Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 7
Текст из файла (страница 7)
5.2. Затем в равд. 7.3.3 дается полезная практическая методика, которой следует придерживаться при выполнении спектрального анализа. Эта процедура иллюстрируется в равд. 7.3.4 на двух практических примерах, показывающих пользу метода стягивания окна. В равд. 7.3.5 показывается, как можно использовать цифровую фильтрацию для улучшения выборочных спектральных оценок. М= — ' а ' (7.3.1) 7.3.1. Планирование спектрального анализа Сейчас мы покажем, как можно планировать спектральный анзлиз до сбора данных и, в частности, как можно вгябирать длину записи, чтобы выполнялись некоторые требования.
Имеются четыре основных требования, которые должны быть удовлетво; рены. ! . Интервал отсчета Л должен быть настолько мал, чтобы спектр можно было оценить в интересующем нас диапазоне частот Оь. (/4/о. Следовательно, Л должно быть не больше !/2/о. 2. Следует позаботиться о том, чтобы избежать наложения частот, Это можно осуществить одним из двух способов. В первом надо взять Л столь малым, чтобы Гхх(/) можно было считать фактически равным нулю при /) 1,'2Л. Однако для этого нужны исходные сведения о спектре, которых может и не быть.
Кроме того, нас могут интересовать значения спектра Гхх(/) лишь для частот меныпе некоторой частоты /о. Если /, гораздо меньше той частоты, за которой Гхх(/) можно считать нулем, то нужно будет брать расчеты с гораздо меньшим интервалом по времени, чем это требуется для интересующих нас частот / (/о. Второй способ состоит в фильтрации сигнала до взятия отсчетов, так что мощность на частотах выше /, фактически устраняется. Это легче всего сделать в аналоговом виде.
Следует отметить, что некоторая предусмотрительность на этой стадии обработки данных может в дальнейшем избавить от значительных неприятностей и сэкономить усилия. 3. Допустим, что можно сделать предположение о ширине а самой узкой существенной детали спектра или, наоборот, требуется «обнаружить» деталь спектра шириной не меньше а. Тогда точку отсечения М нужно выбрать так, чтобы ширина полосы частот окна Ь была меньше а. Например, для окна Тычки это означает, что Ь = 1,33/М ( а, или М = ЕЛ )~ 1,33/а, При этом для числа Е значений дискретной ковариационной функции, которые нужно сосчитать, должно выполняться неравенство Е)~1,33/аЛ.
В общем случае точку отсечения следует выбирать из равенства где Ь, — нормированная ширина полосы частот. Отсюда необходимое число ковариаций Е= — =— м ь, а аа (7.3.2) 4. Для конечных записей возможность точного оценивания ширины пиков или степень выявления тонких деталей спектра зависит также от дисперсии оценки, Следовательно, чтобы можно было верить в тонкую структуру выборочной оценки спектра, нужно иметь возможность удерживать заданный уровень устойчивости.
Этого можно добиться, задавая желаемое для каждого оцениваемого значения спектра число степеней свободы т, скажем от 15 до 30, и определяя затем длину записи Т из (6.4.26) и (7.3.1). Это дает (7.3.3) и, следовательно, из (7.3.2) получается «Е Лг = — =— 2аа 2Ь! ' (7.3.4) Затем на рис. 3.10 можно найти значение 80%-ного или 95%-ного доверительного интервала, соответствующего данному числу степеней свободы. Если полученный таким способом доверительный интервал слишком велик, то, увеличив о (н, следовательно, увеличив Л'), мы уменьшим его, правда за счет увеличения времени вычислений и усилий, потраченных на сбор данных. Простую интерпретацию формулы (?.3.4) можно получить, рассматривая сглаженные спектральные оценки, отстоящие по частоте на ширину полосы частот Ь спектрального окна. Ковариация этих оценок приблизительно равна нулю, так как прн таком расстоянии по частоте спектральные окна почти не перекрываются.
Поэтому число независимых сглаженных спектральных оценок в полосе частот от 0 до 1/2Л равно (1/2Л) Ь = Е/2Ьь так что Ь = Ь~/ЕЛ. Однако несглаженные спектральные оценки, отстоящие на !/Т = 1/Л/Л, распределены как независимые 1!'-величины с двумя степенямн свободы. Поскольку в интервале от 0 до 1/2Л содержится Т/2Л таких независимых несглаженных оценок, полное число степеней свободы, относящееся к каждой сглаженной оценке (т. е. к каждому оцениваемому значению спектра), равно т = 2(Т/2Л)/(Е/2Ь,) = 2Ь,ЛИ.
Следовательно, Л' = оЕ/2Ьь Важная особенность формулы (7.3.3) состоит в том, что длину записи можно задавать независимо от спектрального окна н она зависит лишь от ч и а. Пример. Предположим, что требуется оценить спектр мощности в диапазоне до /о = 2 гп и можно без опасений считать, что за этой частотой нет сколько-нибудь заметной мощности. Таким образом, Примеры одномерного анализа 38 Глава 7 39 Л= — = — =0,25 сек. 1 1 2?о 4 Модификация Неделя День Т= — =75 сек. 30 2 (0,2) ! 2 1 2 1 1 2 1 2 Рабочая смена 1 2 пе будет неприятностей из-за наложения частот. Тогда, согласно требоваяию 1, мы имеем Если можно предположить, что ширина самого узкого пика в спек- тре равна по крайней мере 0,20 гц, а устойчивость, даваемая 30 сте- пенями свободы, представляется подходящей, то из (7.3.3) длина записи 'должна быть не менее Следовательно, требуется й! = 300 точек данных.
