Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 38
Текст из файла (страница 38)
е. собственные числа выписывают кривую спектра. Аналогично, при У-н.оо равенства (11.1.19) и (11.1.20) переходят в 1/1 '/1 Х,= ) УУ)соз2п)/Ф+) (/(1)яп2п)1/(~. (11.1.23) Равенство (11.!.23) показывает, что процесс Хг можно представить в виде суммы синусондальиых н косинусоидальных волн 229 Глана г'т' Мнагалгерный спектральный ана.газ в непрерывном диапазоне частот.
Амплитуды (!1.1.22) этих волн сами образуют ортогональный (пекоррелированный) процесс, или процесс с ортогопальными приращениями, обсуждавшийся в разд. 5.2,2. 11.!.3. Матрица ковариаций комплексного случайного процесса В разд. 8.2.1 было показано, что при спектральном анализе нескольких временных рядов появляются комплексные случайные величины, например случайная оценка, соответствующая выборочному взаимному спектру двух процессов, Хотя можно обойтись действительными величинами, рассматривая отдельно синфазную и сдвинутую по фазе компоненты, болыпее математическое изящество достигается при их совместном использовании как вещественной н мнимой частей некоторой комплексной величины. В этом разделе ' излагается исчисление комплексных случайных величин.
Среднее значение и ковариация комплексных случайных величин. Комплексная случайная величина определяется равенством Х, = (7, + 13 ь где (уг, )т, — действительные случайные величины. С помощью (3.2.!5) находим среднее значение этой комплексной величины Е [Х ] = Е [(7 г] +! Е [1',!. Ковариация двух комплексных случайных величин определяется равенством Соч [Хь Х ! = Е [(Х~ — Е [Х,] ) (Х вЂ” Е [Х ] )! =С [((7,+11,), ((7,—,р,)]= = Соч [Уь У,]+ Соч[Гь ~1,]+ +1(Соч[1 ь (7~] Соч[Уь )т ]), (11 1 24) где звездочки обозначают комплексное сопряжение.
Мы видим, что ковариация комплексных величин будет, вообще говоря, комплексным числом, но дисперсия — всегда действительное число, так как Ъ аг [Х~] = Соч [Хь Хг] = Чаг [Уг]+ Чаг [(т~]. (11.1.25) Ковариация двух действительных величин симметрична, в то время как ковариация комплексных величин удовлетворяет соотношению Соч [Х„Х,'! = (Соч [Х„Х,']]*, (! 1.1,26) которое получается непосредственно из определения (11.1.24), Матрица ковариаций комплексных случайных величин, Предположим, что Х' = (Хь Хм,Лее) — вектор-строка, состоящая из Лт комплексных случайных величин.
Тогда матрица ковариаций этих величин имеет вид Ч и = Е [(Х вЂ” Е [Х] ) (Х' — Е [Х "] )'] = Ъ'аг[Х,] Соч[Хг, Ха! ... Соч[Хь Хч] Соч[Хм Хг! Ъ'аг[Х,] ... Соч[Хм Хч] Соч ]Хю Х|! Соч [Ли, Хг] Ъ'аг [Хн] Из (11,1.26) следует, что матрица Чы — эрмитова, а, кроме того, она положительно полуопределенна, т. е. все главные миноры Чк неотрицательны. Например, при М = 2 имеем ! Чаг [Х,] Соч [Хь Ха] ~~ О, Соч [Ха, Хг! Чаг [Хг] откуда ] Сот [Хг, Ха] ! ~ге Чаг !Х,! Чаг !Хл1 ~ Таким образом, и,', похож на квадрат коэффициента корреляции и называется квадратолс коэффициента когерентности двух комплексных величин. (11.1.27) Авто- и взаимные ковариационные функции комплексных процессов. Предположим, что средние значения комплексных процессов Хг(1) и Хз(1) равны р, и ра соответственно.
