Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Процесс второго порядка на рнс. 7.7 имеет более сложный спектр, в котором пик, в отличие от предыдущего примера, расположен внутри интервала частот. На рнс. ?.7 показана функция Гхх()) для окна Парзена, и мы видим, что при Е = 32 график воспроизводит пик с малой степенью искажения, в то время как при Е = 8 и 16 кривые на графиках идут намного ниже пика. Если ширину пика определить как расстояние между точками, где мощность уменьшается до половины пиковой, то в этом случае, как видно нз рис. 7.7, ширина равна примерно 0,08 гц.

Значения ширины полосы частот окна Парзена при Е = 16 и 32 равны 0„11 и 0,06 гц соответственно. Следовательно, при Е = 32 полоса частот окна меньше ширины пика, в результате чего и получается малая степень искажения. На рис. 7.12 показан еще более сложный спектр, соответствующий случайному процессу, состоящему пз двух узкополосных источников белого шума, причем расстояние с между полосами мало«).

Для получения малой степени искажения в этом случае требуется спектральное окно с шириной полосы частот порядка с, т. е. порядка расстояния между полосами спектра. Следовательно, можно сделать следующий общий вывод; для получения малой степени искажения ширина полосы частот окна должна иметь тот же порядок, что и ширина самой узкой существенной детали спектра. Таким образом, при планировании спектрального анализа до того, как собраны данные, полезно иметь приблизительные оценки ширины самой узкой детали спектра. Этот вопрос мы обсудим в равд, 7.3.1. Термин разрешающая способность был введен в [2) для описания аналогичного явления. Эта оптическая аналогия предполагает, «) На ркс 7.12 видны тря полосы частот.

Однако следует помнить, что спектр является четной функцией, так что его график прк 1 ( о есть зеркальное отражение графика прп 1 > о. таким образом, речь здесь идет о двух полосах частот при ) > О. — Прим, перев. что делается попытка разрешить линии в спектре, т. е. разрешить спектр вида (1) А(б() )) „б( „))) А (б() ~)р, () ~) В этом случае говорят, что б-функции, или пики, спектра разрешены, если ширина полосы частот окна меньше расстояния между пиками по частоте.

Это наводит на мысль о том, что такое понятие не является очень полезным в спектральном анализе, так как реальные спектры не могут быть описаны с помощью 6-функций; Р и с, ?.!2. Степень искажения пря оценивании белого шума, состояшего пз двух полос. иначе говоря, пики никогда не имеют нулевой ширины. Кроме того, как показано выше, важна именно ширина существенных деталей спектра, а не просто расстояние по частоте между пиками. Высокая устойчивость. В равд. 7.1 было показано, что малая степень искажения достигается прп определенном значении ширины полосы частот окна, однако и при этом все же могут получаться плохие выборочные оценки спектра, если длина записи слишком мала. Так, например, из рис.

7.7 видно, что пик процесса второго порядка можно оценить с малой степенью искажения при Е = 32. Однако изображенная на рис. 7.8 для этого Е выборочная оценка спектра, сосчитанная по У = 50 членам, дает очень плохую картину пика. С другой стороны, как мы видим из рпс. 7.9, выборочная оценка спектра, сосчитанная по йГ = 400 членам, показывает, что можно с разумной точностью оценить спектр при Е = 32. Это было предсказано теорией, развитой в равд. 6.3, и объясняется тем, что малая дисперсия, т.

е. высокая устойчивость, получается при больших отношениях Т~М = У/Е. Следовательно, для хорошего спектрального Г,ювл 7 Примеры одномерного анализа 3! анализа М должно быть достаточно велико, чтобы обеспечить малу!о степень искажения, и 77Л4 также должно быть большим, чтооы обеспечить высокую устойчивость. Эта идеальная ситуация приблизительно выполняется для выборочной опенки спектра процесса авторегрессии первого порядка на рис. 7.3.

Однако во многих практических задачах приходится останавливаться на некотором компромиссе между малой степенью искажения и высокой устойчивостью. Вопрос о том, как практически выбрать такое компромиссное решение, обсуждается в следующем разделе. 7.2.3. Эмпирическое сглаживание выборочных спектральных оценок Проведенное в равд. 7.2.1 обсуждение использования критериев оптимальности при сглаживании и, в особенности, недостатки такого подхода указывают на то, что необходим некоторый эмпирический способ сглаживания.

В частности, чтобы избежать недостатков 2, 3 и 4, нужен такой гибкий подход, который допускал бы различные способы проведения сглаживания, подсказанные самим анализом данных. Иными словами, нужен метод, дающий возможность узнать достаточно много о спектре Г.тх(1) по имеющимся данным, с тем чтобы выбрать подходящее сглаживание для л!обого интересуюшего нас диапазона частот. Пользуясь терминологией предыдущего раздела, это требование можно сформулировать так: нужно, чтобы решение о том, когда достигается разумный компромисс между малой степенью искажения и высокой устойчивостью, можно было получить из самих данных.

