Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Увеличение Е до 48 выявляет эти пики очень наглядно, и далее видно, что при увеличении Е до 60 спектр меняется мало. Поэтому было взято значение Е = 60, для которого эквивалентная ширина полосы частот равна 1,5)60 = 0,025 гг(, и выборочная оценка на каждой из оцениваемых частот имеет 3 448/60 = 22 степени свободы, что является приемлемой величиной.
Доверительный интервал при Е = Примеры одномерного анализа 46 Глава 7 7.3.5. Цифровая фильтрация г,о г,о у,= ~ Ьгх, г, (7.3.5) оов (7.3.6) дог о пггг ог 5»а цггг ого = 60 показан на рисунке вертикальным отрезком, а ширина полосы частот — горизонтальным. В этом конкретном эксперименте потребовалось вычислять корреляции для 60 запаздываний, чтобы подходящим образом описать Рис.
7.17, Сглаженные ныборочные оценки норягироаанного спектра отражен- ного радиолокационного сигнала, изображенного на рис. 53. пик на частоте 0,07 гц. В то же время для частот, больших чем О,! гц, спектр можно довольно точно определить с помощью лишь 32 значений корреляций. Это еще раз иллюстрирует важный практический факт: в то время как для оценивания очень узкого пика в определенной части спектра могут понадобиться очень большие значения Е, остающуюся часть спектра, возможно, удастся проанализировать при гораздо меньших я.. В настоящем примере с радиолокатором пик на частоте 0,07 гц не представлял большого интереса, поскольку он был вызван частотой сканирования радиолокатора.
В действительности интересен был частотный диапазон выше О,! гц, который можно было бы успешно проанализировать с помощью относительно небольших значений Ь, таких, как 32 нли 40. Иногда в результате предварительного исследования (например, пробного анализа или визуальной проверки) становится ясно, что спектр очень плохой. Под этим подразумевается, что большая часть мощности сосредоточена в одной или нескольких узких полосах.
Из-за утечки мощности в боковые лепестки спектральных окоп такие пики могут сильно исказить выборочные спектральные оценки в тех местах, где мощность невелика. Поэтому для улучшения выборочных оценок на этих частотах может оказаться полезной цифровая фильтрация данных, Цифровая фильтрация — это просто преобразование набора входных данных х, в набор выходных данных уг с помощью линейного соотношения вида где Ьг — подходящим образом выбранные веса.
Заметим, что необязательно требовать условия «физической осуществимости», из которого следует Ь~ = О, ! С О. Таким образом, фильтр (7.3.5) может использовать как значения х слева от г7г («прошлые» значения х), так н значения х справа от у~ («будущие» значения х). Как показано в гл. 2, передаточная функция цифрового фильтра (7.3.5) равна Н(г) = ~~'., Ь,г ' где использовано обозначение г-преобразования. Подставляя в (7.3.6) г =- е«1«нга, получим частотную характеристику фильтра. Частный случай такого фильтра, который в дальнейшем нам понадобится, получается при Ьг = Ь г. Для таких симметричных фильтров частотная характеристика равна Н(7) = Ье+2 ~~~г~йгсоз2п~И, — ~~ «(г' < ~, (7.3.7) 1=г Таким образом, фазовый сдвиг между входом и выходом будет ! равен либо нулю, либо п, поскольку (7.3.7) не имеет мнимой части, 48 Глава 7 Функция усиления 0(!) получается, если взять модуль от Н(!) в (7.3.6).
В равд. 7.3.2 мы отмечали, что пробное оценивание спектра мощности заключается в применении подходящих цифровых фильтров к временнбму ряду с последующим возведением в квадрат выходных значений этих фильтров. Одно из первых применений цифровые фильтры нашли при сглаживании временнйх рядов. Так, например, иногда сглаживают экономические временные ряды, чтобы снизить влияние краткосрочных (высокочастотных) флуктуаций и, таким образом, сделать возможным изучение трендов экономических величин. Примеры цифровых фильтров. Сейчас мы определим некоторые простые цифровые фильтры и обсудим их свойства. Для простоты предположим, что в этих примерах интервал дискретизации по времени Л равен единице.
1. Сглаживание тройками. Временной ряд можно «сгладить тройками», группируя наблюдения следующим образом: у, = й ,хеы + Ь,х> + Ь>х, Если веса равны, эта формула становится симметричной 1 Уг 3 ( 1+! 1+ 1-1)> откуда получаем передаточную функцию 3( ! Частотная характеристика равна З(1+2соз2л1) З ' !' 2«7 2' Отсюда функция усиления и фазовая характеристика имеют вид ' 0, !)!( —,', Р (1) = 3 2 2.
Суммирование. Рассмотрим суммирующий фильтр У! = (х! + хг-1). Передаточная функция этого фильтра равна Н (з) = (1 + а '), Я Примеры одномерного аноаива > откуда получаем частотную характеристику 1 > Н (1) = (! + е 1енг) = 2е 1"! соз л), — — (( < — '. 4 49 Функция усиления и фазовая характеристика имеют вид С ()) = 2 ~ы ~), — 2 ( 1< 2, 1 1 Ч (!') =М. Таким образом, этот фильтр действует как низкочастотный. 3. Взятие рсзносгей. Разностный фильтр определяется фор- мулой (7.3.8) у, = (х, — х, ,) и имеет частотную характеристику 2 ~ 2' ! ! Н (11 = 2)е !"! 3!п л!' = 2е !" '! мв 3!п л), Функция усиления и фазовая характеристика равны 1 ! 6 (7) = 2 ! ейп л! !, — 2 (~ ! < 2 > !! л ~(+ Ц, — — ()<О, ф(!') =( () — —,'), 0 () < —,'-.
