Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 16
Текст из файла (страница 16)
С помощью двух независимых множеств случайных нормальных чисел Лаа, для которых выполняются условия у,о 2,О о -2,0 -аяо У,о 2,О 0 -2,0 -0,0 Р ис. 8.8. Реализация и теоретическая взаимная корреляционная функция дву- мерного процесса авгорегрессии. Е[Х»] = О, Е[Х»Х2!) =-О, Усат[Я») = 1, была полУчена состоЯщаЯ из А! =!00 членам реализация процесса Хп = 0 6Х»-! 0 5Х2|-|+ Хагаи (8.1.20) Х„= 0,4Хп, + 0,5Х„, + 22!. Значения этого двумерного ряда приведены в Приложении П8.1 и построены на рис, 8.6, где видно, что строение обоих рядов аналогично.
Так, оба ряда имеют, как правило, одинаковые знаки, и за пиком или впадиной процесса Х» через одно или два наблюдения обычно следует пик или соответственно впадина процесса Хаь Чтобы объяснить такое поведение, необходимо вычислить авто- и взаимные корреляционные функции этого двумерного процесса. С помощью описанной выше процедуры получаем рекуррентные соотношения для ковариаааий: у» (7г) = 0,6У» (й — 1) — 0,5У„(!г — 1), у„()г) - 0,4У„(й -1) + О,бу„(й -1), й)1 ум ((г) = О,буз, (й — 1) — 0,5У|э (!г — 1), У22(й) = 0 4уз, (7г — 1) + О 5у22(!г !)! 90 Глава 8 9! Взаимная корряяяииинная функция и нзаилнмб спектр причем 0,64уп (0) — 0,25у,т (0) + О,бу„(0) = 1, — О,!6уп (0)+0,75ум(0) — 0,4ум(0) = 1, 0,24у,! (0) — 0,25у,г(0) — 0,9уди(0) = О. Отсюда получаем уп (0) = 1,15/0,52 = 2,2 1, у,т (0) = 0,04/0,52 = 0,08, уят (0) = 0,96/0,52 = 1,85.
Рекуррентные соотношения для корреляций имеют вид рп (й) = 0,6рп (А — ! ) — 0,5 )7 0,96/1,15 р„(/г — 1), р„(й) = 0,4 )7 1,15/0,96 рп (й — 1) + 0,5р„(й — 1), (8.1.21) ри, (/г) = 0 брм (й) — О 5 )7 О 96/1,15 ргт (/г), Ряо (й) = 0,4 )тт1,15/0,96 Рт! (й) + 0,5Рт, (/г), причем рп(0) =р„(0)=1 и р!г(0)=0,04/)/1,15 О 96=0038. Значения корреляционных функций приведены в табл.
8.1, а взаимная корреляционная функция показана на рис. 8.6. Вид- но, что, в то время как р!я(0) очень мало, рм(1) и ргг(2) велики Таблица 8.! Теоретические корреляции для двумерного процесса авторегрессии (8Л.20) ии !М !и я, 1М и Ф! 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 !7 1,00 0,52 0,07 -О,!8 — 0,24 — 0,17 — 0,07 0,01 0,04 0,04 0,03 0,01 0„01 — 0,01 — 0,01 — 0,01 0,00 1,00 0,58 0,14 -0,14 — 0,22 — 0,17 -0,08 0,00 0,04 0,04 0,03 0,01 0,00 — 0,01 — 0,01 0,00 0,04 0,46 0,48 0,30 0,09 — 0,05 -0,10 -0,09 — 0,04 -0,0! 0,02 0,02 0,01 0,01 0,00 0.04 — 0,43 -0,50 — 0,33 -0,11 0,04 0,10 0,09 0,05 0,01 -0,01 -0,02 — 0,02 -0,01 0,00 где Угг —— 0,5Утг — ! + Хтг и Хп, Хя, — некоррелированные процессы белого шума с еди- ничной дисперсией.
Это пример модели (8.1.6), рассматривавшейся в равд. 8.!.3, Таким образом, процесс Хт! получается в ре- зультате пропускания процесса Х„через линейный фильтр и до- бавления шума, который не является белым. Отметим, что имеет- ся начальная задержка, равная 10 единицам, перед тем как про.
