Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Например, для с! = 2 входов и с = 2 выходов модель (11.4.21) можно запи- сать в виде Х, (1) — рл = ]с Ьо, (и) ]Х, (! — и) — Х,] с(и + + ~ Ь„г (и) ]Х, (! — и) — Хд] с)и + Яз (1), Х,(У) — р, = ~ Ь„(сс)]Х, (! — сс) — Х,] с(и+ + ~ Ь,(и)]Хо(! — и) — Хд]ассс+2 (1). (!1.4.22) Как и в предыдущем разделе, предположим сначала, что имеют- ся записи бесконечной длины для всех входов и выходов. в~ ! «иоа1. Этот процесс приводит к системе уравнений вида (11.4.7), а именно Уыьы(и)= ~ у„,(и — о))ссдьы(о)аси, Ь=1, 2, ..., г. (!!.4.23) Оценочные уравнения. Как и в разд. 1!.3.4, выборочные оценки функций отклика на единичный импульс Ь;,(и), минимизирующие среднеквадратичную ошибку, можно получить, минимизируя по отдельности среднеквадратичные ошибки Глава !! 26! Мнагалгврный енгнтральиьш анализ Эти уравнения можно записать в виде одного матричного уравнения ув,(и) = ]г у„(и — о) Ь' (о) ь(о, (1 1.4.24) где уа„(и) — матричная взаимная ковариационная функция между г! входами и «выходами, )з(и) — матрица откликов на единичный импульс и у,а — матричная ковариационная функция входов.
Взяв преобразования Фурье от (11.4.23), получаем оценочные уравнения для частотных характеристик Ггв+л! (!) = 1 ив(!) Нм+ь! (!), lг = 1, 2, ..., г. (1!.4.25) Как и (11.4.23), уравнения (11.4.25) можно записать в виде одного матричного уравнения Г„У)=Г„([) Н ®. Спектральная матрица остаточных ошибок.
Кроме оценивания матрицы частотных характеристик, нужно еще охарактеризовать свойства шума. Для этой цели вычисляется спектральная матрица Ггг остаточных ошибок, или шума, элементами которой служат авто- и взаимные спектры Глг(!) процессов г.ь(!) и Ег(!). Действуя так же, как и в равд. 11.3.4, находим корреляционные функции (11.4,26) уг г (и)=у„„„„„п(и) — ] Ь„ы(о)ум „,(и — о)г!о — ... Ц вЂ” [ йг „.ю (о)уг ьи (и — о)в'о. (11.4.27) 1 „([) = Гьа.„и !вз йД) — Н (7) Г'„([).
(11.4,29) Отметим, что с помощью равенства (11.4.29) можно вычислить спектральную матрицу остаточного шума, если известны матрица частотных характеристик Н(7), теоретическая спектральная матрица Гьве,х,ео(!) всех переменных и теоретическая спектральная матрица взаимных корреляций входов и выходов Га,(!). Соответствующая задача оценивания рассматривается в равд.
11,4,6. Взяв преобразования Фурье от (11.4.27), получаем авто- и взаимныс спектры Г«г, (г) = Г(аем (аеп (!) Н!а~юг (ь) Гьаев г ([)— Н<веы в(7) Гьаеп в (О (11.4 28) Равенства (11.4.28) можно объединить в одно матричное равен- ство 1!.4.5. Оценивание многомерных спектров В равд. 11.4.2 п 11.4.3 было показано, как вычислить спектры множественной и частной когерентностей, зная авто- и взаимные спектры входов и выходов. В этом разделе мы рассмотрим задачу оценнвания этих спектров по записям конечной длины. Метод представляет собой непосредственное обобщение метода, использованного в равд. 9.3.1.
