Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214)
Текст из файла
ВЫПУСК 2 БРЕСТКАЕ АИАЕУЯ!Б АХ0 1ТН АРРЬ1САТ10гГЯ 0%1ЬУМ М. 1ЕХК1г1» 13пгчегзну о1 Ьапсазсег, 13. К апг1 00ХАЬ0 6. ИгАТТБ Нпгеегзгну о1 %1зсопз|п, Н. о, А НОЬРЕЫ-0АТ Багг Ргапсьсо, Сап1Ьг1оие, Ьоппоп, Агп»1егпагп Г. ДЖЕНКИНС, Д. ВАТГС СПЕКТРАЛЬНЫИ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Перевод с английского В. Ф. ПИСАРЕНКО С предисловием Л. М. ЯГЛОМА ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1972 УДК 61:62+63 А. М. Яглом 2-6-2; 2-3-2; 2-9-2 Спектральный анализ — новая и весьма важвая отрасль прикладной математики, посвященная выделеншо из ваблю. даемых явлений нли процессов периодических компонент, т, е, правильно меняющихся со временем составляющих.
Подобные задачи очень часто встречаются в инженерном деле, различных разделах физики, механики, геофизики, электротехники и радиотехники, а также в экономике и статнстике. 1!ель книги — дать читателю руководство, позволяющее овладеть приемами и методами спектрального анализа для применения их в практической работе. Большая ценность книги — наличие в ней вычислительных схем для обработки спектров на ЭВМ, запрограммированных на фОРТРАН'е. Вып.
! издан в !97! г. Вып. 2 включает спектральную теорию стационарных процессов, спектральные оценки, полученные с помощью сглаживания периодограмм, спектральный анализ двух временных рядов, методы статистической оценки характеристик линейного фильтра, обобщение изложенных методов на случай многомерных случайных процессов. Книга будет с большим интересом встречена инженернотехническими работникамн, физиками, геофизиками, математиками. прикладниками, экономистами, статистиками — как специалистами, так и студентами старших курсов, для которых она послужит ценным учебным пособием. Редакяия космических исследований, астрономии и геогризихи ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ВЪ|ПУСКУ Во второй выпуск вошли гл.
7 — 11. В гл. 7 разбираются примеры оценивания спектров искусственных н пРактических временных рядов, В гл. 8 методы и понятия, введенные при анализе одномерных рядов, обобщаются на случай пары временных рядов. Гл. 9 — 10 посвящены задачам оцениваиия взаимного спектра двух рядов и частотной характеристики линейной системы. Наконец, в гл. 11 излагается спектральный анализ многомерных временных рядов и методика оценнвания матрицы частотных характеристик многомерной линейной системы, Глава 7 ПРИМЕРЫ ОДНОМЕРНОГО СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА В этой главе теория, изложенная в гл.
6, применяется для получения практических способов оценивавня спектров по наблюдаемым временным рядам. Для того чтобы читатель приобрел опыт в вычислениях, которые нужно при этом проводить, в равд. 7.1 проиллюстрировано влияние изменения полосы частот окна и его формы на спекзральные оценки искусственных временных рядов. В равд.
7.2 вводится один практический метод оценивания спектров, названный стягиванием окна. Для этого метода нужно сначала использовать окно с широкой полосой частот, а затем постепенно уменьшать полосу до тех пор, пока не выявятся все важные детали спектра. Однако такая процедура бывает иногда очень неустойчивой из-за сильной изменчивости выборочных оценок спектра, обусловленных малой длиной временнбго ряда. В равд. 7.3 обсуждаются практические вопросы, возникающие при оценивании спектров, а также приводится стандартный метод оценивания, который можно применять на практике. Подчеркивается важность предварительной фильтрации данных для устранения низкочастотных трендов.
В равд. 7.4 даются примеры спектрального анализа в трех прикладных областях: построении моделей, планировании экспериментов и изучении частотных характеристик. 7.1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИСКУССТВЕННЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В этом разделе вычисляются выборочные оценки спектров для искусственных временных рядов. Это сделано для того, чтобы читатель приобрел опыт в интерпретации выборочных спектральных оценок. В равд. 7.1,1 даются формулы, непосредственно пригодные для вычисления на цифровых машинах выборочных сглаженных спектральных оценок, а также приводятся результаты вычислений выборочных характеристик.
Затем в равд. 7.!.2 проиллюстрировано влияние изменения точки отсечения корреляционной функции на спектр. Для этого функция Гхх(~) сравнивается с Гхх!)) н С„Ц) с Гхх !!) е случае, когда процесс является авторегрессией первого или второго порядка.
Чтобы подготовить приведенное в равд. 7.2 Глава 7 стра,))ерэ! аднамернаго аналиэа (7.1.3) елл 1>г) слл (О) (7.1.5) э -)е- и обсуждение практических способов сглаживания, проводится исследование влияния точки отсечения (разд. 7.1.2) и формы спектрального окна (разд.