цесс Хп начинает влиять на Хм. Действуя так же, как и выше, можно вывести следующие ре- куррентные соотношения для ковариаций: уп (й) = О,буп (/г — 1), ум (/г) = 2уп (Й вЂ” 10) + 0,5у,г (й — 1), ® О 6 (/ 1) ) (8.1.23) у (й)=2у„,(й-!0)+05у„(й- !)+у,„(й — Ц, причем у „(й) = 0 для всех /г, у, (й) =0,5у и(/г — 1), У„, (й) = О 5Угх,(й — 1) + Угу (й), угу(/г) =0,5уг (й — 1), /г) 1 уп (0) = 1/0,64 = 1,56, угу (0) = 1/0,75 = 1,33, 4уп(0)+ 0 75у (0) 2у (9) = у (0)+ух (1) 1,2уп (9) — 0,7у„(0) = О, 0*75ух,г(0) 0 5уу: (1) = 1 (8.1.24) и имеют положительный знак.
Это объясняет упоминавшугося выше тенденцию опережения процессом Хм процесса Хп на однодва наблюдения. Рассматривая рис. 8.6, можно обнаружить также, что взаимная корреляционная функция иляеет определепнуго периодичность, период которой равен примерно 10, т. е. частота равна 0,1 гц, Отсюда следует, что любой участок одного нз процессов будет с некоторым искажением повторен другим процессом, т. е. вызовет его резонанс.
Из рис. 8.6 видно, что чаще всего повторяются периодичности с периодом около 10. Пример 2. В качестве второго примера двумерного линейного процесса рассмотрим процесс Хи = О,6Хи, + гп, Хг! = 0 5Хм-! + 2Хп-!и+ Ум~ 93 Взаимная карреляцизюгая функг!ия и взаимнегй спектр Глава 3 Решая уравнения (8.1.24) и подставляя решения в рекуррентные соотношения (8.1.23), можно вычислить ковариации, Нормируя их, получаем корреляции этого процесса (они приведены в табл. 8.2). Взаимная корреляционная функция имеет весьма широкий пик, центр которого соответствует величине запаздывания 10, как и следовало ожидать из-за задержки в 10 единиц между процессами Хп и Хм. Таблица 8.2 теоретические корреляция для двумерного линейного процесса с задержкой (8.1.22) 0,00 Двумерные процессы авторегрессии — скользящего среднего.
Более общий двумерный процесс можно получить, если к членам авторегрессии добавить члены скользящего среднего. Например, взяв комбинацию моделей (8.1.16) и (8.1.!8), получим дискретный процесс Хи — — апХ,г, +имХ,1, + Хгг+[)пхг! г+5г2222 „ (8.1,25) Х„= „Хи, + „Х„, + Х„+ ймД, + й„хм и Как уже отмечалось выше, для сжатого математического описания такие процессы удобнее всего записывать в матричной форме. Мы отложим более общее рассмотрение их свойств до гл. 11.
0 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 11 12 !3 14 16 16 17 18 19 20 1„00 0,60 0,36 0,22 0,13 0,08 О,О6 0,03 0,02 0,01 0,01 0,00 1,00 0,84 0,62 0,43 0,28 О,!8 0,12 0,07 0,04 0,03 0,02 0,01 0,01 0,00 0,00 0,0! 0,0! 0,02 0,04 0,06 О,!! О,!8 0,30 0,60 0,83 0,77 0,69 0,42 0,29 0,19 0,12 0,08 0,06 0,03 0,02 8.2. ОЦЕНИВАНИЕ ВЗАИМНОЙ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ти- т ) Х,(!)Хз(1+и)г!1, -тл ти ) Х, Я Хз (1+ и) 0(~и( (Т, ах,х (и) = (8,2.1) — Т~(и 'О, — т/зе и Как и при оценивании автоковариаций, делить на Т предпочтительнее, чем на Т вЂ” и, поскольку в первом случае оценка имеет меньшую среднеквадратичную ошибку.
