Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Это следовало ожидать, так как при б агбб аяг абеб рг- 0 шум преобладает над сигналом, а при рг -+ оо, на. р не З.р. Теоретический спектр когеревтности двумерного процесса авторегресспп (В.!ДО). восходит шум, Случай 4 (а,птяние задержки). Рассмотрим двумерный процесс, обсуждавшийся в третьем примере из равд. 8.4.1, а именно Х = Х + ()гХ вЂ”, Х,=Х!г. При а', = о,,' квадрат спектра когерентности равен ре !э()) 1 + Рэ ' ~! что совпадает с выражением для к!э(1) из предыдущего примера. Однако, как показано в равд. 8.4.1 и как видно нз рис.
8.8,а и 8.8,б, процессы нз этих двух примеров имеют заметно отличающиеся фазовые спектры. Таким образом, квадрат спектра когереитности не выявляет каких-либо фазовых отличий этих двух 1!8 Глава 8 (8,4.21) процессов, и, следовательно, для полного описания двумерного процесса в час~отпой области требуется как спектр когерентности, так и фазовый спектр. Случай 5. Рассмотрим дискретный двумерный процесс (8.!.20), имеющий авто- и взаимный спектры, даваемые формулами (8.4.!6) при о', = о,'. Соответствующий спектр когерентности имеет вид 0,42 — 0,02 соз 2пŠ— 0,4 соз 4пЕ 1 ! ~м(!) — 2вв зз2,,2 1+08, зч„е 2 (Е< 2. (84,!9) Этот спектр показан па рис.
8.9. Наиболее важную отличительную черту этого спектра когерентности составляет большой пик на частоте приблизительно Р и с. 8.10. Теоретический фазовый спектр двумерного пропесса ааторегрессии (8.1.20), О,!25 гц, а также тот факт, что спектр стремится к нулю как в сторону низких, так н в сторону высоких частот. Появление пика следовало ожидать, поскольку взаимная корреляционная функция содержит периодичность. Это говорит о том, что корреляция этих двух процессов сосредоточена в основном в полосе частот около О,!25 гц. С помощью (8.4.!6) находим фазовый спектр этого процесса: — 0,9 з1п 2пЕ ф!з(Е) = агс15[0 ! ' „, пЕ) ~=агс15( — 9с1япЕ).
(8.4.20) Этот спектр показан на рис. 8.!О. Мы вилим, что низкочастотные компоненты ряда ! отстают от компонент ряда 2 примерно на 90', но с увеличением частоты эта разность фаз стремится к нулю, Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр 119 Практическое использование квадрата коэффициента когерентности. Спектр когерентности полезен на практике, поскольку он является безразмерной мерой корреляции двух временных рялов, зависящей от частоты. Таким образом, его следует предпочесть взаимному амплитудному спектру, зависящему от масштаба измерений Х!(1) и Х,(1).
Следовательно, свойства взаимной корреляции двух временных рядов можно описать с помощью квадрата спектра когерснтности хз! (Е) и фазового спектра фм(Е). В разд. 9.2 будет показано, как можно оценить эти спектры по записям конечной длины. 8.4.5. Линейные операции над двумерными временными рядами В равд.
9.4.2 мы увидим, что, перед тем как проводить взаимный спектральный анализ, необходимо отфильтровать временные ряды. В настоящем разделе мы исследуем влияние такой предварительной фильтрации на спектр когерентности и на фазовый спектр. Предположим, что процессы Х,(Е), Ха(Е) подвергаются фильтрации, в результате которой они переходят в процессы У~(Е), ! 2(Е) ° Г! (Е) = ~ й! (о) Х, (Š— о) асо, о 12(Е) ~ йз(о) 12(Е о)йо о Действуя так же, как и в разд.
