Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если считать, что (х,(1), х,(1))— реализация стационаршио двумерного случайного процесса (Х,(1), Хз(г)), то возникают те же самые проблемы, что и в одномерном случае. Так, например, выборочные коспектры и квадратурные спектры, сосчитанные по реализации двумерного случайного процесса, не сходятся ни в каком статиспвнеском смысле к предельным значениям, когда длина реализации Т стремится к бесконечности. В действительности, они ведут себя так же, как выборочный спектр, показанный на рис. 6.1. Чтобы понять, почему это так, нужно исследовать свойства с.тучайной величины Схы (1), для которой выборочный взаимный спектр является реализацией.
Из (8.3.12) случайная оценка, соответствующая выборочному взаимному спектру, имеет вид т Сх,х,(1)= ~; :сх,х,(и)е !"«)ис(и, — оо <!<со, -т С помощью (8.2.2) получаем среднее значение этой величины Е[Сх,х,(1)]= ] (! — Г ) у„х (и)е гз"!" аи. (8.3.21) -т При Т- со это среднее значение стремится к взаимному спектру мощности, или, короче к взаимному спектру *). Таким образом, !пп Е[Сх,х,(1)]=тхх,(1)= ( у.,(и)е дм!ис(и, — со<1<со (8322) т-ь Равенство (8.3.22) показывает, что взаимный спектр является преобразованием Фурье от взаимной ковариационной функции. Отметим, что в определении взаимного спектра для случайного ') Балее топко было бы называть функцию (8.3.22) взаамкой спектраяьпой плотностью. Однако ради краткости мы будем пользоваться н германом «взаямаый спектр». — Прим.
перев. 'О О х 8 О ! О 8 О ! О О х О х СЧ О и х х ОО с Э 8 О О. х О О и х з О й О О О х О й О О е О В.'( О О О м 3 ЬО О 1 С 8 "О Й О « 8 —,8 х О ! + —,с (сч 8 х 1 + Б 8 — (сч 8 8 О ! О .Р 8 ! х ! ! О ' —,О ! )сч 8 1 ! 8 — (сч 8 О О в О. х О о а О 2 О О. Х О О Е О. Х Х О ОО О О М 107 Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр Глава 8 106 процесса (8.3.22» Гх,х, (1) будет непрерывной функцией частоты в области — оо «1 < оо. Еще раз подчеркнем, что приводимое обычно в технических пособиях определение 1 х,х, (1е) = 1! гп Сх,х, (О т не имеет смысла для случайных процессов, так как дисперсии действительной и мнимой частей случайной величины Сх,х„(!) не стремятся к нулю при Г- оо, как будет показано в равд.
9.1, Коспектр и квадратурный спектр. Разложим у х (и) на четную и нечетную части (и) =- — ]у, (и)+ у„( — и)], ! 1 фм(и) а (ум(и) з|2( и)] (8.3.23) Подставляя эти выражения в (8.3.22), получим Г„® = Лп(]) -1Ч,а(]), где Л„(1) = ) 1нэ(и)соз2п»ис(и 18.3.24) (8.3.25) Ч'м(1) = ) фм(и)з!п2п]иди. 0 (8.3.26) Функция Лм(1) называется коспгктром, а функция Ч'м(1)— квадратурныл. спектром двумерного процесса (Х,(1), Х (1)). Эти же самые функции можно определить и с помощью соотношений (8.3.21) и (8.3.22), а именно: Л„(1) =!1гп Е]Т.м(!')], Ч'ы(!') =- 1пп ЕЦп(!')]. т-я т-и Взаимный амплитудный и фазовый спектры. Взаимный спектр можно записать также в виде Г,з(1) = ам(7) егт'и, (8.3.27) где функции а1з(»), <ра(1) называются взаимным амплитудным спектром и сразовы и спектром соответственно. По аналогии с (8.3.11) мы получаем „, д>- ил! зз ~Ф~ин, (8.3,28) (8.3.29) 8,4, ВЗАИМНЫЕ СПЕКТРЫ ЛИНЕИНЫХ ПРОЦЕССОВ 8.4.1.
Простые примеры взаимных спектров Прежде чгм выводить формулу для взаимного спектра произвольного линейного процесса (8.1.14), полезно рассмотреть некоторые простые примеры взаимных спектров. На этих примерах мы покажем, какая информация содержится во взаимном спектре, для чего вывсдсм формулы взаимных спектров некоторых простых дискретных процессов. Для дискретно~о процесса взаимный спектр определяется равенством Г~ (О = Л .Е у~э(й) г '"'" — ~ ~ « ] « ~л (8.4.1) В приводимых ниже примерах мы будем предполагать, что Е [Хн~ = О, Е ]Хя,] = О, Е ~Х'„~ = вн Е(Х,',]=а,' и А=1, так что — Чя(1<'/,.
