Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

о выборе формы спектральных окон. 7.2,1. Оптимальное сглаживание спектральных оценок Было сделано несколько попыток определить сглаженные спектральные оценки, которые были бы оптимальны в некотором о корреляцисмысле. Идея такого подхода состоит в выборе такого кор, я онного окна гв(и) на интервале О ( [и[ ~ Т, которое минимизировало бы некоторую величину, характеризующую погрешность оценки. Обычно еще накладывают практическое ограничение ш(и) = О при [и[ > Л4, для того чтобы вычислять ковариации лишь до запаздывания М.

Так как ббльшая часть времени при вычислениях уходит на подсчет ковариаций, то представляет"я ется разумным выбирать Л4 малым по сравнению с длиной записи Т. Один в аз. 6 критерий оптимальности корреляционного окна, упоминавш в равд..3.5, заключается в минимизации среднеквадратичной ошибки Е[(Схх(?) ) хх(?)) ] (7 2!) Этот критерий бы,п предложен в [3). Одно из возражений против такого подхода состоит в том, что хорошая для одной юй частоты оценка может оказаться плохой для другой частоты, и, с ы, и, следователыю, нужно принимать компромиссное решение, которое белла бы наилучшим в некотором смысле для всех частот. Критерий оптимальности, охватывающий все частоты, предложен в [4). Он заключается в минимизации интеграла от ср д квадратичной ошибки т средне- [ Е [(Схх (У) — Гхх (У))а] Ф.

(7 2.2) Корреляционное окно, дающее минимум интегралу (7.2,2), имеет уехх (а) Отметим, что это окно не приводит к отсечению ковариацноиной функции. Как уже упоминалось, основная цель, которую пресле. дуют, вводя отсечение, состоит в сокРаШении вычислений ковариаций. Специалисты по теории связи и по теории управления узнают в выра>кении (7.2.3) для оптимального корреляционного окна точный аналог выражсния для частотной характеристики фильтра, дающего минимальную среднеквадратичную ошибку. Пользуясь терминологией теории связи, можно проинтерпретировать (7,2.2) следующим образом. Гхх([) соответствует полезному сигналу, а 0хх([) — сумме сигнала и шума.

Точно так же в (7.2.3) ш(и) соответствует частотной характеристике оптимального фильтра, уа (и) — спектру сигнала, а Чаг[схх(и)[ — спектру шума. хх Другой критерий, предложенный в [5) и также представляющий собой попытку получить оценку, пригодную для всех частот, состоит в минимизации математического ожидания максимума по частоте от среднеквадратичной ошибки Е[гпах[Схх(?) — Гхх([) [ [ (7.2.4) Можно было бы еще предложить критерий минимума интеграла / Е[(Схх О) гхх О))а[ 1 ~хх О) ~ / хх ~хх (7.2,5) Последний критерий отличается от (7.2.2) тем, что математическое ожидание среднеквадратичной ошибки на данной частоте суммируется при интегрировании с весом, обратно пропорциональным величине теоретического спектра на этой частоте.

Таким образом, минимизируется интеграл относительной среднеквадратичной ошибки, и очевидное преимушество такой процедуры перед (7.2.2) состоит в том, что оценка образуется с весом, обратно пропорциональным дисперсии ошибки. Ниже мы покажем, что значение приведенных здесь критериев в спектральном анализе невелико.

Единственная цель, для которой можно ими воспользоваться, состоит в том, что они дают возможность сравнить спектральные окна Бартлетта, Тычки, Парзена и другие по этим критериям. Например, прямоугольное окно шя(и) из табл. 6.5 является плохим по всем этим критериям, и поэтому его можно отбросить. Остальные окна из табл. 6.5 имеют сходные показатели по этим критериям, и, следовательно, можно считать, что форма этих окон является, вообще говоря, «хорошей», Однако при решении вопроса о выборе подходящей формы окна могут играть роль и другие факторы, например количество мощности, утекающей в боковые лепестки. Так, из рис. 7.!О видно, что окно Бартлетта хуже окон Тыоки и Парзепа, поскольку барлеттское окно дает большие ложные осцилляции в среднем сглаженном спектре, 27 промеры одномерно о анализа 26 Глава 7 Критические замечания относительно использования критериев оптимальности при сглаживании.

1. Критерии оптимальности произвольны. Поэтому для любого критерия соответствующее ему оптимальное спектральное окно будет наилучшим лишь с некоторой произвольно принятой точки зрения. 2. Критерии оптимальности представляют собой не слишком гибкую математическую формулировку требований спектрального анализа. Например, физика нли инженера мокнут интересовать некоторые характерные черты спектра, такие, как ширина пика или наклон спектра в некотором диапазоне частот, в то время как эти критерии не предназначены для таких характеристик. Поэтому, как будет показано в равд. 7.2.2, необходима более подходящая и гибкая формулировка требований спектрального анализа, которую мы и изложим в этом разделе. 3.