5.2.2, получаем взаимную ковариациониую функцию профильтрованных процессов угй" (и) = ~ [ "! (о) йз(о') ух х (и+ о — о') с)о с(о'. (8.4,22) о о Взяв преобразование Фурье от (8.4,22), получим взаимный спектр Г (Е) = Н; (Е) Н (Е) Гх х (Е). (8.4.23) Так как Гг г (Е) = ! Н! (Е) !з Гх, х (Е), Г= 1, 2, то спектр когерентности профильтрованного двумерного ряда равен ! Н! (Е) Г ~ Нз У)! ! Гх,х, У) ! ! Н, (Е) !' ! Н (Е) !' Г Ц! Г (Е) Глава 8 120 ПРИЛОЖЕНИЕ П8! Таблица 178.! х, -олхо,+одх,, +» х О,бх — О,бх 1 +х 1 1 26-50 1 76 — 100 ! ! — 25 1 76 — 100 1 51 — 75 51 — 76 1 26 — 50 2,69 0,57 0,29 1,10 0,48 — 1,40 — 2,55 — 1,66 -0,43 0,58 2,96 1,56 — 0,36 -0,59 — О,!2 0,37 — 0,24 0,57 -0,53 2,44 0,15 — 1,04 0,12 0,08 0,1! -0,88 -0,16 -1,87 — 1,!2 1,38 0,79 1,12 — 1,10 — 2,39 — 1,75 -2,00 -0,22 0,38 1,3! 0,71 2,18 — 0,24 0,58 — 0,18 — 1,55 — 1,06 — 2,28 — 2,03 — 0,75 1,00 -0,82 -0,36 1,27 1,75 2,44 1,02 -0,53 — 2,49 -2,!2 — 1,04 3,03 2,1 ! 0,78 0,89 — 1,45 -2,62 — 1,28 1,07 3,20 1,92 2,!3 2,76 0,56 -0,69 -1,79 0,32 0,48 — 1,88 -0,94 — 1,54 1,7! 0,58 1,97 0,99 1,94 -0,12 — 1,88 — 1,50 1,54 3,33 — 0,36 — 0,37 — 1,39 -4,19 — 0.73 0,53 — 1,08 0,49 -0,58 0,17 — 0,64 — 1,09 0,90 -0,66 -0,35 -3,82 -2,38 1,00 0,70 -0,15 0,36 -2,!Π— 1,93 — 1,30 — 1,75 — 0,13 1,02 0,02 -0,77 0,1! -0,34 0,74 0,49 0,70 0,71 -0,98 0,36 0,06 — 1,94 — 0,08 3,08 1,71 0,79 1,55 0,89 1,15 -0,97 -1,63 1,!4 -0,67 0,48 0,50 0,05 — 0,68 0,24 0,98 0,1 1 -0,35 -0,73 0,89 2,18 3,14 0,60 0,51 1,35 -0,60 -0,52 -0,09 1,23 1,46 -0,89 — 1,18 0,89 1,71 3,05 -0.88 -0,07 0,24 0,55 -2,16 0,58 — 1,26 — 0,25 0,25 2„18 — 1,63 -0,44 -1,37 -1,71 -1,22 0,09 0,59 1,54 0.14 0,55 0,17 1,00 — 0.05 0,43 О,!5 0,56 0,11 0,00 2,34 1,88 0,61 0,42 2,16 3,18 2,10 Следовательно, после фильтрации спектр когерентности остался тем же самым.
Из (8.3.27) и (2.3,!7) получаем Гх,х, (!') = ах,х, (1) е ро й Н1(1) = 61(1) е1е"11 Ггач(7) = 6,(7) 62(Р) ахх,(7) е11е й-йй+е, 1111 = = 6, (7) 62 (1') е1 1е* 11 1-'2 й1 Гх х (!') Таким образом, фазовый спектр изменяется на величину 2р2(7)— — 2р1()). Заметим, однако, что если л1(и) = й2(и), то ср1(1) = 1р2(7) и фазовый спектр не меняется в результате фильтрации. Следовательно, если оба входных процесса подвергаются одинаковой фильтрации, то взаимный амплитудный спектр умножается на 62(1), а спектр когерентности и фазовый спектр остаются неизменными.
