Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Теоретическая и вычисли. тельная геофизика, М., пзд-зо «Нзукз», 1971, где БПФ скомбизпроззно с ~то. дом Филона длп вычисления пптстрзлз Фурье, что позволяет увеличить иптервзл отсчета о и сэкопомпгь время вычислений. — Прим. перев, Глана 7 71 у»а у~ '= — ~ у,е )н"т»н', ЛИ вЂ” ч г е-» (<п»т»м )» » (П7.3.2) » ) »-) У»» + — р г е-» "" ""' = %"Ч ж.'-4 ' н»2 и»н) ~ у»е-! н % \ ((» 24 (н»е) 1 <н»а) У' +22 =е! -7 14 !9 12 » ) е! 0~(т -' — — 1. (П7.3.3) Кроме того, 2 3 4 6 6 (н»2) ст) -)<на) = ут <У»2) (М»2) от+(у»2) от 0~(т ~( — — 1, У» -6 — 28 -! -20 7 19 так что Е» (Са»») (т+к»а) <Н»а 1 <л»г) 2 + — Хт 2 -20 -8 7 -6 !4 Хт+<лм) = (М) 1 2 3 с »»» -6 -1 -7 е» -28 — 20 19 с» У» -20 7 14 гг е» вЂ” 8 -6 12 Каждый из рядов у», г» содержит У/2 членов, и преобразования Фурье этих рядов имеют внд где верхний индекс преобразованных величин указывает число членов ряда, которое совпадает с числом членов преобразования.
Величины Х, У, Л' связаны следующими соотноше(н) (н»а) (н»2) ниями: Х вЂ” '~ х»е-У (»п»т»н) — — у [у„е-» (апт»н) (2» — о ! г е-»' <2лт»ю а») (н) 1 кп = у А Следовательно, окончательный результат равенств (П7.3.3) и (П7.3.4) имеет вид Х'"'= " ' у<н»а)+ — 'Х("а) т 2 2 е! Ннт' ' <Лд) 1 <н»е) Л' (П7.3.5) е Хтл(нд)= 2 Ут + Хт 0(~т( 2 1 и мы видим, что преобразование Фурье ряда х, легко получить из преобразований Фурье вспомогательных рядов у, и г». Подобна)м же образом при четном»)»/2 можно расщепить каждый из радон у» и г» на дра ряда у,', уа и г,', гм соответственно и вы- Гтримерь» одномерного спектрального анализа вести соответствующий вариант формулы (П7.3.5), который выразит преобразования У,', и Х ' через преобразования рядов (н»2) (ни) длиной Л»/4.
Для рядов длины /)/ = 2" эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока расщепление не приведет к рядам, состоящим из одного члена; в этом случае преобразование Фурье этого члена совпадает с ним самим. В случае если У не равно степени двойки, раси(епление на два ряда продолжается до тех пор, пока либо легко взять преобразование Фурье вспомогательного ряда, либо пока пе встретится новый множитель /<», скажем 3. Процедура при этом остается той же самой, что и выше, с той лишь разницей, что очередной вспомогательный ряд расщепляется на три ряда.
Подробности приведены в [2]. Ниже разобран пример. //рил»ер. Рассмотрим ионосферные данные из гл. 2, где и = !2 = 2'3. Данные таковы: ! 2 3 4 6 6 7 8 9 !О !1 12 к» -6 -20 — 28 -8 — ! 7 -20 — 6 Расщепление на два дает следующие ряды: Расщепление у, и г, на двз дает ряды Глава 7 73 Н мор гнрмоннкн нг Зннченнн нрнобрнзонаннн Фурье о у' и) я' (3) нг у <з> а гг (3) — 1, 1667 — У 1,4433 !4,3333 — )2,3093 6,8333 — у7,7940 6, 3333 — 10,5773 — 1, ! 667 + у ),4433 14,3333 + 12,3093 6,8333+ у7,7940 6,3333 + )0,5773 -4,6667 — 9,6667 0,3333 — 0,6667 хи21 — 0 250 — у),250 5,000 Е у'о,485 — 0,167 + 10,866 3,204 -(- 14,598 — 1,704 — у 0,598 гн й((2) — 0,250 + у<,250 — 0,167 — у'0,866 5,000 — 15,485 — 1,704 4- 10,598 — 3,500 3,204 — у4,598 ЛИТЕРАТУРА Номер Гармоники ю Значение Преобразоааннс Фурье рялоз р,', з,', уун, з," уже нетрудно вычислить.
