Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 46
Текст из файла (страница 46)
+ а,нгн, = ),гггг аг,г,г + а>>гм + ... + ааягн! — — А!ге!, ак,гн+ акггтг+ + аннгга =)пг.тч. Геохтетрически (П!1.1.1) означает, что в Аг-втернов! векторном пространстве векторы гь г = 1, ..., Аг, инвариантны при линейном преобразовании А.
Инвариантным правосторонним векторам г;соответствуег двойственная, или сопряженная, система векторов 1т, удовлетворяющих левосторонним уравнениям 1;А = А>1;. Можно показать, что левосторонние векторы ортогональны к правосторонним. Умножая справа (П11.1.2) на г„, получаем 1;Аг! = Л,1;гг Отсюда с помощью (П!1.1.1) ().
— А ) 1;.г! = О. Предполагая, что собственные значения различны, отсюда получаем 1;.гг =- О, если Г:Ф:/, 1;.г,. эг= О, если !' == 1'. При соответствующей нормировке векторов будем иметь Гг.=1, г г 28! Глана Н Лзноголерный спектральный' аналгга т. е. правосторонние и левосторонние векторы ортонормальны Если собственные векторы объединить в матрицы Е и И Е=(1„12, ..., !н) и И=(гь ..., гн), у которых столбцы образованы соответственно левосторонними и правосторонними векторами матрицы А, то приведенные выше условия ортонормальности можно записать в виде Е)к =1, (П !1.!.3) где 1 — единичная матрица, имеющая на главной диагонали еди ннцы, а на остальных местах нули. Симметричные матрицы.
Матрица ковариаций набора действительных случайных величин действительна н симметрична. Поэтому се собственные значения действительны, собственные векторы ортогональны и, следовательно, матрицы ь и гк являются ортогональными. Из последнего свойства следует, что различные векторы, инварнантные при преобразовании, ортогональны. Чтобы показать это, удобно записать равенства (П1!.1.1) и (П11,!.2) в матричной форме АЙ=ИЛ, (П 1 !.1.4) где Л вЂ” диагональная матрица, образованная собственными значениями. Лналогичпо, Е'А = ЛЕ'. П!!.1.5 ( ) Транспонируя матрицы в (П!1.1.5) и пользуясь тем, что А' = А н Е' = !и получаем А!.' = !.'Л. Сравнивая это равенство с (П!1.1.4), находим И = Е', и (П11.1.3) переходит в И.' =! = И'И, (П ! !.1.5) т.
е, собственные векторы ортогональны. Отсюда, умножая (П11.1.4) слева на И', получаем И'АР, = И'!!Л = Л. (П 1 1.1.7) Геометрический смысл равенства (П1!.1.7) для симметричной А состоит в том, что квадрзтнчная форма у Ау=С (П! 1.1.8) задает в многомерном пространстве поверхность эллипсоида,оси которого проходят через начало координат. После преобразования у = !(х (П11.1.9) равенство (П.11.!.8) переходит в х'(('АИх = С, т. е. х'Лх = С или Х Х2+ х х22+ ° ° ° + Хнхи = С Следовательно, эллипсоид преобразуется к каноническому виду с помощью преобразования (П11.1.9), а собственные значения равны квадратам обратных длин главных осей эллипсонда ПРИЛОЖЕНИЕ П!12 ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА ВЫЧИСЛЕНИЙ ПРИ ОЦЕНИВАНИИ МНОГОМЕРНЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Ниже приводится логическая схема вычислительной программы М~З).ТВРЕС, входными данными для которой служат выборочные оценки ковариаций двух входных рядов Х!(!), Х2(!) и двух выходных рядов ХЗ(1), Х4(!).