Оптимальное в любом смысле корреляционное окно, например (7.2.3), будет зависеть от неизвестного спектра Гхх(1). Этот недостаток свойствен не только спектральному анализу. Вообще говоря, справедливо правило, согласно которому наилучший план действий должен опираться на некоторые представления об истинном положении вещей. Следователыю, очень важно проводить четкое различие между планированием спектрального анализа до сбора данных и самим анализом данных, после того как они собраны. Мы хотели бы использовать критерий минимума среднеквадратичной ошибки нли какой-нибудь аналогичный критерий до проведения спектрального анализа, чтобы решить, например, какой длины нужно взять запись.

Но после того как данные собраны, могло бы оказатьсЯ, что наши пРедставлениЯ относительно Гхх(1) были абсолютно неправильны. Чтобы избежать этого, любой практический метод спектрального анализа должен предусматривать самостоятельный план дей. ствий и не зависеть решающим образом от каких-либо существенных предположений относительно Гхх(1). Другимн словамн, данные должны говорить сами за себя. 4. Если бы даже существовали ситуации, когда имелась бы точная информация о Гхх(1), подход, использующий критерий оптимальности, указывает лишь, какой способ действия является наилучшим в среднем.

Так, оптимальное корреляционное окно (7.2.3) будет наилучшим лишь в среднем 1если при этом пользо ваться критерием (7.2.2)]. Однако оно, возможно, окажется очень плохим для некоторой конкретной реализации случайного процесса. Например, один и тот же процесс может дать две реализации одинаковой длины, для которых потребуются совершенно различные значения ширины полосы частот окна, обеспечивающие хорошую выборочную оценку спектра. Эти недостатки существенны, и поэтому требуется более гибкий и устойчивый подход к сглаживанию. Для того чтобы предложить подходящий эмпи нч щий эмпирический метод сглаживания, необходимо вновь поразиться к о щим к общим задачам спектрального анализа и сформулировать их в то очном и пригодном для наших целей виде.

Это делается в след щ следующем разделе, где вводятся понятия степени искажения и устойчивости, Далее, в разд. 7.2.3 предлагается эмпнрическ й йческий способ сглаживания выборочных оценок. 7.2.2. Степень искажения и устойчивость Общая цель любого спектрального анализа состоит в том, чтобы как можно точнее оценить функцию Гхх(1). Для этого требуется выполнение двух условий.

1. С ' пий сглаженный спектр Гхх[1) должен как можно мень'редпий с ше отличаться от Гхх(1), т. е, должно быть малым смещение В У) =1хх У) — Гхх(0. Если это требование выполняется одновременно для всех 1, то говорят, что Гхх ()) воспроизводит Гхх(1) с малой степенью иска- женин (1)бе11(у). 2.

Дисперсия сглаженной спектральной оценки Гхх(Д (М1 Чаг(Схх())) = т ( ь ~ должна быть мала. Если это верно, то говорят, что оценка имеет Чтобы проиллюстрировать, что требования уменьшения степени искажения н увеличе н увеличения устойчивости являются противоречивыми, мы снова вернемся ернемся к некоторым эмпирическим выводам равд, 7,1, Малая степень искажения. Рассмотрим сначала на рис, 7,2 гра фик функции Гхх(1) для процесса авторегрессин первого порядка с а~ —— — 0,4. С помощью окна Тычки можно получить малую степень искажения для |ения для частот, меньших 0,375 гц, если взять точку отсечения й = 8, т.

е. ширину полосы частот окна Ь = 1,3378 = = 0,187 гц Истинный спектр имеет широкий пик с центром на 1 = 0,5 гг, и, чтобы получить сравнимую степень искажей= ния в окрестносзи стносзи 1 = 0,5 гц, нужно взять точку 'отсечения = 18, Процесс авторегрессин первого порядка с а~ —— — 0,9 имеет гораздо олее узкий п б „узкий пнк на той же частоте 1 = 0,5 гц. Из рис, 7.5 видно что для чмег для умеренной степени искажения при использовании окна оартчетта тре ет о . а требуется, чтобы значение точки отсечения (.

было ие менее, т. е. ши 48, . е. ширина полосы частот окна составляла 0,031 гц, гв Примеры одномерного анализа Глава 7 Заметим, впрочем, что в этом случае Гхх(7) изображена в логарифмическом масштабе, так что степень искажения измеряется величиной 10 1'хх (О - 1И Гхх ())~ а не величиной Гхх (О - Гхх ()), как в предыдущем примере. Нам кажется, что степень искажения логичнее измерять в логарнфмическом масштабе, а не в линейном, поскольку существенны относительные, а не абсолютные искажения мощности. Отметим, что при Е = 32 степень искажения вблизи пика такого же порядка, как и в интервале 0 — 0,375 гц. Следовательно, в этом случае окно с одной и той же шириной полосы частот подходит для оценивания всего спектра.

Характеристики

Список файлов книги