Каждое из них состоит из трех членов, как показано ниже. Затем с помощью формулы (П7.3.5) вычисляются преобразоаа. ния Фурье У(), б',~) (0(т~~5). Например, Уо = — Уо -!- — Хо (в> ! ,<з> , 1 ,<з> 2 ' 2 = — 7,1666, = 2 (2+1 2 ))у( + — Х) =6,2500+1'1,0103, Уз — ( — + У' — 1 Уз + — Хз = 8,0833 — 11,2990, (И ! У ! . 1'3)2 гкя 1 .(П 2(2 2 У 2 2 ' 2 = — 2,5000, )Г3 )2 Преобразонание б(") получается аналогично, и, сводя вместе у'о' и Хю(и, получаем таблицу. (урал(ерьг однонгрнога спектрального анализа Комбинируя этн зпачен>(я по формуле (П7.3.5), получаем окончи. тельное преобразование Х'„'". Например, Хо = — )о+ —, 02) ! (г), ! . (О) 2 ' 2 = — 3,667, Х( = — ( — — г у —, у у( + — 2) = 3,204 + 14,598, (12) ! у 1 3 . ! (о), ! (3) 2( 2 ' 2! ' 2 Полное преобразование имеет аид С точностью до сднига фазы, вызванного изменением начала отсчета времени, эти значения совпадают со значениями, приведенными а табл.
2.2, которые были вычислены с помощью метода разностного уравнения, описанного а Приложении П7.1, или же с помощью прямого метода гл. 2. !. К окреп н кр., Что такое быстрое преобразование Фурье?, ТИИЭР, т. 55, № !О, стр. 7 — 17 (окгнбрь 1967). 2. К у л и, Л ь ю не, У э л ч, Исторнческяе замечания оп(оскгельпо быстрого преобразованкя Фурье, ТИИЭР, г. 55, № !О, стр.
18 — 2! (октябрь !967) 3. !ЕЕЕ Тгапзаспапз оп Аийо апб Е<ес<гоасом<<сз, уо). Л!).15, № 2, Липе !967 4. С о о <е у Л. 'уу, Ее уч ) 3 Р. Л. %., Гч' е)с Ь Р. Р., Лррпса1(оп о1 Рае Рай Ранг!ег Тгапйопп 1о Согарйаноп о1 Гоипсг !п1еига)з, Роипег бепез, апб Сапчо1и1!оп !п1екганк <ЕЕЕ Тгапзаснопз оп Лийо апд Е1ес!гоасоизпсз, Туа(. Л1Л-!5, № 2, Липе 1967, р.
79. 5. И е1го 3 И. Р., Рай Роипег Тгапйопп Ме<))об о1 Согпри1!пк Р<мегепсе ЕяиаНопз апб 5ппи1аппк Ен(егв, !ЕЕЕ Тгапзаснопз оп Аийо апб Е<ес!гоасаиз<<сч, 'у'о<. А<У-<5, № 2, йше !967, р. 85. С» С»» Л 3 Ю О СЧ СЧ О 3- л — с. ч 3» сл сл а Ю Ю СЧ3 Ю Ю Ю О с» с» и» с3 «'» сЧ ч «» о — — о о Ф 3- с» ю о Ю» о — сл 3- сл 3- — сч сч сч о »л — 3- с» о ю сч сч с» л л 3., — » ч сю «» о сю ю» .» сч и» о 3-.
л» сч л а «3 О'О" Ю" О-"О О -"-"Г» О" «ГΠ— -"ΠΠΠΠ— О СЧ" Л» О ! ! ! о сл о ю» с- С'3 са СЛ о о о сч СЮ Я Ю 3 ' Ю сю Ю СЧ »Л О о о о о о о о о о ! с» 3 а — сч о 3 — о — о 3 о 3 а ю — ч ю ю си с« ю сл и» сю сл ч с» сю м» .3 3 о л а ю 3 ю сю ю о сл ю ! ! ! с» 3 сл с о ч 3 сл »л сч и» 3 «ч и» ю» л сл а». сс ю а С.„сч о сс сч л» а и» -„ь с» 3-, »л сл сл о — — сл ! . ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! й Й й й, л й и» о а сл и» С 3» 3' СЛ Ю СЮ са сч=о о ооой»ою с» са л» ю о сч о о" СЮ» — С» 3 СЛ О «Са СЛ Ю 3 С вЂ” О 3 СЮ СЮ СС Сю Са О »Л СЛ сь 3 сл — ».
«ю сч и» и» 3 л о ю — и» о и» 3., сч сл «» О - О О О - О - СЧ - - О О - -"О Л» О СЧ СЧ - О О" О ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 3» Я вЂ” СЛ Ю сч — о о ! сч о а с» о — сч о 3 с си сл сл а» са л г- 3 сл сл сч сч 3 сч с» сл 3 3 а» ю» сл л ю сч с» 3, и» л» ю «сл 3»с — — сь сч «сл ю, л сч с» ~ си о о — — — о -" о о о" — о о о о о о о о сч о о о ! ! ! ! ! ! ! л» сс сл сю и» ю са с» сл сл с» сч »л а» сю л» сю 3 сч сл «ю сч», о л» и» 3- о л сч ч сч„о ч„л» ю» сю ю» — о сл ил о и» а» -" ю" о -" " ю -" сч" о" о о о - - = о -" сч" о о о"- ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! сл сл «л сч ю» сл си 3 3' в 3 л »л и» ч сл а» «3 О а» в сл — о„- сч ю сю о — с,а о и» ч ю сл о сю и о — сл ю о — о — -"-"о сч — с» — -"сч о о ю - о о — ю» — — о о ! ! ! »л сч — сч с» 3 л сч и» с» 3 сч с".
