Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Например, на рис. 11,1 приведены участки некоторых непрерывных записей, соответствующих двум входам и двум выходам турбогенератора. Теперь мы покажем, что многомерную линейную систему во временнбй области можно описать матрицей откликов ДО О ланское сйанрааеа О аеахеге лема йагемлое) до -г70 Омкееганал налреагенае (в еаегмаа) -лЗО 00 Овкленеиае чаеееты (е сериал) 00 Р н с. )!.!. Входные н выходные процессы 50-мегаваттного турбогенератора. на единичный импульс, а в частотной — матрнцей частотных характеристик.
Матрица откликов на единичный импульс. Если многомерная система является линейной, то любой ее выход представляет собой сумму вкладов от () входных переменных, т. е. Х((!) — )(х) = ~ Ьп(и) [л) (г — и) — ))х,)Ии+ ... о + ~ Ь) е (и) !Хе (! — и) — ))х ! йи. о Полный отклик системы, состоящий из г выходов Х((!), ! = (1+ 1,... ..., (! + г, можно записать в матричном виде следующим образом: Х(!) — )хх = ) Ь(и) !Х(! — и) — )хх) с!и, (11.2.10) о где матрица откликов на единичный импульс 1) (и) задается соотно- шением Ь(д+П (('!) й(ее)) е(и) й(ее)) е(и) Ь(,+т), (и) Ь(еее) а(и) Ь(ете) е (и) й(,+„, (и) Ь(е+,) а(и) ...
Ь„,,), (и) Пример. Рассмотрим общую многомерную систему, которая в двумерном случае имеет вид (8.!.17), '"„"'+АХ(!) = Х(!). Эта система имеет следующую матрицу откликов на единичный импульс: 1)(и) = В'е "з, Например, в двумерном случае, когда йх, ! — '+2Х + — Хе=2„ иг ( з — „' -1-2Х, + 2Ха = Ла, матрица откликов на единичный импульс равна — (е "+е '") — (е-" — е '") й (и) = , , (11.2.12) 4 2 (е-и е-зн) — (е-а ! в-аа) Матрица частотных характеристик. Другой способ описания многомерной системы состоит в задании матрицы частотных характеристик, т. е.
матрицы, элементы которой являются преобразованиями фурье от элементов матрицы откликов на единичный импульс, а именно 237 236 Гвава 1! Многолернигй еиентравьньн) она»из Таким образом, матрицу частотных характеристик можно записать в виде Н (7) = < Ь (и) е "")и е(и. (11.2.13) о Взяв преобразование Фурье от (11.2.10), мы находим, что спект ральные амплитуды выходов на частоте )! можно получить из ра венства Х(О=Нага (1! .2.
14) которое является матричным аналогом равенства (2.3.23). Напри. мер, для двух выходов и трех входов из (11.2.14) получаем Х,® =Н„У) Х,У)+Н„а г,а+ Н„В г,т, Х,(!) = Нм (О Х! ()) + Ниса(!) Хз()) + Нзз (7) Лз(7), В частном случае, когда на входы подается комплексный сигнал ехр ()2л)'!), отклик !'-го выхода равен ХЗ(г) = [Нп (!) + Нм(1) + ° ° ° + Н! (!)з!е)з'!", (1!.2.15) Для всей системы равенства (1!.2.!5) можно записать в матричном виде Х (!) = Н ()е) 1е)З"!', (1 !.2.!6) где 1 — вектор, целиком состоящий из единиц. Из (11.2.14) можно получить полную частотную характеристику системы на данной частоте. Таким образом, полные функции уси.
пения равны НЗУ) =[6!!())+ ... + 6~!4())]", а полные фазовые сдвиги равны 'р Я = 'р Я+ р й+ " + р,(!). Нрилгер. Рассмотрим многомерную систему йх — +АХ = У. Ж Ее матрица частотных характеристик равна Н ()) = (12л!1+ А) ', (11,2 17) где ! †единичн матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а ыа остальных местах — нули. Для обсуждавшейся выше системы второго порядка ' +2Х! + 2 Хе=У!, — '+2Х, +2Х, =Уз ач мы имеем )2л1+ 2 )2л) +2 — 2 ! (12л) + 2)е — ! — — )2л(+ 2 )2л)+ 2 ()2л)+ 3) ()2л) + 1) ! 2 ()2л)+ 3) ()2л) + 1) !2л) 4- 2 02л) + 3) 02л) + 1) (12л) + 3) 02л) + 1) 1 1 2, 2 )2л) 4- ! ' )2л! 4- 3 1 ! 4, 4 )2л) -> ! )2л)+3 — ! )2л) + ! + ! 2л) + 3 ! 1 2, 2 )2 )+1 )2л)+3 ) Взяв обратное преобразование Фурье от этого выражения, полу- чаем уже упоминавшуюся выше формулу (11.2.12) 2 ' (В-и-! Е-Зи) Ь(!З) = (Е-и В-Зи) 4 (В-и В-Зи) 2 (Е-и +  — Зи) Ч» (и) = зЧ б (и).
(11.2.18) С помощью (!!.2.10) находим матричную ковариационную функцию процесса Х((): Ч» (и) = Соч [Х (!), Х"'((+ и)[ = [ )з(п)Соч[4(! — и), Х" ()+и — з)[Ь*'(в)г(ппгж (1!.2.19) о о 1!.2.4. Многомерные линейные процессы Стационарность. Если входы ХЗ(!) в (11.2.10) представляют собой набор белых шумов, то модель (11.2.10) определяет многомерный линейный процесс.