Беря математическое ожидание от обеих частей (8.2.1), получаем Е[схх,(и)1 =~! -'",! ) ухх,(и), откуда видно, что с (и) является смещенной оценкой у„(и) и смещение стремится к нулю лишь при Т- оо. Если средние значения процессов могут быть отличны от нуля, тонужно рассмотр еть оценку тм- — [Х,(1) — Хг) [Хг((+ и) — Хг) й1, -три 0(и(Т, ти 'т 1 [х, (1) — хг) [Хз (1 + и) хз) (1 -тггеи — Т ~(и(~0, с (и) = (8.2.2) где т!2 х,= —,' 1 х,(!)(1, -тгз В этом случае вычисления, в равд, 5.3.3, показывают, что г = 1, 2.
аналогичные приведенным Е[с .(и)1=~! т )у гх(и)+т 1(! 1 т~)у (и)в'и. 8.2.1. Выборочная взаимная ковариационная функция В равд. 5.3.1. было показано, что разумной оценкой взаимной ковариационной функции прн условии, что средние значения процессов равны нулю, является функция Гласа Х 95 с„(/г) Гх,х, ()т) = —— )«Гах (0) с .,„(9) где (8.2.6) сх,х)(- й) = сх,хс(й), й(0, Следовательно, из-за введения поправки на среднее значение смещение увеличилось на величину порядка 1)Т.
Выборочная взаимная ковариационная функция имеет те же самые недостатки, что и выборочная автоковариациоппая функция, и, в частности, ее соседние значения сильно коррелированы. В Приложении П9.1 показано, что ковариация оценок с (и,), сх (и,) для двух различных запаздываний и«и их дается формулой Бартлетта Сот ~с«т (и«) сх к («ея)1 т' т— ~т' 1~()(! — ~1« — т 1 ««н(~ — „1« ). (823« — т' -т" где Т. Т ~и11+1и ! Т- 1 21-1и 1 2 ' 2 +у (г+ —,— ) у (г+ )+К(г, ио ря) и К(г, ио и,) — совместный кумулянт случайных величин Х, (1), Х,(1+и,), Хх(«+ г) и Хя(«+г+их). При больших Т для (8.2.3) можно дать следующее приближенное выражение, которое аналогично выражению (5.3.22): Соу(сх» (и,), сх» (и,)1 = —. ( у(г) «(г. (8.2.4) В дискретном случае это приближение имеет вид Соу(скк,(й), ск»,(1)] = — Л~ С~ ~У»х,(г)У»х (г+1-й)+Ух»,(г+')Ухх (Г-й)1 (825) Влияние автокорреляции на взаимную корреляцию двух временнйх рядов.
Интересный случай формулы (8.2.4) получается, когда у (и)=0 для всех и, т. е. когда два процесса некоррслированы. Тогда если пренебречь членом, содержащим кумулянт (который отличен от нуля лишь для негауссовских процессов), то (8.2.4) перейдет в Соу~с (и,), скк (и,)~ = Т ) Уцк,( 2 ) Ух»~«г+ — З ))«сг. Взаил«ная корреляционная функция и аяаияныа спектр Лналогично для двух некоррелированных дискретных процессов формула (8.2.5) переходит в Сох(схк,(й), схх,(%= —,у-,У«Ухх (г)У»х (г+( — й).
(8.2.7) с Если Х,(1), Х (1) — процессы авторегрессии первого псрядка с параметрами а«и (з«соответственно, то ух х (й) = оР~'~, ух,х,(й) = пА"' и, подставляя эти выражения в (8.2.7) для случая 1= А, получаем я 2 (8.2.8) Для белого шума соответствующая формула имеет вид я 2 '«тат ~с (уг)~ = — ' (8.2.9) Следовательно, если а«5«положительно, то дисперсия (8.2.8) оценки взаимной ковариации увеличена по сравнению с дисперсией (8.2.9) для случая белого шума.
