Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 3
Текст из файла (страница 3)
При этом для того, чтобы получить оценку с малой дисперсией, нужно будет использовать очень длинные реализации. Из рис. 7.5 видно, что при малых т'. средний сглаженный спектр проявляет некоторые осцилляции. Они возниказот из-за боковых лепестков окна Бартлетта, которые мы обсуждали в равд. 7.2.5. ог ' О '- иОГгг С)гг Оггг Ог ЯВП Р и с. 7.0. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессни первого порядка (ан = — 0,9; гз' = )00).
Трудности при попытках дать хорошую выборочную оценку узкого спектрального пика проиллюстрированы на рис. 7,6. Здесь показана функция 71,()) для окна Бартлетта при Е = 16, 32 и 48, причем реализация состояла из У = 100 членам процесса (7,1 8). При Л = 16 получается разумно плавная выборочная оценка, но для точки пика она дает в три раза меньшее значение.
Увеличение Л до 32 слегка улучшает выборочную оценку вблизи пика и 18 Глава 7 Примеры однолгерного анализа о,г о омтяо оо бее оявляются более заметно на низких частотах. Однако теперь поя осциллянии из-за увеличения дисперсии. При Е = 48 выборочная для по- оценка становится очень ненадежной, из чего следует, что лучения более надежной выборочной оценки вблизи пика нужны более длинные реализации. Заметим, однако, что можно п н получить удовлетворительную выборочную оценку в интервале частот от 0 г)гло г)го ор,о оо бе» Р и с.
7.7. Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авто- регрессии второго порядка (он = 1,0; аз = — 0,5). до 0,45 гг( при Е = 32 или, возможно, при еще меньшем значении, скажем, Е = 24. Сравнение рис. 7.6 с рис. 7.4, на котором показаны выборочные спектральные оценки для случая се~ —— — 0,4 и Л' = 100, выявляет тот важный факт, что одна и та же длина временного ряда йг = - 100 может давать приемлемую выборочную оценку для плавного спектра, но быть недостаточной для получения хорошей выборочной оценки спектра с узким пиком, Процесс авторегрессии второго порядка.
Чтобы сравнить трудности, возникающие прн оценивании спектрального пика, расположенного внутри частотного диапазона, по сравнению с зад вгыв двввритегенгге инвгервамы Р и с. 7.8. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии второго порядка (а~ 1,0; сиз = — 0,5; Лг = 50), рассмотренным выше случаем пика на крайней частоте, рассмотрим процесс авторегрессии второго порядка (5.3.36), т. е. Х, = Х,, — 0,5Х,, + Ян (7.1.9) Этому процессу соответствует нормированный спектр (6.2.22), а именно Г (1) 2(0,417) сге 2,25 — Зсоз2п(+соз4и) Этот спектр изображен на рис. 7.7, где показаны также средние сглаженные нормированные спектры 1хх(~)/ох, соответствующие Глава 7 окну Парзена при 7. = 8, 16 и 32.
Как и раньше, с увеличением 5 функция 1'хе(!) приближается к Гхх(!), Из табл. 6.6 видно, что значениям Л = 16 и 32 соответствуют значения ширины полосы частот спектральных окон 0,12 и 0,06 гц. Если за определение ширины пика принять расстояние между точками, в которых мощность убывает в два раза от пиконого значения, то в нашем случае Прилгеры одномерного анализа Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра )ч„„(!), полученные по реализации из й7 = 50 членам процесса (7.1.9) с помощью окна Парзеиа, показаны на рнс. 7.8. Использованные в этом примере данные представляют собой первые 50 значений из таблицы данных П7.1 в Приложении Г17.4.
Выборочные корреляции для этих 50 значений приведены в табл. П7.2. При 1, = 8 получается плавная выборочная оценка, но без всякого намека на пик внутри частотного интервала. Утроив А до 24, получаем слабо выраженный пик около 0,125 гц, т. е. истинной частоты пика. Когда 7.
возрастает до 40, появляются многочисленные другие небольшие пики из-за увеличения дисперсии оценки. Следовательно, у нас не было бы полной ясности относительно истинной формы спектра, если бы мы заранее не знали, какое 7. лучше всего соответствует теоретическому спектру. На рис. 7.9 показаны выборочные спектральные оценки для того же самого процесса, сосчитанные по реализации из !у = 400 членам. Эти 400 значений приведены в табл. П7,1, а выборочные корреляции, сосчитанные по ннм, даны в табл.
П7.3. При Ь = 48 выборо шая оценка ближе к истинному спектру, чем любая из выборочных оценок для гУ = 50, но улучшение не столь нелико, как этого можно было бы ожидать. Поскольку при Т. = 48 число степеней свободы на каждое оцениваемое значение спектра равно 31, по-видимому, следовало бы считать, что пик вблизи частоты 0,125 гц действительно существует. Заметим, однако, что этот пик значительно уже теоретического. цг о алга ага цгга оа деа Р и с. 7.9. Сглаженные выборочные оценки норнированн г с анного спектра процесса авторегрессни второго порядка (п| = 1,0; све = — О,б; йг = 400] эта ширина будет около 0,08 гц.
