Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Устранение низкочастотного тренда часто является необходимой оберацией перед оцениванием спектра. Ниже приводится пример, где из-за невозможности устранить тренды появляется значительйое смещение в выборочной спектральной оценке. г. Разделение врел!йннбго Ряда на компоненты. Часто при изучении соотношений между временными рядами лучше разложить вз Глава 7 Примеры одноМерного анализа исходный временнбй ряд х, на компоненты х = х! и + хгв + ... + хов ! (7.3.!2) с помо!цью набора полосовых фильтров.
Например, из предварительных сведений может возникнуть предположение, что низкочастотные компоненты, содержащиеся в х,, можно лучше предсказать по низкочастотным компонентам, содержащимся в некотором другом ряде ун чем по самим рядам х, нли уо Поэтому каждый ряд х, в (7.3.12) можно использовать по отдельности для дальнейшего ш анализа. Применение такого подхода при анализе метеорологических временных рядов изложено в (14], а при анализе экономических рядов — в (13]. Биномиальные фильтры.
Особенно простой набор фильтров, который можно использовать для этой цели, приведен в 1!5]. В этом наборе используются введенные ранее суммирующие и разностные фильтры. С помощью г-преобразований разложение на компоненты можно записать в виде Г1 1 х,--1 — (1+г )+ — (1-г )/ х,— =(.
в = — ) ~(1+г-!)" +й(1+г-')'-'(! — г-')+ ... ... +( .)(1+г !)а ' (1 — г ')'+ ... +(1 — г !)е] х,. Таким образом, временной ряд хс можно расфильтровать на й + 1 временной ряд с помощью А+! фильтров, причем передаточная функция 1-го фильтра равна я (г) ~ ) ~ ) (1, г !)а ! (! г-.!)! Следовательно, выход х!'1 этого фильтра получится, если исходный сигнал пропустить через й — 1 суммирующих фильтров и ! разностных фильтров, а затем умножить на коэффициент У];) Из (7.3.10) следует, что Бй фильтр имеет пик иа частоте Гв.
й — 2! соз2п~о — — —, !'=О, 1, ..., й. й Напрпмер, при й = 4 пики расположены на частотах 0; 0,167; 0,25; 0,417; 0,5 г!1. Пример цифровой фильтрации, Зтот пример относится к оцениванню спектра отраженного радиолокационного сигнала и опи- сан подробнее в [16]. По техническим причинам при измерении отраженного сигнала нельзя отделить эффект, вызванный рысканьем самолета, за которым следит радиолокатор. На рис. 7.18 показан участок записи, где рысканье достигает экстремума и намного превышает высокочастотный шум, спектр которого нужно проанализировать. о,ог -оог оо цо й5 пл о го лдз хоо гоо гоо год Р и с. 7ЛЗ. Исходный и отфильтрованный отраженный радиолокационные сигналы.
С этой записи были взяты отсчеты в 320 точках и отфильтрованы с помощью симметричного фильтра (7.3.5) со следующими весами: 1 Ь =!в о — т+! в Ь =й = — ( — + — соз " ], 1=1,2, ..., т, взч-1 12 2 и+1)' где т = 9. Значения в скобках совпадают со значениями окна Тычки шт из табл. 6.5; они нормируются так, что их сумма равна единице, и вычитаются из весов, лающих тождественное преобразование, чтобы получился высокочастотный фильтр.
Отфильтрованный ряд у! показан на рис. 7.18 вверху, и мы видим, насколько эффективно устранил фильтр низкие частоты. Были вычислены выборочные ковариационные функции исход ного и отфильтрованного рядов, и затем с помощью окна Бартлетта получены выборочные спектральные оценки при разных значениях точки отсечения Б. Выборочные оценки спектра отфильтрованного ряда переставали изменяться, когда !. достигало значения 30, в то время как для исходного ряда потребовались гораздо ббльшис значения Б. Чтобы сравнить эти два спектра нз высоких частотах, на рис. 7.19 приведены выборочные Глава 7 Ггримерьг одномерного анализа 7 4.1.