Из рис. 3.10 находим, что для 30 степеней свободы 80%-ный доверительный интервал длЯ Гхх()) пРиблизительно Равен (0,?Снк(!); 1,ЗС„л(7)), т. е. получается 30%-ная относительная ошибка. Чтобы уменьшить этот доверительный интервал, скажем, до (0,8С„е(1); 1,2С„к())), потребовалось бы т = 80 и, следовательно, Т = 200 сек, У = 800. Приведенные выше вычисления имеют некоторое значение, когда заранее решается вопрос о длине записи, однако следует подчеркнуть, что после того, как данные собраны, требуется другой подход.
Таким образом, если анализ предназначен для разделения пиков шириной а, то может случиться, что после сбора данных перед началом анализа обнаружится неправильность наших предпопожений о величине а. Следовательно, нужно приспособить, как указывалось в разд. 7.2, действительный анализ спектра к имеющимся данным. Это и дает основание воспользоваться процедурой стягивания окна, описанной в разд. 7.2.4. 7.3.2. Пробный анализ (р!1о1 апа1уз)з) Иногда полезно получить грубую выборочную оценку формы спектра, не вычисляя сначала ковариацнонную функцию и затем сглаженную выборочную оценку по формуле (?.!.6).
В частности, если нужно предварительно отфильтровать данные, как, например, в некоторых задачах из гл. 9 — 11, то грубый пробный анализ может оказаться достагочным, чтобы приближенно синтезировать хорошую частотную характеристику фильтра. Поскольку такой пробный анализ легко выполнить и без вычислительных машин, он служит также полезным упражнением, показывающим, какого рода информация содержится в спектре.
Описанную ниже форму пробного анализа удобно применять в том случае, когда число наблюдений й! = 2р, где р — некоторое целое число. Впрочем в разд. 7.3.5 показано, как этот анализ можно Таблица 7.2 Воображаемый план эксперимента для данных о партиях продукта видоизменить для любого числа г'). Чтобы объяснить эту процедуру, представим себе, что первые 64 наблюдения о партиях продукта из табл. 5.1 были получены нз эксперимента, в котором некоторые параметры процесса намеренно изменялись согласно схеме, изображенной в табл.
7.2. Предполагается, что эксперимент построен таким образом, что выход продукта может зависеть от партии используемого сырья, рабочей смены, еженедельной чистки днстилляционной колонки и от двух основных модификаций процесса дистилляции. Заметим, что имеет смысл производить лишь сравнения типа «между разными партиями сырья, в одни и те же дни, недели и для одной из модификаций», поскольку каждый раз партии используемого сырья различны.
Поэтому естественно использовать для анализа этих данных метод, называемый дисперсноиным анализом факторного эксперимента с группировкой. При этом полная сумма квадратов отклонений, поделенная на ?т), разлагается на следующие слагаемые: —,У (хг-х)т=+ 1 и+ з + ~+ ~+ м (735) где слагаемые в правой части (7.3.5) обозначают вклады в полную сумму квадратов, обусловленные соответственно изменчивостью при повторении, изменчивостью партий сырья, смен, изменчивостью Глава 7 Примеры одномерного пнализа 41 в разные дни, в разные недели и, наконец, различием модифика. ций.
Таким образом, (х, — хз)', (х, — хз)з + 'я 5 (Хэ + Хз Хз К1) (Хз + Хт Ха Хз) + о 4 (Хз + Х7 + Ха + Хз — Хч Хз Хз Хз) з 8 '+ бо (Хы+ Хэз + ° + Ха .Кз Хэ .. Хз) '+ 16 5н— (Хзз+ Хээ +... + Х17 — Хэа — Хэз — °, . Хэ) + 32 (лаз+ хаз + ° ° + хэз — хзз хэз — ° — хэ) м 64 Видно, что 5н получается с помощью коррелирования данных с прямоугольной волной периода 2 и последующим возведением в квадрат. Следовательно, 5н будет велико, если данные содержат сильную периодическую компоненту с периодом 2.
Аналогично, 5„ увеличилось бы при наличии компоненты с периодом 4 и т. д, В табл. 7,3 приведены вклады в средний квадрат (т. е. в сумму квадратов отклонений, поделенную на Аг) от каждого из этих источников. 7О ор ов Таблица 7Л Пробная выборочная оценка спектра для данных о нартняк продукта гп Вклад в сред- ина квадрат Выбора и вп оиеика спектра диапазон частот, вп Источник повторениями партнямн сменамн днями неделями молнфнкацнямн В сумму квадратов 5н входят вклады не только от компонент с периодом 2, ~о, как будет показано в равд. 7,3.5, и вклады от компонент с периодами от 2 до 4, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
