Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 19
Текст из файла (страница 19)
7.3.5, сначала расфильтровать исходные ряды иа компоненты с помощью набора полосовых фильтров, а затем вычислить взаимные спектры соответствующих компонент. Взаимная корреляционная функция и взаилжый спектр 111 8.4.2. Взаимный спектр линейной системы В равд. 8.1.3 отмечалось, что иногда два случайных процесса Х,(1) и Хз(1) связаны линейным соотношением вида Хг (1) = ~ и (и ) Х, (1 — и) о(и + Е (1) . о Таким образом, Х1(() является входным процессом линейной си- стемы, а Хз(П представляет собой соответствующий выход, сло- женный с независимым шумом 2(1).
Из (8.1.8) находим взаимную ковариационную функцию выхода Ъг(и)= ~ ун(и — о)л(о)и1о, — оо 'и(со, (843) о Взяв преобразование Фурье от (8.4.3), получаем Г„Е = и (() Гп Е. Отсюда находим частотную характеристику г, ()) Рм(0 ' Сравнивая (8.4.3) с (8.4.4), мы видим, что изучение линейных систем легче проводить с помощью методов Фурье. Так, свертка нз (8.4.3) переходит в произведение в (8.4.4). Переписывая (8А 5) в виде получаем следующие выражения для коэффициента усиления 6(1) н фазы гр()) линейной системы; )'Л',,(1)+1 "м(() (8.4.7) Вспоминая, что взаимная амплитуда ам()) есть мера «ковариации» между Х,(1) и Хз(1) на частоте ), а Гп()) — «дисперсия» входа на этой же частоте, мы видим, что усиление 6()) играет роль коэффициента регрессии (4.3.7), но теперь он оценивается на каждой частоте.
Квадрат спектра когерентиости. Эту аналогию можно продолжить дальше с помощью соотношения (8.!.9) для автоковариации Гявва 8 Взаимная коууеяяционнвя функция и взанмнма снекту 113 выхода, а именно 722(и) ~ ~ й(о)й(о)уп(и+и п)с(оде +У?г(и)' Взяв преобразование Фурье от этого равенства, получаем Г22()) = 0'(Р)Г,!(7)+Ггг(9. (8.4.8) Это выраженпе отличается от (6.2.15) только тем, что к выражению, полученному из входного процесса, добавляется спектр шума Е(!).
Подставляя (8.4.6) в (8.4.8), получаем Г„У)- — „,, =Г„(!) азы!!) о 69 или же Г„(!)=Г (!)!1,2,(Ц (8.4.9) где 8.4.3. Взаимные спектры двумерных линейных процессов В разд. 8.!Л было показано, что весьма общая модель двумерных случайных процессов получается, если пропустить два белых шума Е,(!) и Е2(!) через систему, показанную на рис. 8.5. Авто- 2 32 (!) Я212 (1) = „о !!) Гм (!) называется квадратом коэффициента когерентности между входом и выходом на частоте 1. Функция частоты яз, (!) называется квадратом спектра когерентности.
Следует отметить сходство между (8.4.9) и уравнением (3.2.19), содержащим обычный коэффициент корреляции. Фактически ко. эффицнент когерентности играет роль коэффициента корреляции, определенного для каждой частоты 1'. Таким образом, равенство (8.4.9) показывает, что когда спектр шума совпадает с выходным спектром, то коэффициент когерентности равен нулю. Другими словами, этот коэффициент равен нулю, если выход состоит из одного шума.
Наоборот, если Ггг(1) = О, то квадрат коэффициента когерентностн равен единице, а выходной спектр просто равен входному, умноженному на квадрат коэффициента усиления системы. Исключая Г22(1) из (8.4.8) и (8.4.!0), получаем 1 "12(~) 1+г~г(!Уаз(!)г Н) .
(8.4.1 1) Равенство (8.4.11) показывает, что квадрат коэффициента когерентности мал, когда мало отношение выходного сигнала к шуму 62(!)Гп(!)(Ггг(!), и близок к 1, когда это отношение велико. и взаимные ковариации этого процесса задаются выражениями (8.1.15). Мы воспользуемся ими сейчас для того, чтобы вывести соответству!ошие авто- и взаимные спектры. Обозначим частотные характеристики четырех систем в структурной диаграмме на рис. 8.5 через Ни())= ) Ьп(и)е 12Я)нди 1, /=1, 2. Выражения для авто- и взаимных спектров можно теперь получить, беря преобразования Фурье от равенств (8.1.15).