Если же а«(з«отрицательно, то (8.2.8) меньше, чем (8.2.9). Обычно «х«5«бывает положительно, т. е, два процесса или оба имеют положительные автоковариации, или же оба — отрицательные. В таком случае из равенства (8.2.8) следует, что могут получиться очень большие выборочные взаимные ковариации (ложные)) л«ехсду двумя некоррелированными процессами из-за больших значений автоковариаций енутри каждого из процессов. Пример. Чтобы проиллюстрировать этот эффект, мы вычислили выборочную взаимную корреляционную функцию г,,х,(й) для реализаций двух независимых процессов авторегрессин первого порядка с параметрами ૠ— — р« = — 0,9 при У = 100. Эта выборочная оценка получена при использовании дискретного выборочного аналога функции (8.2.2), а именно ! %з сх«х)( ) = л«,тх(хн — 2«) (хт«ея — кт), й) О. (8 2,10) с,!ава В 97 Взаимная корреляционная функция и вэалмный спектр х = — т хи, 1=1, 2.
1=1 Выборочная оценка взаимной корреляции наказана на рис. 8.7 пунктирной линией. Мы видим, что г„„,(й) достигнет значений а ° " 2 И ! ~-с)г )-оз Р н с. 8.7. Выборочные вэаииные корреляции двух процессов авторегрессии пер- вого нарядна до н после фильтрации. кп0,3, в то время как теоретическая корреляционная функция, конечно, равна нулю. 8.2.2. Улучшение оценки взаимной корреляционной функции Чтобы понять, как можно улучши~ь оценку взаимной корре. ляционной функции, рассмотрим следующую модель двух взаимно коррелированных процессов авторегрессин первого порядка: Л'11 = 12,Хи, + 211, (8.2.1 1) Л'м = ()Лас-1+ 221 Предположим, что ковариацня 2!с н 22! 1, равна нулю для К отличных от нуля.
Тогда, считая, что л!с и 221 имеют двумерное нормальное распределение, получаем с помощью формулы (3.1.17) логарифмическую функцию правдоподобия для параметров аь Р с Ум: , (ь)) = — (й( — Й) )п 2п — (с)( — Й) 1Я о! — (12 — )с) 1Я а2— 2 2 2 2 а!ос кт 1 аи хм-я 'ус!(ь) —,+ —, — —,, гига!-~ где хи=хи — а,хи „ хэс-ь х21-я ()сх21-2-1' Дифференцируя 1(ас, Рс, у,а(й)) по всем трем параметрам и приравнивая производные нулю, находим из полученных уравнений выборочную оценку максимального правдоподобия для уга(й): 1 112(й) = и а ~~(хсс — асхсс-1)(хм-2 — Р!хэс я,), (8.2.12) 1 1 где й„й! — выборочные оценки максимального правдоподобия для а„()!.
Наглядный смысл этой оценки ясен: Если нужен критерий корреляции двух временньсх рядов, то следует сначала отфильтровать зти ряды так, чтобы превратить их в белые шумы, а затем сосчитать взаимную ковариационную функцию. Для двух независимых процессов из примера равд. 8.2.1 параметры оценивались с помощью выборочных оценок максимального правдоподобия (5.4.5). Например, к ~ (х!с — х,) (х,с, -х,) С 2 а!= ~~'~ (х!с-! — х,)2 С 2 Затем производилась фильтрация двух рядов по формулам I ХИ = Х11 — 81Х!С И х,=х„— 5!хэс „ и, наконец, вычислялась выборочная взаимная корреляционная функция отфильтрованных рядов (хсс, х,',) по формуле (8.2.12). Эта функция изображена сплошной линией на рис.
8,7, где видно, что ее значения гораздо меньше, чем до фильтрации. Поскольку отфильтрованные ряды являются белыми шумами, то по формуле (8.2.9) стандартное отклонение выборочной оценки взаимной корреляции равно )с)!с!с=0,1. Отсюда 95оссо-ные доверительные интервалы можно получить, если отложить от наблюденных значений ~-0,2. Мы видим, что только один из этих интервалов не включает нуля. Если бы два процесса были некоррелнрованьс, то следовало ожидать, что из 30 доверительных интервалов с уровнем доверия 95% в среднем два интервала не будут содержать зак, ияв Глава В 98 8.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
