Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(7 )») и-) Логическая схема соответствующей вычислительной программы приведена в Приложении П7.1. Вычисление выборочных характеристик. Выборочные корреляции для дискретного процесса авторегрессии второго порядка л (р! Р и с 7.1. Сглаженная выборочная оценка нормированного спектра процесса авторегрессии второго порядка (а) = 1,О; аг = — О,б! с помощью окна Бартлетта. (5.3.36) приведены в табл. 5.2. Эти величины можно использовать для получения выборочной оценки нормированного спектра 21'л (7)!плт следующим образом.
Воспользовавшись, например, корреляционным окном Бартлетта 1--,', О(й~(7.; и (а) = (О, и>У, получаем нз (7.1.6) сглаженную выборочную оценку нормирован- ного спектра х †! в и)-2[)+»л() — ») „(») "~~) )-» ) г и-( Например, при / = 3 эта выборочная оценка равна )7»х (!) = 2 [1 + 2 [ з !) Гхх (1) соз р +2 (( з ) г,х (2) соз р' 1, 1= О, 1, ..., г'. Если нужны выборочные оценки с шагом по частоте (/)б г(! (так что г" = 8), то, взяв значения выборочной корреляционной функции из табл.
5.2, можно расположить вычисления так, как показано в табл. 7.!. Таблица 7Д Пример вычисления выборочной спектральной оценки Эти выборочные оценки нормированного спектра показаны точками на рис. 7.1. Видно, что через эти точки можно вполне однозначно провести плавную кривую. На этом >ке графике крестиками отмечены выборочные оценки с шагом )/5, как это рекомендуется в (2). Видно, что шаг по частоте в этом случае слишком велик для того, чтобы можно было точно построить график и провести интерполяцию.
На графике показана также ширина полосы частот использованного спектрального окна. При 7. = 3 эта ширина для окна Бартлетта равна Ь = Ь ()Е(л = 1,5/(3 ° 1) = 0,5 г(!. 12 Глава 7 Примеры одномерного анализа 13 Мы видим, что в этом случае ширина полосы равна всему частотному диапазону, и, следовательно, выборочная оценка сильно сглажена. 7.1.2. Влияние ширины полосы частот на сглаживание В этом разделе эмпирически исследуется влияние изменения полосы частот, или, что эквивалентно, точки отсечения 7., на сглаживание выборочной спектральной оценки.
Временные ряды, которыми мы будем пользоваться, являются реализациями процессов авторегрессии первого и второго порядков с известным спектром Гхх(/). Вычисляются средний сглаженный нормированный спектр =2 ( 7 Й-2грр (Й) (Й) 2 (Й~ (777) ах Й ) и сглаженная выборочная оценка нормированного спектра Л„(/) по формуле (7.1.6).
Средний сглаженный нормированный спектр Г (7)/ох есть математическое ожидание сглаженной оценки нормированного спектра, и, следовательно, нанося его на график вместе сГхх(7)/и'„, мы получим представление о том, как смещение изменяется с частотой. 1-!анося на график семейство кривых с различными значениями 7., мы наглядно выявим зависимость смещения от ширины полосы частот окна. Точно так же, нанося на график сглаженную выборочную оценку )7 (/) вместе с Г (/)/ор для различных значений (., мы получим ясную картину влияния ширины полосы на дисперсию оценки.
Процесс авторегрессии первого порядка (и) = — 0,4). Мы будем использовать для вычислений процесс авторегрессии первого порядка (5.2.26) при сс( = — 0,4, Л = 1, )Й = О, т. е. К(= — 0,4Х( (+ 27. Согласно формуле (6.2.20), нормированный спектр этого процесса равен Г хх (!) 2 (О'64) О</< —.
1 1,16+ 0,6 соа 2п! 2 Этот спектр показан на рис. 7.2. Видно, что он изменяется очещ, плавно, имеет широкий пик при / = 0,5 г((, и диапазон его изменений в вертикальном направлении очень мал. На этом рисунке приведены также средние сглаженные нормированные спектры Г (/)/и'„для значений Е = 4, 8, 16, соответствующие окну Тыоки.
Анализируя эти кривые, мы видим, что при Е = 4 средний сгла- женный спектр имеет сильное смещение, особенно вблизи пика, где смещение отрицательно. При увеличении Е до 8 соответствие между Гхх(/) и Гхх(/) улучшается, особенно для частот, меныних 0,375 г((, для которых Гтх(/) и Гхх(/) фактически неразличимы. Поэтому при Е = 8 выборочная оценка имела бы допустимо малое смещение в болыней части частотного диапазона.
Однако вблизи пика смещение все еще оставалось бы значительным, и, следовательно, чтобы точно оценить значения спектра вблизи пика, не- езгга (2ао оз75 е)осг 8вч Р н с, 7.2. Средние сглаженные норынрованные спектры для процесса авто. регрессии первого порядка (а( = — 0,4). обходимо взять Ь еще больше. Снова удвоив 5 до Е = 16, мы ви дим, что все еще остается небольшое смещение вблизи пика, Уменьшение смещения при этом удвоении 5 значительно меньше, чем при удвоении от Е = 4 до Е = 8. Поэтому увеличивать Е больше 8, возможно, уже нецелесообразно.