Из рис. 7.7 видно, что прн Л = 8 и 16 пик оценивается плохо, однако при 7. = 32 смещение достаточно мало из-за того, что ширина полосы частот окна равна 0,06 гц, т. е. меньше ширины пика 0,08 гц. Это наводит на мысль о том, что значение точки отсечения, необходимое для по я получения выборочной оценки с приемлемо малым смещением, зависит от ширины пика в спектре.
К этому замечанию мы еще ве немея 'в разд. 7.2.4, 7.1.3. Влияние формы окна на сглаживание Другим относящимся к сглаживанию вопросом, которым мы сейчас займемся, является влияние использования различных спектральных окоп. Мы сравним между собой окна Бартлетта, Тычки и Парзена. Для вычисления средних сглаженных нормированных спектров был использован процесс авторегрессии первого порядка (7.1.8). Эти спектры соответствовал корреляционным окнам игн, тит и шн при фиксированных значениях точки отсечения и обозначались Гэ/и', Г /о',. и Гр/ах.
Такие спектры показаны на рис. 7.10 вместе с теоретическим нормированным спектром Гхх(1)/и'. Все сглаженные спектры получены при значении точки отсечения равном 12. Большое смещение и осцилляцни сглаженного спектра для окна Бартлетта явно заметны. Однако вблизи пика окно Барт. летта дает небольшое смещение. Этого следовало ожидать, исходя нз формулы (6.3.37), дающей смещения для этих трех окон. Таким Глава 7 образом, смещение для окон Бартлетта связано с первой производной спектра, которая мала в окрестности пика, но велика там, где спектр имеет крутой склон. Равенство (6.3.37) показывает, что главный член в выражении для смещения в окнах Тычки П з а зависит от второй производной спектра, которая мала там, ен и га аг ал а«тгг с)гг елгрг с) у г ем Рис, 7,10 и ..1Ц Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авто.
регрессии первого порядка 1а> — 9,9). где спектр приблизительно линсен, и относительно велика вблизи пика. В целом окно Тычки имеет при данном значении точки отсечения наименьшее смещение. Впрочем, если сравнить окна Парзена и Тычки с одинаковой шириной полосы частот, то сглаженные спектры будут почти одинаковы по форме.
То же самое можно сказать при сравнении дисперсий оценок, соответствующих этим двум окнам. Согласно (6.4,25), Ширина полосы частот Х Дисперсия = Константа. Примеры одномерного анализа Следовательно, если ширина полосы частот у двух оценок одинакова, то опи имеют одну и ту же дисперсию. Из табл. 6.6. видно, что ширина полосы частот окна Парзена в 1,4 раза больше, чем окна Т юки. Поэтому окно Тычки с точкой отсечения Е = !2:.>ест такую же ширину полосы частот н такую же дисперсию, что и окно Парзена с Е = 12 Х 1,4 = 16.
го т«««ил г -- —- Ф Таким ооразом, для двух оценок, соответствующих окнам с одинаковой 'о и р ь-ел шириной полосы частот, и уе" дисперсия, и смещение приблизительно одни н те же. "и' с~ Отсюда следует, что если два спектральных окна име- го ют приемлемую форму и ! одну и ту же ширину поло- не сы частот, то соответствующие им выборочные оценки ч„ спектра должны быть очень похожи.
На рис. 7.11 как раз проделано такое сравнение окон Тычки и Парзена для , l реализации процесса авто- * ре' регрессии первого порядка а>т яеяв „огл л)гхт аг веч с а>= — 09 и А>=100. Сплошная линия обозначает Р ис. 7.11. Сравнение окон Тьюки и Пар. выборочную оценку Тычки а щ и ую по су ча. при Е = 32, а крестики — с>от, иа процессе авторегрессии первого ВЫбсрОЧНуЮ ОцЕНКу ПарЗЕ- порядка !п~ = — О,9; К = НЮ), на при Е = 45. Аналогично пунктирная линия обозначает выборочную оценку Тычки при Е = 8, а сплошные кружки — выборочную оценку Парзена при Е = 12. Согласие при этом столь велико, что можно без опасения утверждать, что при использовании одного из этих окон вл>есто другого мы не упустили бы ни одной важной особенности спектра, Следовательно, эмпирические результаты этого раздела показывают, что важныле вопросолл в практическом спектральнол> анализе является вьчбор ширины >власы час~от, а не выбор Формы окна.
Этн вопросы мы обсудим полнее в разд. 7.2.4 и 7.2.5. 7.2. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА СГЛАЖИВАНИЯ В разд. 7.2.! обсуждаются различные теоретические попытки получить оптимальные методы сглаживания. Мы приходим к заключению, что зти теоретические решения неудовлетворительны и 24 Глава 7 2о Примеры одномерного авалова что для спектрального оценивания требуется более эмпирический подход. Основпыыи требованиями при оценивании спектров являются высокая устойчивость и малая степень искаженй Э ения ти требования кратко обсуждаются в равд. 7,2.2. Для того чтобы им удовлетворить, в равд. 7.2.3 внодится эмпирический подход к оцениванию спектров. Этот подход назван стягиванием окна, об дро но обсуждается в равд.?.2.4. В последнем разделе рассматривается вопрос о формировании окон, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