Следовательно, развостный фильтр действует как высокочастотный. Функция усиления этого фильтра показана на рис. 1.4. 4, Сулмо-разнсттггые фильтры, Рассмотрим теперь фильтр, состоящий из т суммирующих и из и разностных фильтров. Из (23.26) и (2.3.27) полная функция усиления и полная фазовая характеристика равны Оы,н(1) =2 +"(созл!) |3!пл)!', — 2 (!< —, (739) ! ~~(т+~)+ — ', ал ф(1) =1 л!'(т + л) — —, Отметим, что функция усиления имеет максимум на частоте ! l ги — а! го = — а ГССОЗ! 2л о>+ а (7.3.!О) Теорема Слуцкого.
Если на вход описанного выше сумморазностного фильтра подается процесс со спектром Гез(!), то, во Глава 7 Примгры одномгрного аналиэа используя формулу (7.3.9), можно получить спектр выходного процесса Гхх(1)=2 +"~'(созп~)~ (з!пп[)'"Ггг([), 0([~ С помощью формулы (7.3.!О) можно убедиться, что для белого 1 шума, т. е. когда Ггг(!) = 2, 0(~[< —, функция Гхх(!) стремится при гп оо, п оо, и/гп 0 к б-функции б(1 — )о), где соз 2п(и =— ! в в о !+в В аз .
6.2.2 б р д... ыло показано, что случайный процесс, спектр которого есть б-функция, является синусоидальной илн косинусоидальной волной. Таким образом, этот результат показывает, что если елый шум подвергать су'ммированню и взятию разностей достата теоточное число раз, то получится синусоидальная волна. Э рема принадлежит Слуцкому [1!), который отмечал, что в некотокое поведение рых случаях периодическое или квазнпериодическое экономических временных рядов объясняется процедурой сглаживаний, примененных к этим рядам. б. Фильтры для пробного спектрального анализа.
Фильтры, использованные в равд. 7.3.2 для пробного анализа, получаются из операций суммирования и взятия разностей с подходящими задержками. Например, передаточная функция фильтра, соответствующего сумме квадратов Зы из равд. 7.3.2, равна П(г) = 8 (э — 1) откуда функция усиления имеет вид 2 (ып 32:и"')' 1 ! !ыач)! ' 2 -~ 2 ' Аналогичные выражения можно получить и для других фильтров. Как отмечалось в разд. 7.3.2, фильтр, соответствующий Зя, имеет максимум на частоте Г = 0,5 гц и обращается в нуль первый раз прн ! = 0,25 гц. Следовательно, величину на выходе этого фильтра нужно распределить, грубо говоря, по интервалу от 0,25 до 0,5 гц, если требуется выборочная оценка мощности в этом интервале. 6.
Фильтры типа скользягцего среднего — авторегрессии. Обобщением.опнсанных выше фильтров являются фильтры типа скользящего среднего — авторегрессии, определяемые соотношением гн агу,.и!= ~~'., бгх!+!. (7.3.1 1) Основное отличие этого фильтра от предыдущих состоит в том, что выход у! зависит как от входных значений, так и отдругих выход- ных значений, т. е. эти фильтры используют обратную связь. Пере- даточная функция фильтра (7.3.11) равна р сэ' + . + рэ + р1э ' + " -> ргэ ' а я~Ч- ...
-1-аэ+а,э '-Ь ... +а„,э Фильтры этого вида обладают большей гибкостью, чем описанные выше, а также более экономичны в том смысле, что хорошее приближение к заданному фильтру можно получить с меньшим числом параметрое в правой и левой частях равенства (7.3.11). Этот факт проиллюстрирован на рнс.
5.20, где показано, что согласие с данными у процесса авторегрессии второго порядка лучше, чем у процесса скользящего среднего десятого порядка. Суммирующие и разностные фильтры или их обобщения можно использовать в большей части случаев, когда нужна цифровая фильтрация. Однако если при проектировании фильтра требуется особая тщательность, то параметры аь б! в (7.3.1!) можно подбирать эмпирическим способом, описанным в [12]. Сначала задается форма требуемого идеального фильтра. Затем параметры оо подбирпотся так, чтобы минимизировать некоторую величину, характеризующую качество приближения для нескольких выбранных частот, Например, можно было бы минимизировать среднеквадратичную ошибку отклонений фильтра (7.3.11) от идеального фильтра иа выбранных частотах.
Или же можно было бы минимизировать, как это делается при наилучшем чебышевском приближении, наибольшее расхождение между фильтром (7.3.11) н идеальным фильтром. Такие вычисления нетрудно выполнить с помощью вычислительной машины. Использование цифровых фильтров. Ниже перечислены некоторые из наиболее важных случаев использования цифровых фильтров. а.
Пробное оценивание спектров. Для этого нужен набор полосовых фильтров, например таких, которые приведены в [131 б. Сглаживание данных. Эта процедура устраняет высокочастотные осциляяции. Для этого нужен низкочастотный фильтр, в. Устранение трепдов аз данных, Для этого нужен высокочастотный фильтр, который можно получить, применяя низкочастотный фильтр и затем выЧитая результат низкочастотной фильтрации из исходных данных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