Тогда автоковариационные функции этих процессов определяются равенствами ут,(и) =Е[(Хг(1) — р,)(Х;(1+ и) — р,'.)], с = 1, 2, (11.1.28) а их взаимная ковариационная функция ум (и) = Е [(Хг (с) — р,) (Х;(1+ и) — р,')]. (11,1.29) Из (11.1.26) следует что (11.1.30) уи (и) = у,'г (- и), у„(и) = у,'н (- и). Для действительных процессов (11.1.30) уи(и) = уи(- и), у„(и) = ум( — и), что совпадает с формулами (8.1.2) и (8.1.3), сводится к равенствам (1 1.1.31) приводившимися ранее, 230 Глава 1! Многомерный спектральньгй анализ уп(и) %г(и) ... ум(и) уг, (и) угг(и) ...
у, (и) (1 1.2.1) уе, (и) у, (и) ... у (и) Ги([)= )Г уи(и)Е Лпгьйи ь Ч'(и) = Ч ( — и), (11.2,2) так как С помощью (11.1.24) авто- и взаимные ковариации комплексных процессов можно выразить через ковариации соответствующих действительных процессов. Таким образом, мы получаем ух х,(и) = уи,ст,(и) + уг е (и) +! [уг и (и) — уи г (и)[. Спектры и взаимные спектры комплексных процессов. Рассуждения, приведенные для действительных процессов в равд. 6.2.1 и 8.3,3, полностью применимы и к комплексным процессам.
Таким образом, взаимный спектр комплексного процесса определяется равенством Автоспектр комплексного процесса является действительной и неотрицательной функцией, но она не является, вообще говоря, четной, и, следовательно, ее нельзя записать в виде косинус-преобразования от ковариационной функции на полуоси в силу свойства (11.1.30). Для действительных процессов такое представление авто- спектра в виде косинус-преобразования (7.1.3) имеет место в силу свойства (11.1.31).
Взаимный спектр двух комплексных процессов обладает теми же свойствами, что и взаимный спектр двух действительных процессов (эти свойства указаны в равд. 8.3.3). 11.2. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В этом разделе с помощью теории матриц выводятся основные свойства многомерных случайных процессов. В результате понятия, введенные в гл. 8 — 10, приобретают ббльшую общность.
Мы увидим, что при рассмотрении более чем двух процессов появляются новые и интересные особенности. 11.2.1. Матричная ковариационная функция Действительные процессы. В равд. 8.1.2 было показано, что два стационарных случайных процесса удобно описывать во временнбй области с помощью их авто- и взаимной ковариационных функций. Предположим теперь, что требуется описать действительный мноГомерный случайный процесс, т. е. векторный процесс компоненты которого являются одномерными процессами. Если ограничиться свойствами, зависящими от моментов второго порядка, то многомерный процесс можно описать матричной функцией, опре- деляемой для каждого значения запаздывания и соотношением Ч (и) = Е [(Х (!) — (т) (Х (( + и) — )т)'] = Матричная функция Ч(и), — оо (и ( оо, называется матричной ковариационной 4ункцией (!адрей соуаНапсе та1Пх) многомерного случайного процесса.
Так как ун(и), вообще говоря, не равно ун(и), матрица Ч(и) в общем случае несимметрична. Однако она удовлетворяет соотношению*) Ч' (и) = Е [(Х (1 + и) — (т) (Х (1) — )т) ] = Ч ( — и). Комплексные процессы. Матричная ковариационная функция комплексного многомерного случайного процесса определяется соотношением Ч (и) = Е [(Х (1) — р) (Х (( + и) — )т) ' ~, Ее элементы такие же, как и у матрицы (11.2.1), но комплексные ковариации определяются равенствами уп (и) = Е [(Х, (1) — )аг) (Х) (( + и) — (т))'), Другой способ представления вторых моментов многомерного процесса состоит в том, что задаются таблицы каждой авто- и взаимной ковариационной функции. Для наглядности предпочтительно иметь графики отдельных авто- и взаимных ковариационных функций. Матричная корреляционная функция.
