 входов,Ь<' ц — — (й< ц„й<еепз й< ц ), а Ч, (и) — матричная ковариационная функция входов.
Взяв преобразование Фурье от (11.4.7), получаем Г<„ц (О = Г„(7) Н„,ц (!), (1 1.4.8) где Г< ли(7) — вектор взаимных спектров выхода Х<о+ц(() и входов, Г (() = спектральная матрица входов и В,'ез.ц(0 =(Н<ееп<(0 Н, (!), ..., Н, ц (()). РешаЯ эти УРавнениЯ и беРЯ модУли и аргументы решений, как это делалось выше, можно найти функции усиления и фазы. 11.4,2. Спектр множественной когерентностн В этом разделе мы дадим определение спектра множественной когерентности. Он является частотным аналогом множественного коэффициента корреляции, введенного в разд.
11.3.2. Прежде всего необходимо вывести выражение для спектра шума (или остаточных ошибок), которое необходимо для получения выборочных оценок функций усиления и фазы и само по себе представляет значительный интерес. Спектр остаточных ошибок. Чтобы вычислить спектр остаточных ошибок Ггг® в модели (11.4.1), необходимо найти их автоковариационную функцию.
Действуя так же, как и в равд, 11,3,2, находим, что автоковариационная функция процесса Е(1) равна "згг(и) =у< ем <2+,)(а) — )( ь< 2 01(о)у< +ц,(и — о)<(о— о .~ й<е+ц е (о) у<а+и е (а — о) до. о Взяв от этого выражения преобразование Фурье, получим спектр остаточных ошибок Г„(7) =Г„„, <„,)(7)-Н„,ц,(ДГ„,ц,(7) ° ° ° — Н< +ц е (7) Г<д+ц е (7), (1!.4.9) что является частотным аналогом выражения (11.3,7), Квадрат спектра множественной когерентности. Действуя так же, как и в равд.
! 1.3.2, выражение (11.4.9) можно записать в виде Ггг(7) =Гм+ц <е+п(7) (1 — хазен <2 „, р(()) (11.4.10) называется квадратом спектра множественной когерентности выходного процесса и <) входных процессов. Спектр множественной когерентности дает долю спектра выхода, которая может быть предсказана по входам. Как показывает равенство (11.4.10), оставшаяся доля (1 — х,' ам,(7)~ спектра выхода представляет собой шум. Подставляя в (!!.4.9) выражения (1!.4.8) для частотных характеристик, мы получим другую форму записи квадрата спектра ло7 Мноеомерньза спектральный анализ Глана Н множественной когерентности, аналогичную записи (1!.3.!1), а именно х' (1) = 1 — . (11,4,11) х3оо1312 ° о Гы«1) ( .
о (В ! Гм (В ! ' В (11.4.11) Г1о„,х ы)([) — спектральная матрица всех (а + 1) переменных, а Г (1) — спектральная матрица а входных переменных. При а = 2 равенство (1!.4.!1) запишется, если опустить аргумент 1, следующим образом: à Äà Ä Г„ Г„ Г31 1 32 ГЗЗ зы Гзз ) Г„ Г2! Г22 (!1.4.12) что соответствует выражению (!1.3.14). Если разложить определитель в (!!.4.12), то получим ГЗ, (Гз1(~н-Ги !132 Р зпе !Г12ГЗЗГ31! (11.4.13) Гзз (Г11Гм !1 о ! ) где действительную часть це[Г12ГззГ21 [ = Л12ЛЗЗЛ13+ ЛмЧзз 1 1з Ч212ЧтззЛ12+ Ч'1 ЧтмЛзз (!! .4.14) можно выразить через коспектры и квадратурные спектры этнзх трех процессов.
11.4.3. Взаимные спектры частной когерентности и фазы в,(1) =(Х,(1) — р,) — ) йзз(и)(ХЗ(1 — и) — Рз) й Как и в анализе множественной регрессии, полезно знать взаимный спектр выходного и одного из входных процессов после учета влияния остальных входных процессов. Эта задача приводит к понятию взаимного спектра частной корреляции, который является частотным аналогом частного коэффициента корреляции (11.3.21) .
Чтобы проиллюстрировать основную идею изложения, предположим, что имеется все~о две входные переменные. Обобщая методы разд. 11.3.3, будем считать, что выход Хз(1) предсказывается сначала только по прошлым значениям процесса Хз(1), что дает остаточную ошибку где азз(и) — решение соответствующего интегрального уравнения Винера — Хопфа. Аналогично прогноз входа Х,(1) только по прош- лым значениям Хз(1) приводит к остаточной ошибке ез(1) =(Х,(1) — 61) — [ д12(и)(ХЗ(1 — и) — р,) йи.