Программа вычисляет частотные характеристики Н31, Н32, Н41, Н42, связывающие эти ряды. Предусмотрен вывод на печать основных функций, но более важнымн являются графики этих функций. Вывод на график состоит из всех автоспектров (в логарифмическом масштабе, в зависимости от частоты); обоих спектров остаточных ошибок (в логарифмическом масштабе, в зависимости от частоты); квадратов спектров всех полных и частных когерентностей и графинов всех функций усиления и фазы, причем для каждого спектра на одном рисунке строятся графики, соответствующие всем выбранным точкам отсечения. Программа МБЕТВРЕС 1) Ввести )Ч, МЛХМ, НЕ, Г!Е1.ТЛ, М.
2) Ввести СОЧ(К, 1, !), К = О, МАХМ, ! = 1, 2 3) Вычислить автоспектры ЬРЕС(К, 1), К = О, !чГ, 1 = 1, 2 с помощью подпрограммы ЛУТОВРЕС (приложение П7.1). 4) Произвести считывание массива СОЧ(К, 3, 3), К = О, МАХМ, 5) Вычислить 5РЕС(К, 3) с помощью подпрограммы Л()ТОВРЕС. 6) Произвести считывание массивов СОЧ(К, 1,2), СОЧ(К,2, 1), К=О, МАХМ, со сдвигом 812, СОЧ(К, 1, 3), СОЧ(К, 3, 1), К=О, МАХМ, со сдвигом 813, СОЧ(К, 2, 3), СОЧ(К, 3, 2), К=О, МАХМ, со сдвигом 823.
7) Воспользоваться подпрограммой ЕЧОО (Приложение П9.2) для вычисления четных и нечетных частей. 282 Глаза 11 51наголчсрньм снентральниа анализ 283 8) Вызвать подпрограмму СКОЯРЕС (Приложение П9.2) для вычисления СОЯРЕС(К, 1, 2), 1,1ЯРЕС(К, 1, 2) Я1~(К 1 2) СОЯРЕС(К, 1, 3), »ЗЯРЕС(К, 1, 3), ЯО(К„!, 3), СОЯРЕС(К, 2, 3), ОЯРЕС(К, 2, 3), ЯЯ(К, 2, 3). 9) Вычислить РЕМОМ(К) = ЯРЕС(К, 1)» ЯРЕС(К, 2)— ЯО(К, 1, 2).
!0) В!язвить подпрограмму ЕМРА!.1.. 11) Заполнить для последующего вывода па график все те вели- чипы, выдаваемые подпрограммой ЕМРА1.!., которые отмечены звездочкой на полях. 12) Произвести считывание СО!7(К, 4, 4), К = О, МАХМ. 13) Вычислить с помощью подпрограммы А!)ТОЯРЕС величины ЯРЕС(К, 4). 14) Произвести считывание СОЧ(К, 1, 4), СОЧ(К, 4, 1), К = О, МАХМ, со сдвигом Я!4, СОт?(К, 2, 4), СОт?(К, 4, 2), К = О, МАХМ, со сдвигом Я24. Повторить пункты 7 — 11, затем произвести считывание другого значения М и воспользоваться хранящимися в памяти автоковариациями, а также четными и нечетными частями взаимных ковариаций для вычисления с помощью подпрограмм АПТОЯРЕС, СКОЯРЕС и ЕМРА(.!.
функций усиления, фазы, квадратов спектров когерентностей н спектров остаточных ошибок. После того как все выбранные значения М использованы, построить и расположить все логарифмические спектры, все фазовыс спектры и квадраты спектров когерентностей в зависимости от частоты, а все логарифмы функций усиления в зависимости от логарифма частоты. Подпрограмма ЕМРАП. Эта подпрограмма вычисляет функции усиления и фазы, полные и частные когерентности и спектры остаточных ошибок.