л о сл 3 сл сю ф сл о о с сл — сл сч ю сю сч 3., сч сч сс а с» ໠— сю сл л л. о сч — о о" о о о — — о о" о сч" о — о о о о о — сч -" о ! ! ! ! ! ! ! о о о о о с; г сь О«3-О с» 3 3 си сч ю си с'» л» ю Л 'Л Л Ч' С'3 СЮ о о о сч сч о л» сч 3 а: сл сл ю са са сл ч сл 3» ю» с» сч СЮ СЛ Л, С., — Сю 3'» О С» СЮ 3» Л О„.Л Сю Ю Сю О Л, Л О „л -"-"оо"=о" о-"--"счо-о" счо" оо-"-"о "счсКю ! ! ! ! ! ! ! ! сл с» ю и» сч ю о о са сл сл сч 3- сч о л 3- с» сл 3 — ю о сс сю», и» ч" ю о и» «3, о сю сю сс» сю сч »л 3' с» »л а ю ч' О-"ОО" О О О-ОО-ОО-О О ОС»ОСЧОООСЧ ! ! ! Ю о о о о о сл с- сю о о ю о о о о о о С'3 СЛ 3' ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ю»ю.«илср~сюао — счсю С2 О Ш о 33 о о~ ~ й[ ~ 33« ~о оО ~о ,) Ф.
~о ! ~ !3!! „~ж ж ~ О ~Ш ф Ш !Х ! ~ Ш Ш й ШО йи ! оа ° 3~ ж Ш л й !='ю л л а. л 3 ° й и + ю ю 3 а. ю л л, й й» лю ю»С й й и и й с» 3' СЛ СЛ вЂ” 3 3- СЮ О «» »Л Ь Л »Л СЧ СЛ О СЛ Х 3, О О О С СЛ СЛ Ю С- Л С» СЮ о о о о — — о о о о — — ю о Ь СЛ 3 ° СЧ Сю Ю СЧ Сю СЛ СЧ О Ю »а 3 сю 3 с» а» с сл 3' а» 'л 3 ΠΠΠ— «3 — — Ч вЂ” Л» О О О О СЧ сю о с сю «» сл л» а — 3 сю л сл о л СЮ О О О Ю СЛ СЧ О„Ю Сч Ю СЧ 3 сл СЧ ю с» с'» сч — — с» — сч ! а» сю сю с« 3' и» с'3 3 .л ю 3' 3 сч сю в о ю» л» а» сч 3-, 3-, л сч — 3, с-» са ѻΠ— О" О-"СЧООООЛ» — — О СЛ са Са 3' 3 Л» С» Л С'» 3 Ю ЮЧ 3 сл л» о — сю сл са сч о — ~ о сю о" счюо" о-"осч-с»" оо--"ю" ооооооооооо сл 3 а» о — сч с» ч сл са с С'3 «3 Л» С'3 СЧ С 3 СЧ СЧ ! ! ! ! ! ! ! ! Юю Юю Я Я Юю Юю Ю~ Я Юю О Я Юю Я СЧ С3 С» -» «Л СЮ СЛ 0» Сю 3» СЮ ч" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Таблица П7.2 Выборочные оценки корреляцнй для процесса авторегрессня второго порядка Л,=Х,,-05Х,,ЕХп У=50 схх (М ~хх (в( с са) ~хх (В1 Тиолица П7.3 Выборочные оценка корреляций для процесса авторегрессцн второго порядка Х(=Х( ( — О,БХс с+2(, Ж 400 "хх (В! хх ао ~хх (В1 с (и 1 2 3 4 б 6 7 8 9 !О 1 2 3 4 б 6 7 8 9 10 !1 12 0,574 0,086 -0,166 — 0,130 0,096 0,225 0,244 0,032 — 0,180 -0,199 0,645 0,196 -0,080 -0,099 -0,009 0,057 0,066 0,040 0,030 0,052 0,088 0,051 11 12 !3 14 15 !6 17 !8 !9 20 13 14 15 16 !7 18 19 20 21 22 23 24 -0,068 0,124 0,109 0,000 — 0,063 -0,043 0,062 0,103 — 0,047 — О, 152 0,012 — 0,021 -0,074 — 0,1!9 — 0,070 0,008 0,064 0,069 0,0!7 — 0,026 -0,032 — 0,044 21 22 23 24 26 26 27 28 29 30 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 ЗБ 36 -0,217 — О, 124 О,ОЗБ О,! 65 0,137 -0,045 — 0,136 — О,! 56 — 0,027 О,! 09 — 0,075 -О,!16 — 0,078 -О,ОЗБ — 0,0!3 -0,036 -0,044 -О,037 -0,015 0,047 0,080 0,066 31 32 ЗЗ 34 35 36 37 38 39 40 37 38 39 40 4! 42 43 44 45 46 47 48 0,049 -0,051 — 0,200 — 0,213 — 0,097 0,004 0,007 — 0,060 — 0,096 -0,086 0,019 -0,020 -0,045 -0,035 0,02! 0,083 0,081 0,017 — 0,004 0,042 0,08! 0,069 Глава 8 ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И ВЗАИМНЫЙ СПЕКТР В этой главе понятия, введенные в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