Построение моделеи го лом го" гол г(ого го' го-в о О ад Щд 437х Ов беи спектральные оценки обоих рядов при одном и том же Е. Мы ви. дим, что на высоких частотах исходный ряд дает оценку в 1О раз больше, чем отфильтрованный. Это происходит из-за того, что в исходном ряде мощность на низких частотах очень велика, и происходит ее утечка в высокочастотную часть выборочной оценки, приводящая к большим смещениям. Имелось несколько записей такого типа с различными степенями рысканья, в том числе и такие, на которых эффекта ры- Р н с. 7П9.
Выборочные спектральные (не аормпровапные) оценки исходного н отфильтрованного радиолокационных сигналов. сканья совсем не было видно, После того как записи, содержав- шие эффект рысканья, были отфильтрованы до оценивания спект- ров, получилось хорошее со~ласие со спектрами, оцененными по записям без рысканья.
7.4. ПРИМЕРЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ С тех пор как 15 лет назад Бартлетт и Тычки ввели спектральные методы, в литературе появилось много сообщений об их применениях в различных областях. Большивство этих применений можно разделить на три широкие категории: построение моделей, планирование экспериментов и изучение частотных характеристик. Некоторые дальнейшие применения спектрального анализа мы приведем ниже, а в настоящий момент уместно показать, какую пользу может принести знание спектра одиночного временного ряда в этих трех областях.
Форьга спектра иногда выявляет особенности временнбго ряда, которые должны быть учтены в любой модели, предложенной для этого ряда. Например, наличие пиков в спектре и их величины могут выявить основные периодичности, требующие физического объяснения. В тех случаях, когда спектры изучаются с целью лучшего понимания физического механизма, порождающего временной ряд. одиночный спектр редко бывает очень полезен. Наиболее важные о 004 Дорог ОО 04 ОВГО ЗО 4,0 4010 Г2(й Р нс. 7.20.
Спектры горизонтальной компоненты скорости ветра, наводящие соображения относительно моделей можно получить при изменении внешних условий и совместном изучении нескольких спектров. Эти внешние условия могут находиться вне нашего контроля, как в первом из приводимых ниже примеров, или же их можно преднамеренно изменять в виде запланированного эксперимента, как во втором примере. Прилгер 1.
На рис. 7.20 показана выборочная спектральная оценка горизонтальной компоненты скорости атмосферной турбулентности, приведенная в (!7). Верхний график получен по измерениям, сделанным при ясной погоде (высокий уровень солнеч. ной радиации), а нижний — по измерениям, проведенным в облачную погоду (низкий уровень солнечной радиации). Отметим, что мощность спектра гораздо больше в периоды высокой радиации и что эта мощность сосредоточена в основном на низких частотах. В частности, пик спектра сдвигается в сторону низких частот с увеличением радиации, в то время как мощность на высоких частотах, по-видимому, не зависит от радиации.
Эти выводы Ггралгеры одномерного аналога Глава 7 аю 1'г = т! (о,) + 2, = О,о, + Ео 1 ргог 2=1 О,= 2 2 ткт = Мат,~~ Угро Гхх(Ь) =26(1+6) э Гхх(й) = —" ,й(1 +й)-ч*, Ъ'аг(6,1= —, Ггг (2ь). (7.4.2) получены в результате детального изучения в работе (18], где предлагается следующее физическое объяснение такого поведения спектров: на высоких частотах основными причинами атмосферной турбулентности являются механические силы, или силы трения, а на низких частотах причиной служит конвекЧия, вызванная солнечной радиацией. На рис.
7.20 ордината пропорциональна 1С„,()), так как по абсциссе откладывается !д ~. В результате, несмотря на логарифт ге тг~ф мический масштаб, пло- щадь, ограничиваемая цю кривой, равна полной дисггм персии, или мощности. Поскольку средняя скорость ветра Гг изменяет интенНем сивность турбулентности ап и ее распределение по частоте известным обраггм зом, то оказалось естест- венней построить на рис. Веэ 7.20 графики безразмерных величин )С „.()72Г)!Ггт и 17!)7.