Если опустить индекс К, то формулы для вычислений будут выглядеть следующим образом: А31 = СОЯРЕС (1, 3) ь ЯРЕС (2) + С)ЯРЕС (2, 3) е ОЯРЕС (1, 2)— — СОЯРЕС(2, 3) *СОЯРЕС(1, 2). Я С)А 31 = А 3! . »1 31. В 31 = 11ЯРЕС(1, 3) ь ЯРЕС(2) — (ЗЯРЕС (2 3) ь СОЯРЕС(1, 2)— — СОЯРЕС(2, 3) * б)ЯРЕС(1, 2). Я(;!В 31 = В 3! ь В 31. в РНАЯЕ 3! = АКСТАМ( — В 31/А 31). ОА1М 31 = Я(еКТ (Я14АЗ! + Я1;1В31)/РЕМОМ. ПРИЛОЖЕНИЕ П!1.3 ДАННЫЕ ДЛЯ ПРИМЕРА С ТУРБОГЕНЕРАТОРОМ Таблица ППлп? 100 значений нз данных турбогенератора в условных велнчннах 1,16 0,59 0,54 0,69 1,13 0,59 0,62 0,72 1,07 0,65 0,60 0,76 0,99 0,76 0,54 0,74 1.15 0,58 0,50 0,71 0,92 0.89 0,60 0,65 0,95 0,85 0,65 0,69 1,08 0,58 0,58 0,81 0,97 0,60 0,65 0,96 1,00 0,30 0,46 050 0,81 0,30 0,50 0,48 1,03 0,37 0,41 0,50 1,05 0,44 0,38 0,52 0,92 0,27 0,50 0,49 1,05 0,48 0,34 0,47 1,10 0,60 0,33 0,44 1,04 0,45 0,36 0,52 1,09 0,73 О,зз 0,47 0,52 О,?5 0,16 0,46 0,77 0,21 0,58 0,64 0,18 0,66 0,50 0,18 0,43 0,42 О,бб О,'?О 0,24 0,26 О,б! 0,56 0,19 0,46 0,72 0,28 0,47 0,72 0,40 0,19 Отклонеанн сннфазного тока АКСОМ 31= ЕОС !0(ОА!М 31).
А32=СОЯРЕС(2,3) ьЯРЕС(1) — СОЯРЕС(1,2)ьСОЯРЕС(1,3)— — С!ЯРЕС(1, 2) * ЯЯРЕС(1, 3). Я4;1А32 = А32 ь А 32. В 32 = 4~ЯРЕС (2, 3) * ЯРЕС(1) — СОЯРЕС (1, 2) ь ЯЯРЕС (1, 3) + + СОЯ РЕС (1, 2) ь ОЯ РЕС (1, 3). Я Я В 32 =- В 32 ь В 32 РНАЯЕ 32 = АКСТАМ ( — В 32/А 32). ОА!М 32 = ЯОКТ (ЯОА 32 + ЯЯВ 32)/РЕМОМ. 1.0ООМ 32 = 1.00 1О (ОА1М 32). СОНЯЯ(1, 3) = ЯЯ(1, 3)/(ЯРЕС(1) ь ЯРЕС(З)). СОНЯ(1 (2, 3) = ЯО (2, 3)/(ЯРЕС(2) * ЯРЕС(3) ). К = СОЯРЕС (1, 2) * СОЯРЕС (2, 3): СОЯ РЕС (1, 3) + + СОЯРЕС (1, 2) ь ОЯРЕС (2, 3) " 148 РЕС (1,3)— — (!ЯРЕС(1, 2) ь ЯЯРЕС(2, 3) * СОЯРЕС(1, 3) + + ()ЯРЕС (1„2) ь 1йЯРЕС (1, 3) ь СОЯРЕС (2, 3). СОНЯ!! = (ЯРЕС(2) * ЯО(1, 3) + ЯРЕС(1) * ЯО(2, 3)— СОМР = 1 — СОНЯМИ.