Так, взяв преобразования от первых двух из этих равенств и используя (6.2.16), мы находим автоспектры Г (К) — оз! Н У)!2+ а21 Н д) ~2 1' Д)=оз/Н (~)/2+аз!Н ())(2 Чтобы получить взаимный спектр, заметим, что последние два из равенств (8.1.15) можно объединить в одно: ум(и) =оз ~ Ьп (и) Ьм (а+ и)сЬ+а; "~ Ьн(с) Ьм(о+и) дп, (8 4.13) н которое теперь справедливо при †< и ( со. Взяв преобразование Фурье от обеих частей этого равенства, получаем взаимный спектр Г!2()) = а',Н;, (!) Н, (У) +озН;,()) Н22(!). (8,4.14) Таким образом, вычисление взаимного спектра сводится к нахождению частотных характеристик соответствующего двумерного линейного процесса (8.1.14), Частотные характеристики Нм(!) можно получить очень просто, взяв преобразование Фурье от равенств (8.1.14).
Подставив НцЯ в (8.4.!2) и (8.4.14), можно получить явные выражения для авто- и взаимных спектров. Эту процедуру лучше проиллюстрировать на примере. Пример. Рассмотрим непрерывный двумерный процесс авторегрессии + анХ, (1) + а,зХ, (1) = Х, (!), — +а,,Х, (!)+ амХ,(!) = Хз(!). ах, 0) Беря преобразование Фурье от этих равенств и используя свойство дифференцирования (П2.1.2), получаем (ан + 12п)) Х, (1 ) + а мХ, Я = Е, Д), а2,Х, (() + (а22+ !2п!) Хз У) = Хз ((). Взаилгная корреляиионная фрнкаия и взаи,ннви1 спектр 115 114 Глава В Эти уравнения можно решить относителшю Хв(1) (агг+ !2л1) 7, (1) — аггхг(1) (ао 4-12лт) (аг, е 12л)) — а„аг, ' Х у) — агг7~ 11) + (а„+12л)) гг (11 (а„+12л1) (агг+12л1) — а,гиг, ' Аналогигсг!ым образом, взяв преобразование Фурье от (8.1.14), получим Х, ()) = Ни ()) 7-, (!) + Н „О Хг ()), Х, ()) = Нм ()) Уг ()) + Нв, ()) Х, ()).
Отсюда в Н~®= в где 0 = апа„— а„а„— (2л1)'+ 12л! (ап + а„). Наконец, воспользовавшись равенствами (8.4.12) и (8.4.14), полу. чаем авто- и взаимный спектры двумерного процесса (агг+ (2лВ 1а!'+ а!гав аг!а!' + )а!г + 12л)) 1 аг ггв(1)= !Вр 2 . l г та — отвала; — апа,гав — 12л)(а!гаг — аггаг) (с) Взаимные спектры дискретных двумерных линейных процессов. Выражения для авто- и взаимных спектров дискретных двумерных линейных процессов можно получить аналогичным образом, Для иллюстрации этой процедуры рассмотрим дискретный двумерный процесс (8.1.20) Хп = 0,6Хп, — 0,5Х„, + Угь Хм = 0,4Хге ! + 0 5Хм, + Хво где Угг, Хгг — пекоррелированные белые шумы. Взяв г-преобразование, получим Х, (г) = О,бг 'Х, (г) — 0,5г 'Х, (г) + Ег (г), Хв(г) = 0,4г 'Х, (г) + 0,5г 'Х (г) + Хв(г).
Эти уравнения можно решлть относительно Х,(г), Х,(г) Х т г (1 — О,бг ') Ег (г) -о,бг ггг(г) 1 — 1,1г ' ч-о,бг — г 0,4г — '7, (г) + (1 — О,бг-') Ег (г) г( ' 1 — 11г — '+05г-' ДЕЛая ЗаМЕПу г = везат, ПОЛуЧаЕМ ЧаетптНЫЕ ХараКтЕрИСтИКИ 0,4е 1 — О,бе !г' 1 Нм (1) = гг Нвв ()) Гт где 0= ! — 1,!е и 1+0,5е =! — 1,! соз 2л) + 0,5 сов 4л) +1(1,1 в!п 2л) — 0,5 в)п 4л(). Наконец, воспользовавшись равенствами (8.4.12) и (8.4.14), получаем авто- и взаимный спектры двумерного процесса а! (1,25 — сов 2л1) +а, (0,25) Гпа= аг (0,16) + аг ~( 1,Зб — 1,2 сов 2л)) Гв,д)= ' ' Гм()) = а, ( — 02+0 4 сов 2лг)+а'(03 — 05сов 2л — 1'Мп 2лг(0,4а, +0,5аг) !В)г (8.4.1 5) где ! 0 !' = 2,46 — З,3 сов 2л)+ сов 4л(".