Поэтому детали будут опушены. Оценивание множественной когерентности. По определению (! 1.4.11) квадрат множественной когерентности выражается через авто- и взаимные спектры. Случайная величина, соответствующая выборочной оценке множественной когерентности, получается при замене теоретических спектров их сглаженными оценками. Например, при г! = 2 сглаженная оценка множественной когерентности равна у ([) См ! См 1~;- Сд ~ См !' — 2не(СиСмСэг) (11 4 36) Сьз !СнСчч ~ >См Р! где Не [СгаСазСм] = 7:м«ал! ге+ ! гедеван ФАеь(-м+ гХ~гХз«ю Так как оценка (П.4.30) является функцией от оценок авто- я взаимных спектров, ее дисперсию можно вычислить с помощью метода равд.
3.2.5 п формулы (П9.1.28). В результате получим Сот [С;! (!г), Сы ([~)] = Ги (Гг) Гы ([~) —,. (11.4.31) Действуя так же, как и в равд. 9.2.2, находим окончательный результат Л«а« [КЯ = 2!. 4х)м(! — хзга) что совпадает с формулой (9.2.19) для дисперсии оценки обычной когерентпости К'-,' В равд. !1.4.6 мы выведем для Кч, подходящее распределение, рассматривая задачу оценивания множественной когерентности как задачу множественной регрессии в частотной области. Оценивание частной когерентности и частной фазы.
Сглаженные оценки спектров взаимной частной когерентности и фазы по. лучаются при подстановке в (11.4.17) вместо теоретических спектров нх сглаженных оценок и последующем взятии квадрата модуля и аргумента. Например, при г! = 2 сглаженные оценки двух Глава !> Много.!!ерньЭй спектральный авалов 263 частных когерентностей можно получить, подставляя сглаженную оценку множественной когерентностн КЭ>2 в (11.4.18): — г 1 КЭ>2 1 — Км>! = 1 — К>! 1 — К32>2 1 — К!3>3 = Кл (11.4.32) Аналогично получаем сглаженные оценки спектров частной фазы ~ 12~ >23 ГС12~ 23 >К!3622 ЕЭ Д23 '> Г>12Г>23 Д13С22 (11.4.33) (11.4.34) агс!и агс1п ! 13> 2 е 2>713 + >>13Ь!э г>Э!С!1 112С13 >31!к!3 1236!1 г231! = 11.4,6. Оценивание многомерных частотных характеристик В этом разделе мы покажем, как оценить частотные характеристики модели (11.4.1) и вывести доверительныс области для функций усиления н фазы.
Эти результаты будут получены с помощью простого распространения результатов равд. 10.3.3 на многомерный случай. Выборочные оценки, получаемые из выборочных спектров Рассмотрим, как мы это делали и раньше, случайную функцию являющуюся преобразованием Фурье от отрезка случайного процесса: Х,. У) = ~ Х,(1)е ' >>а>6 о Как и в равд. 10.3.1, оценки наименьших квадратов для функций отклика на единичный импульс можно получить, заменяя в (П.4.7) теоретические авто- и взаимные корреляции на их оценки.
В результате получим с>„,>(и) =- ) Сад (и — о)!>1 в>> (о) тьо, — Т ( и К Т. (11.4 36) Взяв преобразование Фурье от (11.4.!) и предполагая, что функции отклика на единичный импульс 1>>де>>,(и) убывают почти до нуля за достаточно малое по сравнению с длиной записи время, найдем преобразование Фурье от выхода Х>„,>()) = Н„„ „ ()) Х,(7) + ... + Н„„ „ (() Х, (7) + 2„ „,> (1). (11.4.35) Взяв преобразование Фурье от (11.4.36), найдем оценочные уравнения в частотной области С„„,()) = С,„(7) й„„,(1).
(11.4.37) Если в (11.4.37) заменпгь оценки спектров нх теоретическими значениями, то получатся уравнения (11.4.8). Случайная оценка, соответствующая выборочному спектру остаточных ошибок. Действуя так же, как и в равд. 10.3.2, получаем случайную оценку, соо>ветству>ощую выборочному спектру остаточных ошибок С„(1) = С22 (7) + — „' ~ х, (7) ~Н>„„>, (1) — Й„, в, (7)1+ ...