— 2 ь К)/(ЯРЕС (3) ь РЕМОМ). КЕЯ1Р =- СОМР * ЯРЕС (3). 1.ООКЕЯ! Р = 1.ОО 10 (КЕЯ1Р). СОН 132 = 1 — (СОМР/(1 — СОНЯ О (2, 3))). СОН 23! = 1 — (СОМР/(1 — СОНЯЯ(1, 3))). Продолжение табл. П75!. УКАЗАТЕЛЬ вЂ” 1,04 0,12 0,98 — 0,64 0,68 1,09 0,84 — 0,55 0,72 1,00 0,68 -0,31 0,82 1,!7 0,74 — 1,01 0,32 1,10 -О,'Э2 — 0,02 0,91 0,96 — 0,46 0,77 1,06 0,63 — 0,75 — 0,14 0,87 1,18 — 0,83 0,54 1,17 0,80 0,60 0,64 О 29 1,!О 1,41 1,13 0,41 1,49 1,39 1,04 0,67 1,47 1,04 0,93 0,52 1,49 1,26 0,98 О,!7 1,22 1,41 1,25 0,38 0,86 1,60 1,21 0,67 0,80 1,64 0,99 0,17 1,01 1,46 1,31 0,81 0,77 154 0,89 0,86 0,79 0,38 036 0,79 0,67 0,37 0,80 0,53 0,33 0,91 0.44 0,26 1,10 1,26 1,26 0,32 0,40 1,10 0,29 0,47 0,92 0,34 0,45 0,43 0,25 0,39 0,31 — 2,39 — 2,22 — 2,26 -2,26 — 2,50 2 а1 — 2,20 -2,19 — 2,43 — 2,20 — 2,!8 — 2,15 -2,08 — 2,25 — 2,21 -2,27 — 2,22 — 2,25 -2,28 — 2,49 — 2,23 — 2,16 -2,13 — 2,11 — 2,30 — 2,22 — 2,25 — 2,10 — о о! — 2,22 -2,28 — 2,37 — 2,22 — 2,21 — 2,25 — 2,28 — 2,30 — 2,'!5 — 2,22 — 2,32 -2,30 — 2,26 -2,20 — 2,33 — 2,28 — 2,22 — 2,19 — 2,23 — 2,27 — 2,23 — 2,06 — 2,25 — 2,22 — 2,23 — 2,23 — 2,91 — 2,23 -2,2! — 2,27 — 2,33 — 2,34 — 2,26 — '2, 14 — 2,17 — 2,32 — 2,26 — 2,10 — 2,26 — 2,25 — 2,15 — 2,32 -2,!7 — 1,78 — 2,14 — 2,28 — 1,98 — 2,14 — 2,20 — 1,78 — 2,24 -2,20 — 1,77 — 2,30 — 2,07 — 1,83 — 2,28 — 2,05 — 1,82 — 2,10 — 2,26 — 1,90 — 2,09 -2,22 — 1,83 — 1,77 4,77 4,99 500 5,01 4,75 4,94 5,00 5,06 4,75 4,96 5,01 5,04 4,78 5,05 5,00 4,99 4,76 5,11 5,01 4,97 4,81 5,11 5,04 4,99 4,75 4,84 5,10 5,09 4,74 4,88 5,05 5,06 4,75 4,8 1 5,10 5,09 5,00 4,88 5,20 5,!0 6,10 Б 11 4,96 5,16 4,8 1 5,24 5,14 5,10 4,79 5,20 5,10 5,!5 5,01 4,90 5,2 1 6,09 4,97 5,00 аг 20 5,1 1 4,81 5,!5 5,15 5,10 4,88 6,1! 5,15 5,08 4,79 5,20 5,! 1 5,15 4,85 5,20 5,10 5.15 Теорема Слуцкого Ю Устойчивосп, 27, 29 Утечкз 33 5,!0 4,90 5,16 5,11 4,95 5,19 5.10 4,94 5,19 5,16 5,08 4,97 5,10 б,об 4,93 5,10 5,01 5,08 4,90 5,21 4,90 Б,20 Отклонения чцс таты Отклонения тока, сдвкиупого по фазе Опслокеккя напряжения Автакаварнационные Функции 88 Анап«э чзстотвых характеристик 203 Быстрое преобразование Фурье !БПФ) 68 Взаимные козариацнонвые Функции 80 — — — выборочные 93 караеляционные функции 81.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