В частном случае при и-', = о; '= 1 равенства (8.4.!5) сводятся к (О 1,5 — сов 2л1 !' гг 1г 1,52 — 1,2 сов 2л) 22 ( гг!г ,и 0,1 (1 — сов 2л)) — 1 (0,9) Ма 2л) !вч) (8.4.16) 8.4.4. Квадрат спектра когерентности В равд. 8.4.2 было показано, что корреляцию входа и выхода линейной системы на частоте ( можно было бы описать с помощью квадрата коэффициента когерентности лвгв()). Этот коэффициент напоминает коэффициент корреляции для каждой из частот. Он измеряет влияние шума в системе, причем высокому уровню шума соответствует ма.чый коэффициент когерентности и наоборот. В гл.
11 будет показано, что спектр когерентности существует у любого двумерного случайного процесса. В настоящем же разделе мы проиллюстрируем это основное понятие, вычислив спектр когерентности двумерного линейного процесса. Глава В Вэаалная корреляционная функция а вэаа.инна спектр Рассмотрим двумерный линейный процесс, изображенный на рис.
8.5. Он имеет следующие авто- и взаимные спектры: Г (1) = а', ) Н«(1) )э + а'1 Н (!) )э Гм(1') = а'!! Нэ! (1) /э+ аэ)Н (7) )е Г, (1) = а',Н;, (7) Н ,(!) + а,'Н;, (!) Н„ (!). Квадрат спектра когерентности двумерного процесса можно теперь получить, подставляя (8.4.17) в (8,4.10).
В результате по- лучим (8.4.17) Следовательно, квадрат коэффициента когереитности тождественно равен единице. Это означает, что процесс Хв(1) можно полностью восстановить по Хг(!). Для этого нужно было бы превратить Хг(1) в белый шум Хг(!) с помощью фильтра, имеющего частотную характеристику 1)Н«()), и затем получить Хв(1) из Ег(7). Случай 2. Предположим, что в (8.1.14) йвг(и) = О, йм(и) = О, так что Ю Х, (7) = ) й«(и) Х! (1 — и) йи, о Х, (1) = )Г й„(и) Хя (! — и) г(и.
о Из (8рк17) видно, что Ггв(1) = 0 и, следовательно, кэ!в()) =О. Так как Хг(7) н Ев(7) — два различных белых шума, то из равенства ! ! м (!) ! г«(!) г„(!) г«(!) г„(!) (8.4.18) Рассмотрим далее некоторые частные случаи формул (8.4.17) н (8.4.18). Случай й Предположим, что й„(и) = О, йм(и) = О, так что Нгв()) = О, Нвв(() = О.
Тогда о ! ~ Н г (() Нэ (!) ~~ ', ! Н« (!) 3' ) Ум (7) ~' Воспользовавшись (8.1.!4) прн йгв(и) = О, йве(и) = О, получаем Х, (!) = ) йн (и) Яг (1 — и) ди, о Хэ(1) = ) йе!(и)Хг(г — и)г(и. о коэффициента когерентности нулю следует, что невозможно восстановить, или предсказать, Хэ(1) по Х!(1). Случай 3 (приягер 2 из разд. 8.4.!). Значения квадрата коэффициента когерентности между 0 и 1 соответствуют случаям, где Хв(1) можно частично вос- () становить, нли предсказать, по Хг(7). Рассмотрим, например, двумерный процесс бв (8.4.2), для которо~о аг Х!г = Х!г Х„= Хэг+ Р,г!а аб Следовательно, Н«(1) = 1, Н„(0=1, Н„В=О,'Н„а=' ' =))!, и если а',=а,-', то рэ ! Таким образом, при 8!=0 аг квадрат коэффициента ко-— герентиости обращается в нуль и при р,— о стремится к единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