Для полной общности предполагается, что эти белые шумы коррелированы в одинаковые моменты времени, а в остальные моменты некоррелированы. Таким образом, Соч(ХЗ(!), Х,((')) = пггиб(( — Н). Отсюда матричная ковариационная функция белых шумов имеет вид ваз Глина !т 239 Многомерный спектральный аналнэ отсюда получаем и, следовательно, — 2 — )2л!+2, ~ Ь (о) %[э* (о) в[о ~ М, ь Если ГдЕ Н*(1) = < Ь'(и) Е1оььн Г(и, о +2Х! + 2 Хе= х„ йхг ! +~й ' + 2Х! + Х = Хэ, й) Если матричная ковариацнонная функция Х(1) имеет вид (11.2.18), то (11.2.19) сводится к Р Ч»(и) = < Ь(о)%Ь* (о+и)г(о.
(11.2.20) о Следовательно, этот многомерный процесс является стационарным второго порядка, так как его матричная ковариационная функция зависит только от запаздывания и. Впрочем, для стационарности Х(1) нужно, чтобы выполнялось еще одно условие. Поскольку при любом и элементы матрицы Ч»(и) не превосходят по модулю соответствующих диагональных элементов матрицы Чх(0), нужно еще потребовать, чтобы Чх(0) была конечной, т. е. где неравенство выполняется для всех элементов матрицы. Спектральная матрица линейного процесса.
Взяв преобразование Фурье от (11.2.19), находим спектральную матрицу линейного процесса (11.2.10) Г»а= Н( — ОГ,(ОН"(-В (11.2.21) В частном случае, когда матричная ковариационная функция имеет вид (11.2.18), спектральная матрица (11.2.2!) переходит в Г»()) = Н (- ))%Н" ( — Д. (1 1.2. 22) Пример. Предположим, что Н Д) = (12п!!+А) ! где А — действительная матрица. Так как для действительной й(и) имеет место равенство Н*( — 1) = Н(1), то Гх()) = ( — !2пД+ А) '%()2п)!+ А') Для случая с двумя входами и двумя выходами, который мы обсуждали выше, Н (1) = () 2п[! + А) 12п) + 2 — 2 1 ()2Я1+ 1) (!2н[+3) 2 12Я) + 2 в Ђ”!2л! + 2 х ) ( — )2н[+ !) ( — )2н[+ з) 1 12 1+2 + 2! 02н1+ 1) (!2я!+з) — 2 12л!' + 2! — 12п! + 2 — 2 Х ['+ (2я!)'! [9+ (2"1)'[ (, — — — 12п) + 2 ( < 12п)+ 2 1 х%х — 2 12п)+2 то это выражение сводится к 8 -1- (2я))э — 5 — 13я( 1 х(') = [1+(2и[)'! [9+(2м[)г[ — 5+)Зп! — -1-(2п))э 11.2.5.
Многомерные процессы авторегрессин и скользящего среднего Многомерные процессы авторегрессии и скользящего среднего получаются из линейных процессов, когда матрица откликов на единичный импульс принимает специальную форму. Эти процессы можно выписать, если в их одномерном представлении заменить скаляры на векторы и матрицы. Например, дискретный многомерный процесс авторегрессин получится, если переделать запись (5.2.26) следующим образом: Х,— )в=а(Хг ! — )ь)+Хг.
(11.2.23) Равенство (11.2.23) для случая, скажем, двух переменных можно расписать в виде Хи — р, =а!, п(Хи, — р!) +а, !э(хгь ! — )ьэ)+Хи, Хэь — рэ = аь м (Х,г, — р,) + аь м (Хэь, — рэ) + Хм. Раааа 11 Мноеол~ерньтй спектральный аналнэ к4! Аналогично, дискретный многомерный процесс скользящего среднего первого порядка имеет вид Х,-ц=г,+[),К, „ н в случае двух переменных он записывается в виде равенств Хи !ь~ = 2~1+ пнь пУи-~ + ань 1з2зт-о Хм-р, = г„+Вь мги., +Визой„н Процессы скользящего среднего.
Общий многомерный процесс скользящего среднего можно записать в виде Х, — и = г, + [),Х, , + ... + (),г, , (11.2.24) Соответствующую матричную ковариационную функцию можно вычислить с помощью определения (11.2.1) гК~+ь+ [!е г( ееь с ' ' +т'т-ьЧгК е О, и>1. Процессу (11.2.24) соответствует частотная характеристика Н (!) = 1 + В,е 1'и! + ... + [)те и, следовательно, спектральная матрица Г (1)=(!+р,егеп1+ ...
+[11е1пп11)%(1+[1',е "нг+ ... +[!те 1'и'1). (1 1.2.26) Процессы авторегрессии. Общий дискретный многомерный процесс авторегрессии можно записать в виде Х,— Р=а,(Х1-,— !ь)+ . +а (Х, — !ь)+Хт. (11,227) Его матричная ковариационная функция удовлетворяет разностному уравнению Чх(и)=пах(я 1)+ ° ° +а Чх(я — тп), я>0. В частном случае и =! это уравнение имеет решение Ч (/г) = а',Ч (О), так что матричная коварнационная функция легко находится с помощью возведения в степени матрицы аь Остается еще вычислить матрицу Чх(0), что можно сделать прямыми методами, проиллюстрированными в примере из разд. 8.!.5.
Рассматривая (11.2.2?) как линейную систему с матрицей частотных характеристик Н ([) = [1 — а,е-!"'! — ... и пользуясь равенством (11.2.21), находим спектральную матрицу Гх([)=[1 — а,егоп! — ... — а,„епп 1) Х Х ТЧ Х [1 — а',е !"! — ... — а,'„е 1сп 1~ '. (!1,2.28) Аналогично матричная ковариацпонная функция непрерывного процесса авторегрсссин а„, — й —,) + ... +а,Х(1) = Х(!) (11.2.29) удовлетворяет дифференциальному уравнению Пусть, например, т = 1 и аы = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