Если припять, что желательна экономия в вычислениях ковариаций н что оценка типа (6.3.28) является подходящей, то сглаживание спектральной оценки полностью определится видом, т, е, маге,нагичвгкой формой, окна и его шириной полосы частот, нли, что эквивалентно, его точкой отсечения. Поскольку влияние формы окна на выборочные спектральные оценки имеет второстепенное значение, как видно нз рис. 7.11, эмпирический подход к сглаживанию должен основываться на изменении полосы частот. Ниже мы изложим один эмпирический подход, который удовлетворяет этим требованиям и укладывается в изложенную выше схему. Во-первых, нужно выбрать некоторое спектральное окно приемлемой формы. Во-вторых, следует сосчЫ- тать несколько сглаженных выборочных спектральных оценок, взяв сначала широкую полосу частот окна, а затем постепенно сужая ее.

Этот эмпирический метод спектрального анализа был предложен в [6], а в дальнейшем проиллюстрирован на практических задачах в [7, 8]. Ниже эта процедура использования постепенно стягивающихся полос частот будет называться стягиванием окна (тч(пыхти с!оз!пд). Полнее мы ее обсудим в разд. 7.2.4. Несколько менЕЕ важный вопрос о конструировании спектрального окна приемлемой формы, названный Тычки формированием окна (ту1пс(оту сагреп1гу), обсуждается в равд.

7.2.5. 7.2.4. Стягивание окна Метод стягивания окна состоит в вычислении нескольких сглаженных выборочных спектральных оценок сначала для широкой полосы частот, а затем для все более и более узких. Первая цель такого подхода заключается в той гибкости, которую он дает. Прп этом любую существенную особенность спектра, интересующую нас с практической точки зрения или же выявившуюся в процессе анализа, можно затем исследовать подробнее. Этот метод позволяет узнать многое о форме спектра.

Так, выбранная первоначально широкая полоса частот окна обычно будет скрадывать некоторые детали в спектре. Сужая полосу частот, можно исследовать более тонкие детали, Наконец, как указывалось в равд. 7.2.2, когда ширина полосы частот становится уже самой узкой существенной детали спектра, нет никакого смысла стягинать полосу частот еще дальше. При этом, однако, возникают практические вопросы интерпретации, связанные с неустойчивостью выборочных оценок. Эти вопросы обсуждаются ниже. Поскольку некоторые записи содержат мало информации о спектре точно так же, как некоторые функции правдоподобия дают мало информации о параметре и не имеют слабо выраженного максимума, этот метод дает возможность выбрать наилучшую полосу частот, соответствующую имеющейся записи *).

Важный практический вопрос состоит в том, когда остановить процесс стягивания полосы частот, т. е. когда следует окончить поиск дальнейших деталей спектра, с тем чтобы удержать устойчивость. В ответ на этот вопрос нельзя дать никаких строгих рекомендаций, так как наилучший момент остановки будет зависеть от таких факторов, как степень детализации спектра, количество имеющейся априорной информации относительно Г([) и определяемая неустойчивостью возможность отличия действительных деталей от выборочных флуктуаций.

Тем не менее можно различить три типа ситуаций, встречающихся на практике. ') Прк изложении процедуры стягивания окна авторы допускают некоторую неточность. Выбирая ширину полосы частот окна Ь в зависимости от висющсйск записи, ояи тем самым делают Ь случайной величиной. !!о для такого сл!чвйного Ь, строго говоря, нельзя считать, нто устойчивость и степень искажения спек. трвлькой оценки будут теми же, что н длв неслучайного Ь, точно тзк же, кзк нельзя считать, взцрвмер, что ивнвмум из носко.тьккх одикзково рвсцрсдслевкыт величин вмеет то же распределение, что ц каждая нз этих величин. Учесть точно, квк влияет такой случвйный выбор Ь кз характеристики спектральной оценки, трудно, хотя, возможно, что зто влияние н нс слишком существенно.

— Прим. перев. Глаза 7 Г!рггмерьг одномерного анализа 33 1. Иногда можно стянуть полосу частот настолько, что большинство существенных деталей выявится до того, как мы дойдем до неустойчивости. В этом случае, начиная с некоторого момента, не должно происходить существенных измснений в спектре, несмотря на дальнейшее заметное уменьшение полосы частот Такой благоприятный случай показан на рис. 7.3, где изображены выборочные спектральные оценки процесса авторегрессии первого порядка.

Характеристики

Список файлов книги