Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 14
Текст из файла (страница 14)
6 и 6 (вып, 1), распространяются на случай пары временных рядов и случайных про. цессов. Первым таким обобщением, приведенным в равд. 8.1, является взаимная корреляционная функция двумерного стационарного случайного процесса. Эта функция характеризует корреляцию двух процессов при различных запаздываниях, Второе обобщение представляет собой двумерный линейный процесс, образуемый с помощью линейных операций над двумя источниками белого шума.
Важными частными случаями такого процесса являются двумерный процесс авторегрессии и двумерный процесс скользящего среднего. В равд. 8.2 мы обсудим вопрос об оценивании взаимной корреляционной функции. Мы покажем, что если пе применять к обоим рядам фильтрации, переводящей их в белый шум, то при оценивании могут возникать ложные завышенные значения взаимной корреляции. В разд.
8.3 вводится третье обобщение— взаимный спектр стационарного двумерного процесса. Взаимный спектр содержит два различных вида информации, характеризующей зависимость между двумя процессами. Информация первого типа содержится в спектре когерентности, являющемся эффективной мерой корреляции двух процессов на каждой из частот. Информация второго типа дается фазовым спектром, характеризующим разность фаз двух процессов на каждой из частот.
В равд. 8.4 оба эти типа информации иллюстрируются на простых примерах. 8.1. ФУНКЦИЯ ВЗАИМНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ 8.1.1. Введение В этой главе мы будем заниматься вопросами описания пары временных рядов, или двр.первого временного ряда. Используемые при этом способы являются обобщением способов, применявшихся в гл. 6, 6, и поэтому все относящиеся к временным рядам общие положения, изложенные в равд.
6.1, применимы и в этом случае. В равд. 6.1 под заголовком «Многомерные временные Глава 8 т!уу ле(г| Бггев е гав тв' где уй' в Б |г м гв гу гз гв сек ББ -г,в ряды» кратко упоминалось о том, что отдельные временные ряды, образующие многомерный ряд, могут быть нсравяоправны по отношению друг к другу. Рассмотрим, например, систему, показан- Р н с. 8.1. Физическая система с двумя входамн н двумя выходамн. ную на рис. 8.1, которая имеет два входа хт(1), хз(1) и два воь хода хз(1), х|(1). Можно различать две ситуации. В первом случае два ряда находятся в одинаковом положении по отношению друг к другу, Р нс. 8Д, Сннфазнын н сдвннутый по фазе токи па выходе турбогенератора.
как, например, два входа на рис. 8.1. В этом случае х,(1), хз(1) могут быть двумя коррелированпыми переменными управления, взаимодействие которых мы хотим изучить. Пример пары временных рядов, попадающих в эту категорию, приведен на рис, 8.2, Взаимная корреляцилняая функция и езаттвкитй спектр где приведены записи синфазного и сдвинутого по фазе входных токов турбогенератора. Во втором случае два временных ряда причинно связаны, например вход х|(1) на рис. 8.! и зависящий от него выход хз(1). В такой ситуации обычно требуется оценить свойства системы в такой форме, чтобы было удобно предсказывать выход по входу.
Пример пары временных рядов такого типа приведен на рис. 8.3, где показана скорость впуска газа х,(1) и концентрация и г Б Б |г ГБ ГБ гт ге |, мин Р и с. 8.3. Сигналы на нходе н выходе газовой печи. двуокиси углерода хз(1) на выходе газовой печи. Видно, что выход х,(1) запаздывает по отношению ко входу х,(1) из-за того, что для доставки газа к реактору требуется некоторое время. В первой ситуации обычно интересуются описанием взаимодействия, или корреляции, между двумя рядами, так чтобы это взаимодействие можно было подвергнуть любому дальнейшему исследованию.
Например, если мы хотим управлять значениями выхода хз(1) с помощью двух коррелированных управляющих переменных и хотим получить определенный результат на выходе, то нужно изучить эту взаимную корреляцию входных процессов. С другой стороны, во второй ситуации обычно интересуются соотношениями между х,(1) и хз(1), такими, например, «ак х,(1) = ~ й(и) х,(9 — и)с~и, о так что хз(1) легко предсказать по х|(1) (этот вопрос кратко обсуждался в равд. 5.1.5). Эта и следующая зв ней главы посвящены рядам, находящимся в одинаковом положении по отношению друг к другу.
Причинно связанные ряды обсуждаются в гл. 10т 80 Взанлкная кнррелтппннзл функция и нзянлснма кнекур Глана и 8! 8.1.2. Взаимная ковариациониая и взаимная корреляционная функции Так же, как и в одномерном случае в гл. 5, полсзное средство описания пары случайных процессов дают их младшие моменты. Как и раньше, наблюденный двумерный временной ряд (х,(1), хг(1)) рассматривается как реализация двумерного случайного процесса [Хс(с), Хг(с)).
Четыре счучайные величины Хс((), Хг(1), Х,(1+ и), Хг(1+ и) в моменты времени ! и с + и будут иметь совместную плотность вероятности, которую можно описать (хотя и неполностью) ее моментами первого и второго порядков. Если предположить, что процессы стационарны, то эти моменты будут зависеть лишь от разности моментов времени и и не будут зависеть от й Таким образом, первые моменты будут равны Е [Х; (У)] =- рс с' =- 1, 2.