Для многих практических целей и, в частности, для анализа временнйх рядов с различными масштабами измерения удобнее работать с матричной корреляционной функцией, состоящей из корреляций рп(и). е) В (11.2.2) и далее у'(и) означает транспаппроаанцую матрицу у(и).— Ирам перев глава Ы Ззй лзз Многолмрный еаенгральнььй анализ 11.2.2.
Спектральная матрица (11.2.3) (1 1.2.4) Г([)=Г'(Д, (1 1.2.8) Гн([) Г„([) ... Гы([) ! Г2, (!) Г2, (7') ... Га, 5 Г(!) = (11.2.6) "ь~ (1) Гю У) "л (Р) Аналогично, при д = 3 получаем Гн([) Г„(1) Г„(!) Г.,",([) Г,"аа Г,"3® 1 31 ([) 1 32 (ь ) 1 33 ([) (1 1.2.9) ) О. Далее мы всюду будем считать, что каждый отдельный процесс, входящий в многомерный процесс, является комплекснылк Как показано в равд. 11.1.3, каждой наре процессов соответствует взаимный спектр, определяемый равенством Гн()) = [ уп(а)е ~ельне! . Обратное (11.2,3) преобразование имеет вид Уп (и) = ~ ГП ([) ЕГ2н!и Е([.
Состоящая из авто- и взаимных спектров матрица называется спектральной льатриь(ей случайного многомерного про- цесса. Свойства эрмитовости и положительной полуопределеиности. Сейчас мы выведем очень важное свойство, которым обладает спектральная матрица. Это свойство заключается в том, что автои взаимные спектры должны удовлетворять некоторым совместным ограничениям. Поступая так же, как и в равд. 6.2.1 прн введении автоспектра, определим комплексный случайный процесс У(1), являющийся линейной комбинацией д отдельных случайных процессов, а именно 1 (ь) = " Х (1) = ЕнЛ ~ (Г) + 3 2Х 2 (Г) + ° ..
+ ЛаЛа (У), где 1и — произвольные комплексные константы. Тогда автоковариационная функция процесса У(1) равна угг (и) = Е [(У (У) — 1лг) (У (1+ и) — р„)*[ = =Е[) (Х(1) — 12)(Х(1+и) — 12)' 7,[= = )ь* Ч (л) л. (1 1.2.6) Взяв преобрззование Фурье от (11.2.6) и используя равенство (11,2.4), автоспектр процесса У(1) можно выразить через спект- ральную матрицу многомерного процесса. В результате получим Г„([) =)аг([)).. (1 1.2.7) Так как Г г([) — действительная скалярная функция, то Ггг()) = = Г~г([) = Ггг(7). Поэтому из (11.2.7) следует, что Г"„'„а = ().*'Г а Х)"' = =(1Г (1)~*) = = Х'Гн ([) ), = Г„()) = ).*'Г([) )., Таким образом, имеем так что спектральная матрица — эрмитова, т, е.
Гп([) = Г,'2 ([). Кроме того, так как квадратичная форма (11.2.7) неотрицательна при всех значениях 1,, то Г(!) — эр шгова, положительно полропределенная льатрица. Это значит, что любой главный минор Г([) неотрицателен. Например, при д = 2 мы имеем Гп([) Гм([) Г„([) Г„([) )0 откуда следует, что квадрат коэффициента когерентности удовлетворяет неравенствам ! Г 12 (11 12 0(х;,([)= и, ! «1.
В равд. 11.3 будет показано, что, пользуясь (11.2.9), можно определить квадрат множественного коэффициента когерентности хз, ()), такого, что < 123 (' ) ( 11,2.3. Многомерные линейные системы В равд. 10.3 была описана методика оценивання частотной характеристики системы, имеющей один вход и один выход. В общем случае физическая система имеет несколько входов и несколько Многомерный спектральный аналое Глава !! Оеаатнаегл ага(агама )0 мена Ге аггаеро,г) (11.2.11) !)(и) = Ни(Г) = )г ))и(и) е !"'!" с!и о выходов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
