Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ВЗАИМНЫЙ СПЕКТР (8.3.3) (8.3.6) нуля. Поэтому наблюденная взаимная корреляционная функция не противоречит гипотезе о том, что эти два процесса некоррели- ровапы. В этом разделе мы рассмотрим описание двумерных временных рядов в частотной области. Будет показано, что обсуждавшаяся в предыдущем разделе выборочная взаимная ковариационная функция имеет преобразование Фурье, называемое выборочным взаимным спектром. Этот спектр является комплексно-з ачной функцией, которую можно записать в виде произведения действительной функции, называемой выборочным взаимным амплитудным спектром, н комплексно-значной функции, называемой выборочным фазовым спектром. Аналогично преобразование Фурье теоретической взаимной ковариационной функции называется взаимным спектром. Его можно представить в виде произведения взаимного амплитудного и фазового спектров.
Взаимный амплитудный спектр показывает, как велики амплитуды связанных частотных комнонент в двух рядах на определенной частоте. Аналогично фазовый спектр показывает, насколько запаздывает или опережает по фазе такая компонента в одном из рядов соответствующую компоненту в другом ряде для данной частоты. В следующем разделе приводятся примеры взаимных амплитудных и фазовых спектров; полученные из взаимного спектра двумерного линейного процесса (8.!.14).
Затем вводится несколько более полезное понятие, чем взаимный амплитудный спектр, а именно спектр когерентности. Мы покажем, что спектр когерентности и фазовый спектр дают поляое описание двумерного нормального случайного процесса. 8.3.1. Применение анализа Фурье к двумерным временнйм рядам Анализ Фурье можно применить к двумерным временнйм рядам точно так же, как и к одномерным. Предположим, например, что х,(1), хз(1) — две косинусоидальные волны одинаковой частоты 1з, но с Разными амплитУдами Аь Аз и фазами ~Рь ~Ря, т.
е. х;(1) = А,соз(2п~о1+~р;), я =1, 2. (8.3.1) Если длина имеющихся записей равна Т, то с помощью (2.2.11) получаем преобразование Фурье х1(1), х,(1), — Т(2 414 Т12: А; дь 1 я~о и (1 1я) Т ), — яя~ ( з1п и (1+ 1з) ] 1, 1 2 (8 3 2) Взаимная корреляционная функция и ззаияяыд оязктр Отсюда выборочные спектры (6.1.6) этих двух сигналов равны Эти выражения при Т вЂ” оо стремятся к — Л)[б (~ — й) + б (1+ 6)!.
Таким образом, дисперсия, или средняя мощность косинусоидальной волны, равная А)12, распределена в виде б-функций на частотах ) = =" 1а. Предположим теперь, что требуется описать ковариацию двух косинусоидальных волн. В таком случае естественно воспользоваться выборочным взаимным спектром мощности, или, короче, выборочным взаимногм спектром где звездочка обозначает комплексное сопряжение.
Подставив (8.3.2) в (8.3.3), мы находим, что выборочный взаимный спектр двух косинусоидальных волн равен А,А, 1 гя (з1оп(1 — 1,) Т), (з1оп(1+1,)Т ~~ л( ~ еу~ ~ мо и У 1о) ~ ) уо ~ мо (1 + 1о) 1 ~ (8 3 4) что при Т- оо стремится к 4 А,А,(е ыо ~~б(1+1ю)+ ерм ~зб(1 — Ц.
(8.3.5) Определение (8.3.3) является естественным, так как оно содержит всю информацию о зависимости двух сигналов. В частном случае косинусоидальных волн равенство (8.3.6) показывает, что эта информация состоит из разности фаз гря — грь показывающей, насколько одна из косинусоидальных воти опережает другую, и взаимной алгплитуды А,Лз, показывающей, как велики на данной частоте соответствующие амплитуды в двух сигналах. Выборочный фазовый и выборочный взаимный амплитудный спектры. В более общем случае предположим, что х,(1), х,(1)— произвольные действительные сигналы с преобразованиями Фурье Х~(1), Хз(1) соответственно. Эти преобразования дают амплитудное и фазовое распределение сигналов, т. е.
Х;(1)'= А;(1)е~~'~п, 1= 1, 2, )О! Глава 8 Пэоимная корряляционная функция и оэаимнна спектр где Ав([) — неотрицательная четная функция и Рв(!) — нечетная функция. Согласно (8.3.3), выборочный взаимный спектр в этом случае будет равен С„„, (~) = А! (!) Ав (!) ор~!Р'и!-"«и! (8.3.7) что можно записать также в виде Сп (!) = А!2(!) врв 'П>. (8.3.8) Следовательно, ковариацию двух рядов хв(!) и хг(!) можно описать с помощью выборочного фазового спектра Р!2(1) Рг (!) э ! (!) (8.3,9) и выборочного взаимного амплитудного спектра (!) А (!) Ав (В (8.3.10) Г Выборочный фазовый спектр Евг([) показывает, запаздывает или опережает частотная компонента одного ряда компоненту другого ряда на той же частоте.