о Взаимная частная ковариационная функция. Теперь можно определить взаимную частнузо ковариационную функцию между Х1(1) и Хз((+ и) после учета влияния Хз(1) следуюшим образом: у, (и) — Сои [е ((), е (1+ и)[— = узз(и) — [ йм(о) 212(и — о)е(о — [ дзз(о) узз(и+ о) йо+ о о + [ [ 012(о)Йзз(ш)ум(и+о — ш)йойиз. (1 1.4.15) о о Взаимный частный спектр. Взаимный частный спектр можно получить, если взять преобразование Фурье от (11.4.15) н заменить 61» на Г121Г22, а злзз на Гзз/Гзз.
В результате получим ([) 1 ([) Гзз (!) 112 (1) Гзз (!) (!1.4.16) Нормированный взаимный частный спектр (1) и!2 (1) '2 (1)) зз (О (1 — хз (т)) (11.4.17) получается нз (11.4.16) с помощью соответствующей нормировки. Спектр частной когерентности. Квадрат спектра частной когерентности равен квадрату модуля величины хзз!2(1). Проще всего его вычислить, используя спектральный аналог равенства (11.3.22), а именно ! — хз (7) = -"Ззза 1 — хтз (1) (11.4,!8) Коэффициент хзз!2(1) равен квадрату коэффициента корреляци 1 двух процессов «на частоте 1» после учета влияния процесса Хз(1). 9 Зак.
11то Частный фазовый спектр. Частный фазовый спектр равен аргументу комплексного выражения (1!.4.16) или выражения (11.4.!7). Глава 1! сьсноголсоьсньссг гагнтдальньссС оналао Его можно записать в виде ср~з~д11)=асс(к~ л ~ - ч ~,р л г 1' (11.4.19) Аналогичные выражения для квадрата частной когерентности н,'„»(1) и частной фазы срз» можно получить с помощью перестановки индексов в (!1.4.18) и (11.4.19). Следует отметить отличие частной фазысрм1«(1) от фаз грос(1) и срьд(С), полученных из частотных характеристик модели (1!.4.1). Фаза ср«1(1) является мерой фазового сдвига между Хс(1) и Хь(1), когда Х,(1) изменяется по синусоидальному закону, но Хд(1) не меняется.
А частная фаза срез!о(с) является мерой «непосредственного» фазового сдвига между Хс(У) и Хз(с), после того как учтены фазовые сдвиги между Хв(1) и Хь(1) и между Хд(1) и Х,(1). В случае когда имеется только одна входная переменная, частный фазовый угол равен обычному фазовому углу.
Для сс входов взаимный частный спектр является частотным аналогом (11.3.21), а именно пс,ьссь(В кс „сы ! х (() = ]с пмн и сдн о (" зы «1 (!1.4.20) где яс,„ — соответствующий элементу Гс, минор спектральной матрицы всех (с) + 1) переменных. Из (!1,4,20) можно получить частные спектры когерентности и фазы. Резюме. Как и при анализе двумерных временных рядов, основной интерес для иас представляют различные виЛы спектральных оценок: либо для случая, когда ряды находятся в одинаковом положении по отношению друг к другу, либо же когда некоторые из ннх являются входами, а остальные — выходами физической системы.
Если все ряды равноправны, то основной интерес представляет спектр множественной когерентности. Кроме него, обычно вычисляют еще спектры частной когерентности и фазы для некоторых отобранных пар переменных. Если же часть рядов представляет собой входы, а остальные ряды — выходы некоторой физической системы, то самая важная часть анализа заключается в оценивании частотных характеристик системы. Другую важную выборочнусо оценку представляет собой спектр остаточных ошибок, описывающий шум в системе. В этом случае спектр множественной когерентности интересен лишь постольку, поскольку от него зависят доверительные интервалы для функций усиления и фазы. Оценивание спектра множественной когерентности обсуждается в равд. 11.4.5.
Доверительные интервалы для функций усиления и фазы выводятся в разд. 11.4.6. 1!.4.4. Анализ многомерных частотных характеристик; несколько выходных процессов Модель. В этом разделе мы перенесем в частотную область многомерный анализ, которьш для временпбй области был изложен в разд. 11.3.4. В качестве обобщения модели установившихся состояний (11.3.23) рассмотрим динамическую модель хс н.,>(1) — р,,вы= ] !з(и)]хд(! — и) — х ]сси+хс,ы(1), (!1.42!) где хсд„,о(1) — вектор выходных переменных, х,(1) — вектор вход- ных переменных и хсдв„~(1) — вектор переменных шума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