7.!.3) на спектральные оценки. 7.1.1. Формулы для дискретного оценивания В предыдущих главах сгатистическая теория спектралыюго оценивания была развита в предположении, что данные х(!) непрерывны. Однако во многих случаях данные явля)отея дискретными по существу, как, например, данные о партиях продукта на рис. 5.2, и, следовательно, необходимы дискретные формулы.
Кроме того, все более широкое распространение в настоящее время получают цифровые вычислительные машины благодаря своей точности, универсальности и относительной доступности. Поэтому можно предположить, что в большинстве случаев спектральный анализ будет теперь проводиться с помощью цифровых вычислительных машин. Следовательно, непрерывный, илн аналоговый, сигнал нужно отсчитывать в дискретные моменты времени, как это описывалось в гл. 2, н отсчитанные значения переводить в числа, содержащие конечное число цифр. Процесс перевода из аналоговой в цифровую форму называется квантованием. Детальный разбор влияния этого процесса на корреляционный анализ можно найти в [1). Мы будем предполагать, что квантование производится с достаточно малым шагом, так что при переводе из аналоговой в цифровую форму не вносится никаких ошибок.
Практически это означает, что данные нужно отсчитывать с точностью, равной одной десятой (или одной сотой) от полного диапазона изменения сигнала. Предположим, что цифровые данные хь ! =!... Л', соответствуют значенчям сигнала х(/), отсчитанного через интервалы Л. В таком случае сглаженная выборочная оценка спектра С„,(/) получается с помощью замены интеграла (6.3.28) соответствующей суммой Слл (/) = Л,~~ ш (й) сл. (й) в->э"'"', — —...
~/ < —,, (7.1.1) В (7.1.1) выборочная оценка сгл(й) ковариационной функции равна с,„ (й) = †„ ~ (х, — х)(х)+ь — х), — (Л/ — 1) ~ ~/з ~ Л/ — 1, (7.!.2) 1 -з и 7. = М/Л. Как и раньше, п)(й) обозначает корреляционное окно с точкой отсечения М, но теперь оно определено лишь в дискретные моменты времени и =- /ЕЛ.
Отметим, что до оцснивания коварна. ционной функции можст возникнуть необходимость фильтрации данных по формулам (53.27) илп (5.3.31). Так как С,(/) — четная функция ')астоты, ее нужно вычислять лишь для интервала частот О ~/ (!/2Л. Но для сохранения соотношения преобразований Фурье между выборочным спектром и выборочной ковариационной функцией нужно удвоить мощность в интервале частот О (/ (1/2Л. Таким образом, обычно используемая формула имеет впд Š— ) а„ й - 2 2 ~ „ )0) 0 2 з,' „ )2) )2) ... 2,)20 ~, 0=! и функцию (7.1.2) требуется вычислять лишь при А)~О. Для удобства вычислений предположим, что Л = 1.
Прп этом все группы данных можно будет обрабатывать одинаково. Таким образом, вычислительная формула принимает вид Š— ! Е„)!)=2~, )0)0 2З „,)2) )2) 2 )2~. О()( —. )! ) 2) л-! При Л Ф 1 выборочную оценку (7.!.1) можно восстановить по (7.1.4), умножив (7.1А) иа Л и построив ее в зависимости от Л/, а не от/. Наконец, если вместо ковариаций использовать корреляции, то можно получить сглаженную выборочную оценку нормированнои спектральной плотности по формуле Š— ! Е„й-2()22м' „,)2) )2) .2.)2~, 0<)а л-! В работе (2) было предложено вычислять /!лл(/) лишь в точках / = О, 1//., 2)/...
'/э, Такой шаг по частоте слишком велик, и мы считаем, что для получения более детального графика 74л„(/) ее нужно вычислять с шагом, составляющим лишь некоторую долю от !//.. В действительности нет никакой необходимости связывать шаг ПО ЧаСтОтЕ дпя Йгг(/) С тОЧКОй ОтСЕЧЕНИя /. ТаКИМ ОбраЗОМ, ШаГ по частоте для >07„л(/) можно взять равным 1/2Р, где г' в 2 — 3 раза больше, чем /.. Следовательно, окончательная формула для Гтример»! одномерного анализа 1О Глава 7 2л! 2 1 — )(9,(95) со»вЂ” / ! ') 2л! со» вЂ” 1 3) р (21 ! л! 2 1 — ) (9,545) со»вЂ” /2' л! 1 — со» вЂ” 1,3) р 2Р Р () йхх(Л 2П+ШЧ(211 та огл О Ллн алз С ги цифровых вычислений сглаженной выборочной оценки нормированного спектра принимает вид ь-! л„()) 2 () -';»г „(») (Й) — ~, )-», ),..., г.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