цат аю цго цэоцееаюцееаеого лггр Пример 2. На рис. 7.21 р н с. 7.21. спектры нертнкальноа компоненты показаны три выборочскорости ветра. вые спектральные оценки, относящиеся к измерениям вертикальной компоненты скорости атмосферной турбулентности на трех различных уровнях над поверхностью земли (см. (18)). На рисунке нанесены безразмерные величины !ССк (72/Гг)/Р2 и )Е!Г, где 2 —.высота над поверхностью земли.
Мы видим, что два верхних спектра очень похожи по форме и имеют максимум на одной и той же частоте. Нижний спектр не похож на остальные. На основании этих и других выборочных спектральных оценок, приведенных в [18), было найдено хорошее согласие вдиапазояе частот, где спектр существен, между эмпирическими спектрами и двумя предложенными теоретическими выражениями где Ь = уУ)!тг и у — константа. В литературе можно найти много других примеров объяснений сложных физических явлений, предложенных на основе спектрального анализа или частично проверенных с его помощью. 7.4.2. Планирование экспериментов В качестве примера применения спектрального анализа в планировании экспериментов рассмотрим следующую задачу.
Пусть требуется составить план эксперимента для оценивания наклона повеРхности отклика 21(оь ..., о„), имеЯ в видУ использование этой поверхности для нахождения максимума или минилтума Например, 21(о) при и = 1 могло бы быть выходом химического продукта или себестоимостью одной его тонны, а о — скоростью подачи сырья в реактор. На практике можно различать две ситуации.
В первой значения процесса получены из отдельных партий, а переменные о, устанавливаются перед началом выпуска каждой партии. Первая ситуация имеет место и тогда, когда процесс является непрерывным, но его регулировки проводятся столь часто, что в промежутках между ними изменением характеристик процесса можно пренебречь. Во втором случае процесс является непрерывным и наклон также измеряется непрерывно, как в управляющих системах поиска максимума (19).
Используя выборочную оценку наклона, управляющая система может подправить значения переменных, управляющих процессом, с тем чтобы максимизировать выход продукции или минимизировать ее себестоимость. Предположим, что в первой ситуации значения о подправляются через единичные интервалы времени о,=асов — „, 1= 1, 2,, Лг, (7.4.1) Предположим далее, что амплитуда ц косинусоидальной волны фиксирована и что требуется выбрать ее период 2Ь так, чтобы минимизировать дисперсию оценки наклона. Считая, что модель линенная, т.
е. где Уг — шум, или ошибка, получим обычную выборочную оценку наименыпнх квадратов для 01 В приложении П7.2 показано, что дисперсия соответствующей оценки 6, приблизительно равна зз Глава 7 Примеры одномерного анализа Следовательно, при фиксированном а дисперсия достигает минимума, когда частота !/2Ь возмущающего сигнала соответствует минимуму в спектре шума. Другими словами, максимизируется отношение сигнал/шум аа/2Ггг ( 1/2Ь) . Для второй ситуации возмущающий сигнал есть косинусоидальная волна р (!) = а соз 2тт/о/.
В Приложении П7.2 показано, что дисперсия наклона в этом случае миинмизируется тогда, когда достигает максимума величина о'П Ио) 21'гг (/о) ' (7.4.3) В (7.4.3) 6(/е) есть значение функции усиления системы на частоте /е Пример 3. Данные о партиях продукта на рис. 5,2 были получены без каких-либо преднамеренных изменений переменных, управляющих процессом. Таким образом, функция С,„(/), показанная на рис. 7.!5, дает выборочную оценку спектра Ггг(/) шума процесса.
Эту информацию можно использовать при планировании эксперимента, где некоторая переменная, управляющая процессом, намеренно изменяется по косинусоидальному закону (7.4.1) или по другому периодическому закону, скажем, в виде прямоугольной волны с периодом 2Ь. Из рис. 7.!5 видно, что спектр почти плоский от / = 0 до / = 0,25 гц, но резко возрастает при / ) 0,25 гц. Поскольку Ь = ! соответствует частоте / = 0,5 гц, а Ь )~ 2 соответствует диапазону от 0 до 0,25 гц, то, очевидно, любое значение Ь )~ 2 было бы приемлемым. Однако имеются серьезные причины выбирать возможно более высокую частоту, поскольку существуют низкочастотные тренды и сносы, увеличивающие дисперсию на этих частотах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