Пример 1. Предположим что Хм = Хм Хн = Хн где Хи, Մ— взаимно некоррелированные белые шумы. Мы имеем у„(й) = Е ]ХиХм+я] = О для всех й, и из (8.3.22) получаем Гм(1) .= аы(1) е1ае1эи'н = ]с Лм(1) + Ч~м(1) = О. Отсюда видно, что взаимный амплитудный спектр тождественно равен нулю и, следовательно, коспектр и квадратурный спектр тоже тождественно равны нулю. Фазовый спектр неопределен, Пример 2 (двумерный эквивалент белого шума). Предполо- жим, что Хм = Хге+ й1Хи Хи = Хн х =рх +х.
так что (8.4.2) Следовательно, взаимный амплитудный и фазовый спектры можно получить. вычисляя функции 11 (и) и зр1з(и) по взаимной ковариационной функции (формулы (8.3.23)], затем вычисляя коспектр и квадратурный спектр [формулы (8.3.25) н (8.3,26)] и подставляя эти спектры в (8.3.28) и (8.3.29). Краткая сводка. В табл, 8.3 дана краткая сводка формул, которые мы определили в этой главе.
100 Глава 8 109 Взаимная каррелянианная функция и вваняниа спектр Отсюда у, (0) = Е[Х1т(Хат+ р1Х,с)[ =(1в';, уп (й) = О, й Ф О. Из (8.4.1) получаем Г„(/) = ~св'„ откуда следует, что а„(/) = 81о'р рп(/) — — О, Л„(/) = ~са',, Ч" и (/) = О Следовательно, если два процесса взаимно коррелированы только в одинаковые моменты времени, то взаимный амплитудный спектр равен коястанте, подобно спектру белого шума.
Далее, эти два процесса находятся в фазе, поскольку йп(/) = О. Взаимный амплитудный и фазовый спектры для этого примера показаны на рис. 8,8,а, Таким образом, процесс (8.4.2) можно рассматривать как фундаментальную модель взаимного спектра, аналогично тому как белый итум леожно считать фундаментальным при изучении одномерного спектра. Пример 3 (влияние задержки). Предположим, что Х„= г„+ Р,Хи, Хп = Хи, так что Хм = О~Хи-а + лес т. е, эти два ряда сдвинуты по отношению друг к другу на вре- менной интервал д. Отсюда у!2 (/е) О, в остальных случаях.
Поэтому из (8.4.1) получаем Г (/) = р оее-!2Я1к а, (/) =р|азн Чвп (/) = — 2п/А Л, (/) =- ~со', соз 2п/ат, фп (/) = ~со', ьцп 2п/а1. Снова взаимный амплитудный спектр равен константе, но фазовый спектр теперь представляет собой линейную функцию частоты, как показано на рис.
8.8, б. Это означает, что косннусоидальная волна частоты / гц совершает /й колебаний за время задержки д, и, следовательно, фазовое запаздывание составляет 2п/с( рад. При,нер 4. Более интересную модель мы получим, если по- ложим Х„=б,Хи+8,Хи, + Х,ь Хи = Хи, что можно переписать в виде Хм = Р1Хн+раХ1с-с+Хат. Отсюда, как показано во втором примере из разд. 8.!.3, следует, что ~М 712 (/е) нкап О, й=О, /г= 1, в остальных случаях. Поэтому Г„(/) = о',(р, +(1,е и"1), а (/) =ае )/йе+~а+2р 8 сов 2п/, — ре Мп хя/ суп(/) = агс1п( „, ), Лп(/) = о',(р, + рвсоз2п/), Чтп(/) = о',0е ьйп 2п/. Приведенная формула для взаилтпого амплитудного спектра показывает, что ковариация двух процессов больше на низких частотах при рв/рт > 0 и на высоких при рз/рт < О.
Следовательно, взаимные корреляции, не меняющие знак, соответствуют низкочастотным взаимным амплитудным спектрам, а осциллирующие взаимные корреляции — высокочастотным. Соответствующие фазовые спектры показаны на рис. 8.8, в и рис. 8.8, г.Мы видим, что при рт/р, ) 0 процесс Х,с опережает по фазе процесс Хаь а при ре/рт < О, наоборот, отстает от него.
Используя более сложные модели, можно получить множество разнообразных взаимных амплитудных и фазовых спектров. Важ. ное положение, которое необходимо сейчас подчеркнуть, заключается в том, что изучение взаимных амплитудных спектров двух эмпирических временных рядов может привести к заключению, что требуются разные модели для различных частотных диапазонов, Например, фазовый спектр, образованный двумя прямыми с разными наклонами, мог бы навести на мысль, что один ряд запаздывает по отношению к другому, но эта задержка во времени раз.
яична для разных частотных диапазонов. 1Ю Глава 8 Ут,а1 1г (р) ,д,а, г -гя ',8.4.4) амр) (8.4.5) 1 г в г я иг г ! 77()) 6(~) лрз111 ЛмУ) — 1рм()) г„б) е г йг (8.4.5) Отсюда видно, что выборочные взаимные спектры эмпирических временпь':х рядов могут служить очень гибким средством при выборе моделей, описывающих поведение этих рядов. В тех случаях, Р н с. 8,8. Бззимные амплитудные н фезовые спектры некоторых простых дву- мерных процессов. когда есть подозрение, что в разных частотных диапазонах действуют разные модели, дальнейший анализ будет более эффектна. ным, если, как отмечалось в равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