Они не зависят от времени Е Вторыми моментами совместной плотности вероятности будут автоковариациоииые функции у„(и) = Е [(Х, (1) — р,) (Х, (1+ и) — р,)], у, (и) = Е [(Хг (1) — рг) (Хг (1+ и) — рг)] и взаимиьсе ковариациониые функции ух х, (и) = Е [(Хс (1) )сс) (Хг (1+ и) )сг)] у „( ) =ЕНХг(1) — р ) (Х, (>+ и) — )л>)]. Функция у (и) называется взаилсиой ковариациоиной функцией, зависящей от запаздывания и, причем процесс Хс(() запаздывает относительно процесса Хг(1). Аналогично у„ „ (и) называется взаимной ковариационной функцией для запаздывания процесса Хг(с) относительно процесса Хс(с).
В тех случаях, когда нет никакого риска спутать обозначения, мы б)денс записывать функции ухх (и), ух,х (и), у „(и), у (и) более простыми обозначениями уи(и), угс(и), ум(и), у (и) (8.1.!) уи(0) = у'аг[Х> (с)] =-а', ) с'=1, 2. уи (и) = уи ( — и), (8,!.2) Таким образом, уи(и) являются четными функциями запаздывания и. Свойства ковариационных функций. Автоковариационныефункции действительного двумерного процесса обладают теми же самыми свойствами, что и коварнациониая функция одномерного процесса, т.
е. Взаимная ковариациоииая функция двух действительных процессов имеет следующее свойство: (8.!.3) ум(и) = у„( — и), так как у>г (и) = Е [(Х, (1) — рн) (Х, (1+ и) — р,)] =Е [(Х, (1 — и) — рн) (Х,(1) — рг)]= = Е [(Хг (1) — р>) (Х, (! — и) — р,)] = у„( — и). Аналогично ум (и) = уа( — и) . Таким образом, ковариацию двух случайных процессов лгожно опнсать одной взаимной ковариационной функцией усг(и), где — сю л=.
и ~ оо. Отметим, что, в то время как автоковариациониая функция является четной, нзаимная ковариациоииая функция в общем случае не будет четной функцией. Взаимная корреляционная функция. В общем случае приходится изучать взаимодействие двух процессов с различными масштабами измерения, или с различными дисперсиями. В таком случае необходимо определить взаилсную корреляционную функцию %! (4 у>г М (8.1.4) 1л уи (О) у,г (О) асаг Первое ее свойство заключается в том, что [о,г(сс) [<1. Это следует из того, что дисперсия случайной величины У (1) = )чХ,(1) + ).гХг(1 + и) неотрицательна.
Второе свойство состоит в том, что рм (и) .= рг, ( — и). Это следует из (8,!.3). Взаимная корреляционная функция подобно ковариациониой ие является в общем случае четной функцией. Рассмотрим, например, на рис. 8.4 выборочную взаимную корреляционную функцию данных о газовой печи, приведенных на рис. 8.3. Эта функция имеет болыиой пнк при и = 5 и явно несимметрична относительно и =- О. Отметим также, сто большинство взаимных корреляций положительно. Это объясняется тем, что увеличение скорости впуска газа приводит к увеличению концесстрации иа выходе и наоборот. Самый тривиальный случай взаимной корреляции двух случайных процессов имеет место, когда взаимная корреляционная функция тождествсино равна нулю для всех запаздываний Отсюда следует, что такие процессы полностью некоррелированы. 83 Лзвимкал корреляционная фвккиаа и взввмныя аяеаатр 82 Глава 3 Если в дополнение к этому процессы [Ха(1), Хг(1)] нормальные, то они будут также и независимыми, как показано в гл.
3. Другой простой случай взаимной корреляции имеет место, когда рм(и) отлична от нуля прн и = 0 и равна нулю для остальных запаздываний. Отсюда следует, что у этих случайных про- Р и с. 8Л, Выборочная взаниная корреляционная функция для данных о газовой ноя и. цессов коррелированы только одновременные значения. Более об- щие модели взаимной корреляции двух случайных процессов бу- дут приведены в разд. 8.!.3 и 8.!.4. 8.1.3. Взаимная корреляционная функция линейного процесса Один из простейших способов, которыми может осуществляться корреляция двух случайных процессов (Х,(1), Х,(1)), имеет место тогда, когда Х,(1) — вход линейной системы, а Хг(1) состоит из выхода этой системы и шума, т, е.
Х, (1) = [ Ь (и) Х, (1 — и) е(и + Х (1). о (8.!.5) Для дискретного времени соответствующая модель имеет вид Х„= Э; Ь,Хи,+Хо (8.1.6) Пример 1. Как частный случай процесса (8.!.6) рассмотрим простую модель регрессии (4.3.5), которая в наших новых обозначениях имеет вид Хг> = ЬоХ и+ У1 Если средние значения Хп и Х> равны пулю, то из (8.1.!.) получаем взаимную ковариационную функцию входа Хи и выхода Хг> ум (Ь) = Е [Хи (ЬоХа>-,а + Х>еа)] = ЬаГ [ХиХиеа] + Е [ХпЛ»а]. Если предположить далее, что шум Л> пекоррелирован со входом Хп, то у3г (Ь) Ьоуп (Ь) т.
е. взаимная ковариационная функция отличается. лишь на постоянный множитель от автоковариационной фунции входа. В частном случае, когда Х>(1) — белый шум, взаимная ковариационная функция отлична от нуля лишь при Ь = О, и в этом случае у„(0) = Ьоуп (О). Заметим, что, хотя с первого взгляда кажется, что шум Ха не входит в эти вычисления, тем не менее его влияние сказывается на увеличении дисперсии процесса Хгь Таким образом, мы имеем Наг[Ха ] =Е[Х >[ =Е [(Ьах~>+Ха)г] =Ьоу~~ (0) +угг(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