Этот факт нетрудно объяснить, если заметить, что для й хр 8 выполняются неравенства )рхх(й) ) . (0,4)в < 0,001, и, следовательно, увеличение Е больше 8 приводит лишь к незначительным изменениям суммы в (7.1.7). К аналогичным выводам можно прийти и для средних сглаженных спектров, полученных с помощью окон Бартлетта и Г!арзена. Для окна Бартлетта хорошая выборочная оценка получается, когда 7. принимает значение где-то между 12 и 16, а для окна Парзена при Ь =!2. На рис. 7,3 и 7.4 показаны сглаженные выборочные оценки нормированных спектров, полученные с помощью окна Тьюки для реализаций, состоящих из (() = 400 и 100 членам этого процесса.
На рис. 7.3 мы видим, что увеличение 7 от 4 до 8 существенно Лрилеры одномерного пнплпаа ео г,а га га ба 1 14 Глана 7 изменяет выборочную спектральную оценку. л(альнейшее увеличение Ь от 8 до 16 дает лнпаь незначительные изменения, и, следовательно, разумную выборочную оценку спектра можно было бы получить при ! = 8. Число степеней свободы на каждое оцениваемое значение спектра в этом случае равно 133, так что доверительные интервалы очень узкие. о огга ого с)гра о,а г ец Р и с.
7.3. Сглажеииые выборочные оценки иорыироваииого спектра процесса авторегрессии первого порядка (а~ = — 0,4; У - 400). Ситуация меняется для показанных на рис. 7.4 выборочных оценок, полученных по реализации из У = 100 членам. Здесь увеличение й от 4 до 8 приводит к существенным изменениям выборочной оценки спектра, ио еще большие изменения получаются, когда Е возрастает до 16 или до 32. Отметим, что при этом вполне явно обозначаются ложные пики на частотах 0,22 и 0,44 гг(, возникающие благодаря увеличению дисперсии оценки. Заметим также, что число степеней свободы на каждое оцениваемое значение спектра равно соответственно ЗЗ, 17 и 8 для А = = 8, 16 и 32.
Выборочная оценка при ь = 8 разумно близка к тео. ретическому спектру, однако, не зная истинного ответа, мы, кояечно, испытывали бы некоторую неуверенность прн интерпретации этих выборочных оценок. В частности, трудно было бы решить, стоит ли выбрать плавную выборочную оценку при А = 8 или же более детальную, но с большей дисперсией, выборочную оценку при 7. = 16. Отрезки, равные шприце полосы частот используемого окна, для разных точек отсечения изображены на рис.
7.3 и 7.4. Они представляют собой очень полезную наглядную характеристику, так как дают возможность правильно судить о степени детальности спектра в зависимости от ширины полосы частот используемого окна. о огга ага озго оа 6 етг Р ис. 73. Сглажеииые выборочные оцеики иориироваииого спектра процесса авторегрессии первого порядка (и~ = — 0,4; 7Е =!ОО). Процесс авторегрессии первого порядка (а1 гь — 0,9). Аналогичный анализ был проведен для авторегрессии первого порядка Х, = — 0,9Хг ~ + Ег.
(7.1.8) Теоретический нормированный спектр этого процесса равен Гхх 60 График этой функции показан на рис. 7.5. Она имеет очень узкий пик вблизи ! = 0,5гч и изменяется от О,!05 до 38,0, так что пришлось построить ее в логарифмическом масштабе. Практическое преимущество логарифмического масштаба состоит не только в том, что он лучше выявляет детали спектра, но также и в том, что для этого масштаба, как указывалось в равд. 6,4,3, При.норм одномерного анализа !7 го Да го ооо 14 )Е .
Глава 7 ,з доверительные интервалы одинаковы для всех частот, и, следовательно, их легко изобразить на рисунке. Поэтому выборочныеспектральные оценки всегда следует изображать в логарифыическом масштабе. В то же время масштаб по частоте должен быть линейным, так как ширина полосы частот окна остается константой именно для такого масштаба. ог и о,г О Отгг Ого Оггг Ог гвц Р ис. 7,5. Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авто. регрессии первого порядка (оц = — 0,9). Средние сглаженные нормированные спектры )ч ())/о' для процесса (7.1.8) показаны на рис.
7.5 для окна Бартлетта с точками отсечения Л =-8, 16 и 32. Как и раньше, для всех этих значений 5 смещение велико вблизи пика и убывает с увеличением Ь. Судя по этим графикам, ни одна из этих точек отсечения не кажется явно хорошей (возможно, требуется значение Е = 48). Это подтверждается также, если рассмотреть корреляционную функцию рлх()с), так как (рлл(й) ( равен 0034 для й =- 32 и 00012 для А = 64. Следовательно, можно прийти к заключению, что для этого процесса необходимо выбирать очень большое 7., если требуется малое смещение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