... + Х Я(П>д „од(13) — Й>дд>>д(>)] !2. (11.4.38> Выборочный спектр остаточных ошибок имеет аналогичный вид С,2 (7) = С,д, >„д, 1>(1) — Н,д, 1>1(й(мд 1.1>1(1) ... — Н>де,>д(7) С>д+1>д(1), (11,4.39) или Сы (7) = С(д+п>дл и (1) ~1 К>д;-вы... д (>)1 (11.4 40) Равенства (11.4.39) и (11.4.40) являются соответственно аналогамн равенств (11.4.9) и (11.4.10). Однако, как отмечалось в равд. !0.3.2, С22(1) тождественно равно нулю, так как выборочный коэффициент когсрентности тождественно равен единице.
Вследствие этого, а также из-за того, что дисперсии этих оценок нс убывают с увеличением длины записи, нужно применить сглаживание. Сглаженные оценки наименьших квадратов. Уравнения для сглаженных оценок частотных характеристик получаются прн замене спектральных оценок в (11.4.37) на соответствующие сглаженные оценки. Аналогичным образом получаются из (11.4.39) или из (!1.4.40) сглаженные спектральные оценки остаточных ошибок. Критерий отличия множественной когерентности от нуля.
Предположим, что в (!1.4.38) 77>дт!» = О, 72 = 1, 2, ..., д. Тогда процессы на выходе совпадают с соответствующими шумами. Используя (11.4.40), можно написать разложение (11.4.38), но для сглаженных оценок: кс„н „„, Н> ксы„»„,> О), - — (1 — К> н „. д(7))+ г>дто „„„10 г<д+„>д,о ()1 1 кС>дд1> >д+!> ( — 2 + г, „,, и 01 К>дд>>12" д(!) (1!.4.41) Многомерный енентральньш анализ 2Гз4 Глава 11 4 Сзз )зь = — =Гз,и 4(! — а), и — 4 Сп (1!.4.45) г Льомн зг „, 41!) ! и 24 ) К<вез) зг ... е (1) 1 24 г 4 Сгг )зг = =14, и-4 (1 — а). и — 4 См (11.4.42) Са (1) = Нм (зз) Сн (зз) + Нзз (зз) Са (зз), з гз (1) = Нз~ (й См (1) + Нзг (1) См (1 ) (11.4.47) Сзз ! Нзз — зз Р+ Сы ! Нзз — Ны 1' (11.4.48) Равенство (11.4.4!) показывает, что случайная величина в левой части, имеющая х'-распределенне с и степенями свободы, разлагается на две тг-величины с (и — 2з)) и 2д степенями свободы соответственно.
Отсюда случайная величина распределена как Рг „ г . Как показано в равд. !0.3.2 для случая д = 2, формулу (1!.4.42) можно использовать для критерия отличия множественной когерентностн от нуля. Доверительные интервалы для функций усиления и фазы. Чтобы проиллюстрировать общий метод, рассмотрим случай, когда имеются два входа, т.
е. д = 2. Тогда, опуская аргумент 1', вариант формулы (11.4.38) для сглаженных оценок можно записать в виде Сзг = Сг 2 + С зз ! Нзз Нз~ )~ + Сгг ) Нз Нзг 1~ + +21сзг11(Нзз — Нзз)(Нзг Нзг) ! (11.4.43) Действуя так же, как и в равд. 10.3.4, получим из (1!.4.43) сов- местную доверительную область для 6зь 6зъ зри и фзг: С»1Нзз — Нзз Р+См)Нзз — Нзз 1'+2! Сз.!! (Нзз — йгзз) (Нзз — Нз )1 ( С »» — 4 14 ' '(1 — а). (!1.4,44) По-видимому, не существует простого способа записать эту область в виде отдельных областей для спектров усиления н фазы. Однако иногда бывает полезным грубое приближение этой области, состоящее в том, что левая часть в (11.4.44) заменяегся ее нижней границей Это приближение эквивалентно тому, что мы пренебрегаем ковариациямн членов, образующих Нзз(0 и Нзг(1), и поэтому получаются независимые доверительные области для 6зн фз, и для 6зм з)ззг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