Аналогично, выборочный взаимный амплитудный спектр Ам([) показывает, насколько велики в двух рядах амплитуды соответствующих компонент на некоторой частоте. Заметим, что А!2(1) — неотрицательная четная функция, а Ргг(1) — нечетнаЯ фУнкциЯ частоты, Выборочный коспектр и квадратурный спектр. Так как функция С22()') из (8.3.8) является комплексно-значной, ее можно записать в виде произведения амплитудной и фазовой функций, как в (8.3.7). Выражение (8.3.8) можно записать н в другом виде, выделив вещественную и мнимую части: Сп (О = ~!г У) — Я!г ([) где Ь!г (!) = А!,(!) сов Р!2(!), эк!2(!) = — А!,([) з!и Р!2([) (8 3 11) Аг„(1) = Цг(!)+ !ггм(!), Рм(1) = агс!П~- —" Отметим, что й!2([) — четная, а Я!2([) — нечетная функция частоты из-за того, что Авг(!) — четная, а гвг([) — нечетная функция.
Для иллюстрации рассмотрим приводившийся выше пример с двумерной косинусоидальной волной, Можно показать, что в пределе при Т- оо Л!2(!) = '42 соз(фг — !р ) [б()+)о)+б(! — [о)) = А! совф!Агсов<рв А! в!о!р,А!в!и !р, ) -( 4 4 .Так как сигналы хг(!) можно записать в виде х!(!) - А, соз(2я)яр+ ф,) =(А, сов ф,) сов 2п)о! — (А, з!пф,) з!п 2п)оА х, (!) = А, соз (2п[о! + фг) = (А, соз фг) соз 2п)о! — (Аг з!п фг) з!и 2п[ой то, следовательно, (.вг([) состоит из ковариации двух косинусоидальных компонент и ковариации двух синусоидальных компонент, т.
е, 7.вг(!) измеряет ковариацню синфаэных компонент. Поэтому функция г.вг([) называется выборочным синфазным спектром, или выборочным коспектром. Аналогично, функция Я!2(!) = ~ згп(фг ф!) [6(!+ )о) +б(! )о)) А, сов!Р!А!в)пег А! 2)ив!А!сов!Рг) [б()+ я )+ б(1 -( 4 4 состоит из ковариаций между синусоидальными и косинусоидальными компонентами, т. е.
между компонентами, сдвинутыми по фазе, или квадраэурносми, Поэтому !",)вг([) называется выборочным квадрагурным спектром. Аналогичным образом, для произвольных сигналов хэ(!), хг(!) преобразования Фурье йп ([) = А!2 (!) соз Р!г ()) и Я~в ([) = А,г(0 2)п Р„(0 служат мерами ковариации соответственно синфазных и квадратурных компонент на частоте 7. 8.3.2. Соотношение между выборочным взаимным спектром и выборочной взаимной ковариационной функцией В гл. 6 было показано, что выборочная автоковариационная функция и выборочный спектр связаны между собой преобразованием Фурье (6.1.9). В этом разделе мы обобщим формулу (6.1.9) н покажем, что выборочная взаимная ковариационная функция и выборочный взаимный спектр точно так же образуют пару преобразований Фурье. Из определения (8,3.3) выборочного взаилгного спектра имеем грг г|г Саг(!') = —,Х! (!)Хг(!') = — ~ ( х,(!) хг(У) е по!рс-оЖс(У.
-тм -т!2 Заменяя переменные интегрирования У вЂ” ! = и, ! = в и действуя дальше так же, как в равд. 6.1.3, мы получаем т С!2 (1) = ( с„(и) е Но!" с!и, (8.3.12) -т !08 Взаимная корреляяианная функиия и взаимный спектр Глава 8 !02 с„(и) = ( Сю (1) емя!" с(1. (8.3.14) Подставляя (8.3.11) в (8.3.14), получаем важное равенство сю (и) = ( [Е,з (1) — Я1з (1)] е!"'" с(1 = ( Е1з(1) сов 2п(и с([+ ( Я!з(1) з!п 2п[и с11, (8,3.! 5) при выводе которого мы воспользовались тем, что Е1з([) — четная функция, а Яа(1) — нечетная функция частоты. Наконец, полагая в (8.3.15) и = О, получаем см (0) = ( Ем ([) с(1. (8.3. 16) Следовательно, выборочный коспектр дает разложение по частоте выборочной взаимной ковариации при нулевом запаздывании аналогично тому, как выборочный спектр (6.!.1!) дает разложение выборочной дисперсии по частоте.
Запишем теперь (8.3.15) в виде см(и)= 1,т(и)+у,з(и), (8.3.17) где Е!з(1) = (1„(и) соз2п1и с)и, -т т д,з(1) = ( д!з(и) з!п2п1иати. -т (8.3.18) Таким образом, выборочный взаимный спектр является преобразованием Фурье от выборочной взаимной ковариационной функции, определяемой соотношениями ттз- и см(и)= т ( х~(1)х,(1+и)с(1, 0»<и»<Т, -ти т!з с„(и) = — ~, х, (1) х, (1+ и) с(1, — Т < и < О, (8.3.13) - т!зти с„(и) = О, ] и ! > Т.
Обратным по отношению к преобразованию (8.3.12) является преобразование Нетрудно гроверить, что 1м(и) — зто четная часть функции сгз(и), т, е. 1ю (и) = 2 [с!з (и) + с1з( и)] ! (8.3.19) Аналогично, с)~з(и) — нечетная часть с,з(и), т. е. ! дю(и) = 2 [с~2(и) с12( и)] ° (8.3.20) 8.3.3. Взаимный спектр В предыдущем разделе мы рассматривали х,(1) и хз(1) как заданные функции времени 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