Остаточный спектр (гл. (0) для отфильтрованных данных изменится при фильтрации так же, как и автоспектр Гюю(1), т. е. остаточный спектр для отфильтрованных данных будет равен остаточному спектру для исходных данных, умноженному на 6',(7). РЕАЛИЗАЦИЯ ДВУХ ДВУМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Реалнаацня двумерного лннеаного процесса Глава 9 Таблица П8.2 реализации двучериого процесса е эадержвой х О,бх +2х, о+у 227-Олугг !+ 27 х„-б.бх„ 7 = ! — 25 ! 7 'б — 50 ) 7 5! — 75 ! г 76 — гсо г — ! — 25 7 26 — 50 7 5! — 75 г 76- !ОΠ— 2,07 — 1,15 0,69 -0,46 — 1,49 — 0,78 0,3! — 0,95 — 0,90 — 0,30 0,00 — 1,99 — 1,75 0,70 0,73 0,20 — 0,42 1,18 0,82 1,50 0,32 0,35 — 2,03 — 4,16 — 3,55 — 3,65 — 3,38 — 3,04 - З,ОЗ вЂ” 2,64 8,00 7,9! 8,81 2,36 5,92 — О,?Π— 1,07 -0,69 — 0,68 1,27 — 1,05 — 0,05 -0,84 — 0 г,2 — 049 — 1,29 -0,49 — 1,06 -0,38 — 0,52 — 0,13 1,30 — 1,5! -0,43 — 1,33 — 1,02 — 0,53 0,15 1,40 1,22 0,59 0,70 1,70 2,78 1,98 1,39 1,85 2,60 0,51 2,77 1,16 1,07 -0,48 -0,52 0,37 1,16 0,06 — 0,02 1,1Π— 0,35 — 1,67 — 1,57 1,16 1,84 3,35 0,40 0,45 1,30 0,93 1,17 — 1,74 — 1,28 — 0,07 1,50 0,53 2,92 1,18 1,23 3,!г.
0,79 0,68 1,!4 1,02 1,02 -0,71 -0,17 — 1,50 -0,26 — 0,38 0,93 -0,33 — 1,12 -2,95 — 2,09 — 1,1! — 1,04 2,60 0,67 — 0,25 — 0,90 — 4,69 — 3,50 1,62 0,81 -0,95 — 2,24 — 4,50 -4,55 -3,85 0,78 — 0,02 -0,72 — 1,84 — 1,78 — 2,77 — 1,01 2,88 — 1,!8 — 1,91 — 3,75 — 3,6! -3,08 — 4,18 -4,75 — 2,62 — 2,!5 — 1,61 — 1,28 1,1 4 2,89 4,68 4,94 6,4! 10,54 9,06 2,94 2,05 — 1,52 — 4,87 — 2,96 — 2,26 — 4,23 — 5,26 — 0,96 0,37 3,58 1,63 1,05 3,77 1,60 — 3,67 — 6,24 — 1,82 2,11 7,5! 4,88 3,0! 6,05 5,67 7,23 2,32 1,27 1,26 4,86 4,75 3,55 1,50 3,37 5,69 7,52 10,32 8,4! 7,55 10,38 9,14 6,93 6,54 4,13 3,49 0,40 ОЦЕНИВАНИЕ ВЗАИМНЫХ СПЕКТРОВ В разд.
9.! показано, что выборочный взаимный спектр обладает тем же нежелательным свойством, что и выборочный авто- спектр: его дисперсия не зависит от длины записи. Однако нз него можно получить выборочную коспектральную функцию и выборочный фазовый спектр и построить с их помощью частотный критерий корреляции двух временных рядов. В разд. 9.2 выводятся выражения для дисперсий и ковариацнй сглаженных коспектров и квадратурных спектров, а также для сглаженных спектров когерентности и фазовых спектров. Показано, что эти дисперсии и ковариации зависят как от неизвестного теоретического спектра когерентности, так и от способа сглаживания, влияние которого можно учесть. В разд. 9.3 приводятся некоторые численные примеры оценивания взаимных спектров, в которых показано, что если максимум взаимной корреляционной функции сдвинут относительно нуля, то получаются очень большие смешения.
Теоретический анализ этих смещений показывает, что их можно минимизировать с помощью взаимного сдвига, или выравнивания, рядов, в результате которого взаимная корреляционная функция достигает максимума в нуле. В разд. 9.4 описана практическая методика оценивания взаимных спектров и приведен пример. 9.1. СВОИСТВА ВЫБОРОЧНОГО ВЗАИМНОГО СПЕКТРА 9.1.1. Моменты выборочного взаимного спектра для двух некоррелированных белых шумов В этом разделе мы выведем выражения для средних значений, дисперсий и ковариаций оценок, соответствующих выборочным коспектрам, квадратурным спектрам, а также выборочным фазовым и взаимным амплитудным спектрам, предполагая,чтодва рассматриваемых процесса являются некоррелированными белыми шумами. Этн выражения окажутся полезными в двух случаях.
В разд. 9.!.2 мы используем их при выводе критерия корреляции двух временных рядов, а в разд. 9.!.3 и 9.2.! — при выводе моментов оценок, соответствующих обычным и сглаженным выборочным !25 Окенивание взаимных спектров 124 Глава Э взаимным спектрам, при довольно общих предположениях относительно случайных процессов Х,(1) и Х,(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
